駱天溯，趙靈峰，馮蘊(yùn)雯，薛小鋒，路成

（1.西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072）

（2.中科院微小衛(wèi)星創(chuàng)新研究院通信衛(wèi)星總體研究所，上海 201203）

0 引 言

備份衛(wèi)星是星座正常運(yùn)行的關(guān)鍵保障，對(duì)于維持星座性能有著十分重要的作用。若衛(wèi)星星座中有衛(wèi)星發(fā)生故障且未能及時(shí)更換，可能致使整個(gè)衛(wèi)星星座癱瘓進(jìn)而降低星座可用度。因此，有必要對(duì)低軌衛(wèi)星星座備份策略進(jìn)行研究，以保障星座中有衛(wèi)星發(fā)生故障時(shí)能夠獲得及時(shí)更換，在保證星座可用度的前提下降低備份費(fèi)用。

近年來，為了解決星座備份衛(wèi)星數(shù)量優(yōu)化問題，避免備份衛(wèi)星過多造成備份成本過高和備份數(shù)量過少導(dǎo)致無法滿足星座可用度指標(biāo)的問題，國內(nèi)外對(duì)星座備份策略進(jìn)行了研究并取得了一定的成果。Wang Qinghua等研究表明，對(duì)于BDS系統(tǒng)增加MEO衛(wèi)星的備份數(shù)量可大幅提高星座系統(tǒng)魯棒性；T.J.Lang等、J.L.Palmade等對(duì)各國的導(dǎo)航衛(wèi)星星座備份策略進(jìn)行了研究和建模；A.V.Sedelnikov等提出了一種可以讓備份衛(wèi)星在空間備份時(shí)保持軌道高度和正確姿態(tài)的方法。但上述研究未考慮不同數(shù)量的備份衛(wèi)星對(duì)星座可用度造成的影響。

J.F.Ereau等提出了基于Petri網(wǎng)的星座備份模型；C.Kelley等使用Markov模型來評(píng)估衛(wèi)星系統(tǒng)的生命周期成本，提出了綜合考慮采購、補(bǔ)給和運(yùn)營成本因素下的星座備份模型；B.R.Sumter通過有限空間Markov決策過程建立了一個(gè)衛(wèi)星備份模型。上述研究在建立星座可用度計(jì)算模型時(shí)沒有考慮隨著時(shí)間的推移星座的持續(xù)運(yùn)行導(dǎo)致性能的下降。

M.Dishon等提出了基于（，）庫存模型的衛(wèi)星備份策略；P.Jakob等提出了一種基于（，）庫存模型的同時(shí)考慮三種備份模式的兩級(jí)可用度模型；趙立都等基于星座系統(tǒng)可靠度和備份衛(wèi)星的可用性，分析了對(duì)備份衛(wèi)星的軌道高度和軌道傾角的要求；胡敏等進(jìn)行了基于Petri網(wǎng)的Walker導(dǎo)航星座備份策略研究，給出了在軌和地面同時(shí)備份情況下的星座可用度計(jì)算模型；王爾申等提出了基于Markov過程的GNSS星座備份策略，并評(píng)估了不同數(shù)量的備份衛(wèi)星對(duì)星座可用度的影響；侯洪濤對(duì)GNSS系統(tǒng)進(jìn)行了多層可用性分析并計(jì)算了考慮備份衛(wèi)星時(shí)的星座可用性。上述研究沒有考慮星座實(shí)際運(yùn)行中的降級(jí)運(yùn)行情況，使得星座可用性計(jì)算結(jié)果與工程實(shí)際存在差異。

為了解決以上問題，本文提出一種基于Markov過程的低軌星座備份策略，考慮星座中的故障衛(wèi)星不能及時(shí)更換時(shí)降級(jí)運(yùn)行，計(jì)算星座在使用不同備份策略下的可用度，并以某真實(shí)低軌星座為例，結(jié)合其在軌運(yùn)行數(shù)據(jù)提出最優(yōu)的備份策略。

1 問題描述與假設(shè)

星座可用性的概念具有很強(qiáng)的領(lǐng)域性和時(shí)代特點(diǎn)，根據(jù)具體的工程應(yīng)用場景，本文中星座可用性的定義為星座提供額定服務(wù)時(shí)間所占的百分比。星座備份策略主要包括在軌備份、停泊軌道備份以及地面?zhèn)浞菽Ｊ?，其中，在軌備份的衛(wèi)星與工作衛(wèi)星處于同一軌道面上，備份衛(wèi)星僅需通過簡單的相位變換即可替換故障衛(wèi)星；停泊軌道備份衛(wèi)星處于比星座軌道更低的停泊軌道上，需通過軌道漂移以及變軌替換故障衛(wèi)星；地面?zhèn)浞莸男l(wèi)星貯存在火箭發(fā)射基地或者衛(wèi)星制造工廠中，通過按需發(fā)射替換故障衛(wèi)星。對(duì)于衛(wèi)星數(shù)量不多的星座而言，在軌備份模式替換時(shí)間短，星座可用度高，是一種最為常見的備份方式。各國均采用在軌備份方式對(duì)其全球?qū)Ш叫亲M(jìn)行備份，例如GPS、Galileo、GLONASS和北斗全球?qū)Ш较到y(tǒng)。本文在這一工程背景下開展基于Markov過程的低軌星座備份策略研究，該星座未采用備份衛(wèi)星時(shí)的軌位如圖1所示。

圖1 無備份衛(wèi)星的低軌星座布局示意圖（策略0）Fig.1 Constellation layout of a LEO constellation without spare satellites（Strategy 0）

該星座由7條軌道組成，每條軌道上有3顆基礎(chǔ)軌位衛(wèi)星，由于在實(shí)際運(yùn)行中沒有考慮衛(wèi)星備份，該星座可用度只有0.63，遠(yuǎn)低于指標(biāo)要求，需要綜合考慮備份費(fèi)用和可用性要求，提出最優(yōu)的星座備份策略。

為了簡化建模過程，提高模型的工程適用性，對(duì)基于Markov過程的低軌星座備份模型合理地做出如下假設(shè)：

（1）假設(shè)衛(wèi)星的壽命服從指數(shù)分布，即衛(wèi)星全壽命周期故障率恒定。

（2）由于只考慮在軌備份模式，一旦基礎(chǔ)軌位衛(wèi)星發(fā)生失效故障，該軌道上的備份衛(wèi)星能夠立即替換該失效衛(wèi)星，替換完成后認(rèn)為星座的狀態(tài)沒有發(fā)生變化；如果失效的衛(wèi)星沒有被及時(shí)替換，星座的狀態(tài)就會(huì)發(fā)生變化。

（3）衛(wèi)星的任意一個(gè)部件失效都會(huì)導(dǎo)致整個(gè)衛(wèi)星不能正常工作。

（4）所有基礎(chǔ)軌位衛(wèi)星與所有備份衛(wèi)星構(gòu)造相同，單星可用性相同。

2 單星可用度模型及求解

單顆衛(wèi)星的Markov狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程如圖2所示。

圖2 衛(wèi)星Markov狀態(tài)轉(zhuǎn)移關(guān)系圖Fig.2 Markov state transition process of a satellite

圖2中，0狀態(tài)表示衛(wèi)星正常工作狀態(tài)；1狀態(tài)表示衛(wèi)星故障狀態(tài)；為衛(wèi)星失效率，表示單位時(shí)間內(nèi)衛(wèi)星發(fā)生故障的概率；為衛(wèi)星維修率，表示單位時(shí)間內(nèi)衛(wèi)星由故障狀態(tài)轉(zhuǎn)移成正常運(yùn)行狀態(tài)的概率。在失效衛(wèi)星無備份衛(wèi)星進(jìn)行替換時(shí)，維修過程通過在軌服務(wù)方式實(shí)現(xiàn)；當(dāng)有備份衛(wèi)星進(jìn)行替換時(shí)，維修過程通過備份衛(wèi)星替換故障衛(wèi)星實(shí)現(xiàn)。和的計(jì)算公式為

式中：為衛(wèi)星的平均無故障間隔；為衛(wèi)星的平均維修時(shí)間。

、與衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)間、維修時(shí)間、失效次數(shù)有關(guān)，計(jì)算公式為

根據(jù)可用性理論，單星的穩(wěn)態(tài)可用度計(jì)算模型為

3 星座可用度

3.1 星座可用度模型

綜上，共擁有條軌道的星座中第條軌道有T顆衛(wèi)星正常工作的概率為

3.2 星座可用度模型求解方法

當(dāng)初始時(shí)刻=時(shí)，基礎(chǔ)軌位衛(wèi)星星座的故障狀態(tài)向量為

其中，

式中：A 為基礎(chǔ)軌位衛(wèi)星的單星可用度。

同理可得初始時(shí)刻=時(shí)備份衛(wèi)星星座的故障狀態(tài)向量為

其中，

式中：A 為備份衛(wèi)星的單星可用度。

當(dāng)為任意正整數(shù)，Δ為狀態(tài)轉(zhuǎn)移時(shí)間間隔時(shí)，=+Δ時(shí)刻基礎(chǔ)軌位衛(wèi)星星座的故障狀態(tài)向量為

其中，

其中，

同理，在=+Δ時(shí)刻備份衛(wèi)星星座構(gòu)成的故障狀態(tài)向量為

4 案例分析

以構(gòu)型參數(shù)Walker 21/7/1：600 km，55°星座為例，考慮星座降級(jí)運(yùn)行情況，將星座等級(jí)定義（定義中的衛(wèi)星包括基礎(chǔ)軌位衛(wèi)星和備份衛(wèi)星）如下：

（1）：星座中全部21顆衛(wèi)星正常運(yùn)行，即每條軌道上至少有3顆衛(wèi)星正常工作，此時(shí)星座可用度為；

（2）：星座中至少有20顆衛(wèi)星正常運(yùn)行，此時(shí)星座可用度為；

（3）：7個(gè)軌道平面上均至少有2顆衛(wèi)星正常運(yùn)行，此時(shí)星座可用度為；

（4）：7個(gè)軌道平面上有一個(gè)軌道平面少于2顆衛(wèi)星正常運(yùn)行，此時(shí)認(rèn)為星座不可用。

在不考慮備份衛(wèi)星的情況下，該星座在運(yùn)行過程中的運(yùn)行時(shí)間和故障數(shù)據(jù)如表1～表2所示。星座使用方提出的運(yùn)行要求為：星座運(yùn)行等級(jí)要求為級(jí)，星座可用度不低于0.99。在此要求下求出使星座備份費(fèi)用最低的星座備份策略。

表1 某低軌星座基礎(chǔ)軌位衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)間表Table 1 Operating schedule of baseline satellites of a LEO constellation

表2 某低軌星座基礎(chǔ)軌位衛(wèi)星故障數(shù)據(jù)表Table 2 Satellite failure data of baseline satellites of a LEO constellation

從表1～表2可以看出：衛(wèi)星總運(yùn)行時(shí)間為140 662 h，總故障時(shí)間為9 168 h，總故障次數(shù)為11次。

備份策略1中的星座由28顆衛(wèi)星組成，其中01號(hào)～21號(hào)為21顆基礎(chǔ)軌位衛(wèi)星；22號(hào)～28號(hào)為7顆備份衛(wèi)星?；A(chǔ)軌位衛(wèi)星分布在A～G七條軌道上，每條軌道上有3顆基礎(chǔ)軌位衛(wèi)星；備份衛(wèi)星分布在A～G軌道面上，每條軌道上有1顆備份衛(wèi)星。備份策略1示意圖如圖3所示。

圖3 星座備份策略1示意圖Fig.3 Constellation spare strategy 1

備份策略2中的星座由35顆衛(wèi)星組成，其中01號(hào)～21號(hào)為21顆基礎(chǔ)軌位衛(wèi)星；22號(hào)～35號(hào)為14顆備份衛(wèi)星?；A(chǔ)軌位衛(wèi)星分布在A～G七條軌道上，每條軌道上有3顆基礎(chǔ)軌位衛(wèi)星；備份衛(wèi)星分布在A～G軌道面上，每條軌道上有2顆備份衛(wèi)星。備份策略2示意圖如圖4所示。

圖4 星座備份策略2示意圖Fig.4 Constellation spare strategy 2

備份策略3中的星座由42顆衛(wèi)星組成，其中01號(hào)～21號(hào)為21顆基礎(chǔ)軌位衛(wèi)星；22號(hào)～42號(hào)為21顆備份衛(wèi)星。基礎(chǔ)軌位衛(wèi)星分布在A～G七條軌道上，每條軌道上有3顆基礎(chǔ)軌位衛(wèi)星；備份衛(wèi)星分布在A～G軌道面上，每條軌道上有3顆備份衛(wèi)星。備份策略3示意圖如圖5所示。

圖5 星座備份策略3示意圖Fig.5 Constellation spare strategy 3

通過星座運(yùn)行時(shí)間（如表1所示）和衛(wèi)星失效數(shù)據(jù)（如表2所示），使用式（5）可以求出單星平均可用性為0.978 7，再根據(jù)式（8）可以求出不同備份策略下不同星座等級(jí)的星座可用度，當(dāng)Δ取1 h時(shí)，算法在300Δ后趨于穩(wěn)定，使用第3節(jié)提出的模型以及求解方法分別對(duì)不同星座等級(jí)、不同備份策略下的星座可用度進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如表3所示。

表3 不同備份策略和不同星座等級(jí)下星座可用度仿真結(jié)果Table 3 Simulation results of constellation availability under different spare strategies and different constellation levels

不同備份策略及不同星座等級(jí)對(duì)星座可用度的影響如圖6所示。

圖6 不同星座等級(jí)和不同備份策略對(duì)星座可用度的影響Fig.6 Impact of different constellation levels and different spare srategies on constellation availability

從圖6可以看出：星座備份策略和星座等級(jí)對(duì)星座可用度都有很大的影響。備份衛(wèi)星數(shù)量越多星座可用度越高，采用備份策略3時(shí)星座可用度幾乎為1，然而備份費(fèi)用也是三種策略中最高的；星座性能要求越高星座可用度越低，當(dāng)星座性能要求達(dá)到等級(jí)時(shí)星座可用度最低，星座性能達(dá)到等級(jí)時(shí)，備份策略0、備份策略1和備份策略2的星座可用度增加明顯；在星座性能為等級(jí)時(shí)，增加備份衛(wèi)星數(shù)量會(huì)顯著增加星座可用度；在可用度≥0.99的要求下，備份策略0和備份策略1的可用度未達(dá)到指標(biāo)要求，備份策略3的可用度大于指標(biāo)要求但備份費(fèi)用過高。綜合考慮可用度指標(biāo)要求以及備份費(fèi)用，備份策略2是最優(yōu)選擇。

5 結(jié) 論

（1）在星座等級(jí)為級(jí)、可用度指標(biāo)為0.99的要求下，備份策略2為最優(yōu)備份策略，即在每個(gè)軌道面上備份兩顆衛(wèi)星可以兼顧星座性能與經(jīng)濟(jì)效益；若不考慮經(jīng)濟(jì)效益則備份策略3可以達(dá)到最高的星座性能。

（2）對(duì)于備份策略0而言，星座等級(jí)從提升到帶來的星座可用度提升十分明顯；對(duì)于備份策略1、備份策略2和備份策略3而言，星座等級(jí)從提升到帶來的星座可用度提升更加明顯。