邵 佳

（安徽省交通航務(wù)工程有限公司，安徽 合肥 235200）

涇河是黃河二級支流，始于寧夏涇源六盤山，流域總面積為45 421 km2，是渭河最大的支流之一，占渭河流域面積的33.7%，河道全長高達455.1 km。涇河流域?qū)儆跍貛Т箨憵夂颍涤昕偭科?，但過于集中。據(jù)初步統(tǒng)計，流域在1951—2019 年之間年均降水量約為517.9 mm，多集中在7～9 月之間，涇河流域年均流量為16.25 億m3，集水面積約為43 216 km2。

1 涇河流域水沙聯(lián)合分布特征分析

涇河流域的張家山水文站上游河段，作為黃河水沙聯(lián)合典型流域，流經(jīng)黃土高原，具有河段比降明顯、河床沖刷嚴(yán)重、流速快、四周植被覆蓋率低等特點。參照張家山水文站監(jiān)測數(shù)據(jù)，獲取張家山上游涇河流域近一年徑流量及輸沙量，分析其變化過程?？紤]該流域汛期徑流量占比大，且輸沙量多的問題，研究擇取汛期徑流量與輸沙量之和（6～10 月），作為水沙聯(lián)合分布模型數(shù)據(jù)依據(jù)，流域水系如圖1 所示。

圖1 涇河流域水系圖

1.1 水沙聯(lián)合分布模型搭建

廣義極值分布、對數(shù)正態(tài)分布、P-Ⅲ分布、Gamma分布是水文分析中的常用概率分布類型。用上述4 種分布擬合張家山水文站徑流量與輸沙量邊緣分布，以AIC準(zhǔn)則選擇最優(yōu)的邊緣分布；基于Copula 函數(shù)建立水沙聯(lián)合分布模型，以AIC 準(zhǔn)則選擇最優(yōu)的聯(lián)合分布?；诖?，計算徑流量與輸沙量的聯(lián)合“或”重現(xiàn)期下的“最大可能組合”聯(lián)合設(shè)計值，應(yīng)用蒙特卡洛方法評估樣本不確定性對水沙聯(lián)合設(shè)計值的影響，利用二維自適應(yīng)核密度估計方法計算該聯(lián)合設(shè)計值的置信區(qū)間；為進一步分析該聯(lián)合設(shè)計值的不確定性隨重現(xiàn)期變化的關(guān)系，采用聯(lián)合熵量化不同重現(xiàn)期下該聯(lián)合設(shè)計值的不確定性。四種邊緣分布概率密度函數(shù)如下式：

式中：Γ（α）表示α 的伽瑪函數(shù)；α 為形狀參數(shù)；β 為尺度參數(shù)；x0表示分布函數(shù)的位置未知參數(shù)。

式中：α 為形狀參數(shù)；β 為尺度參數(shù)；ξ 表示分布函數(shù)的位置參數(shù)。

式中：α 為形狀參數(shù)，β 稱為尺度參數(shù)。

式中：μ 為函數(shù)的平均值；σ 為函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。

為便于研究，將X和Y設(shè)定為該流域年徑流量和年輸沙量，設(shè)計為x和y。參照上述四個密度函數(shù)，邊緣分布值假設(shè)為Fx（x）和Fy（y）。根據(jù)條件分布定理，X和Y聯(lián)合分布函數(shù)可用平面Copula 函數(shù)C指代。由此可列出算式：

F（x，y）=Cθ（θ 為Copula 函數(shù)的參數(shù)）（Fx（x），F(xiàn)y（y））

1.2 水沙聯(lián)合變量重現(xiàn)期判斷

重現(xiàn)期是水工領(lǐng)域的概念，是評估流域量級的重要指標(biāo)。學(xué)術(shù)界將重現(xiàn)期分為“或”“且”和二次重現(xiàn)三種。限于篇幅，本文著重研究“或”重現(xiàn)期。

1.3 水沙聯(lián)合變量設(shè)計

當(dāng)給定重現(xiàn)期T時，臨界概率水平為p，求得值為唯一解，此方式被廣泛應(yīng)用水工建設(shè)。針對兩種變量，求解相對復(fù)雜。當(dāng)給定水沙聯(lián)合TOR時，理論上包含數(shù)種流量和沙量組合方式，并且滿足二維坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)，可用等值線描述。水沙聯(lián)合等值線所有點位均可代表一種組合方式，并且取相同的TOR值。但是，為讓研究數(shù)據(jù)貼近實際，需找尋一組最大可能組合，即聯(lián)合概率密度函數(shù)取值最大時的設(shè)計值。

1.4 結(jié)果評估

為測定張家山水文站上游涇河流域水沙聯(lián)合序列之間的關(guān)系，上文采用Kendall 秩的相關(guān)檢驗法，將水文站監(jiān)測數(shù)據(jù)輸入水沙聯(lián)合分布模型，得出P值約為8.003×10-9。P值遠(yuǎn)小于0.05，因此原假設(shè)不成立，初步認(rèn)為該流域水沙聯(lián)合分布特征，在二維序列上具有顯著的相關(guān)性，有必要研究涇河流域水沙耦合關(guān)系，全面分析徑流量和泥沙量的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，健全水沙分布模型。

應(yīng)用上文四個密度函數(shù)測試流域邊緣分布參數(shù)值，徑流量分布密度函數(shù)及概率密度函數(shù)見圖2。

圖2 徑流量分布密度函數(shù)及概率密度函數(shù)

輸沙量分布密度函數(shù)及概率密度函數(shù)見圖3。

圖3 輸沙量分布密度函數(shù)及概率密度函數(shù)

參照上圖，采用K-S 檢驗法對水沙聯(lián)合邊緣分布特征進行假設(shè)，擇取最優(yōu)邊緣分布數(shù)據(jù)。結(jié)果表明，該流域從預(yù)設(shè)的四種水沙聯(lián)合分布特征中的P值均大于0.05，與原假設(shè)設(shè)定相符，初步認(rèn)為該結(jié)論驗證原假設(shè)，意味著徑流量和輸沙量最優(yōu)擬合狀態(tài)均屬于正態(tài)分布趨勢。

2 涇河流域水沙聯(lián)合分布計算不確定性評估

2.1 評估流程

本研究采用蒙特卡洛統(tǒng)計理論，分析分布特征計算的不確定性。抽調(diào)多例樣本，采用重復(fù)抽樣法，判斷不確定性對水沙聯(lián)合設(shè)計的影響。具體流程為：基于Copula函數(shù)聯(lián)合分布模型總體架構(gòu)，調(diào)取二維樣本，用蒙特卡洛統(tǒng)計法隨機模擬1 000 次；應(yīng)用觀測值的水沙聯(lián)合分布模型相同估算參數(shù)方法，模擬樣本聯(lián)合分布模型，得到1 000 組數(shù)據(jù)，評估置信水平下的估計區(qū)間；所有數(shù)據(jù)中，以20 a 為重現(xiàn)期起始點，按照10 a 一梯度上升到100 a，判斷最大可能組合的水沙聯(lián)合設(shè)計值。

2.2 水沙聯(lián)合信息熵的不確定分析

信息熵可描述隨機變量的分散程度，是信息最為基本的組成單位。常規(guī)條件下，信息熵可針對一維數(shù)據(jù)，也可應(yīng)對多維情況，將測的數(shù)據(jù)定義為聯(lián)合信息熵。由于信息熵可作為判斷變量的重要依據(jù)，可認(rèn)為信息熵越大隨機變量的分散程度越大，也就是不確定性越明顯。

2.3 結(jié)果評估

測驗過程中，需解決識別問題。從本質(zhì)上講，不確定性理論發(fā)展迭代了傳統(tǒng)優(yōu)參識別系統(tǒng)。為尋得最有可靠模型參數(shù)，不確定思想在統(tǒng)計學(xué)基礎(chǔ)上可通過大量參數(shù)分布獲取更具現(xiàn)實意義的結(jié)論。采用蒙特卡洛統(tǒng)計法研究不確定性，獲取模型參數(shù)置信水平下的參考范圍，為理解水沙聯(lián)合模型提供了技術(shù)支撐。

根據(jù)表1，張家山站水沙聯(lián)合分布模型存在明顯的不確定性，聯(lián)合分布參數(shù)變幅高達55.64%。據(jù)此繪制“或”重現(xiàn)期等值線圖（見圖4），根據(jù)圖中克制，涇河流域水沙聯(lián)合分布模型給出不同程度徑流量和輸沙量遭遇組合的重現(xiàn)期。工程中多選用“或”重現(xiàn)期作為風(fēng)險控制參量，或安全評價標(biāo)準(zhǔn)。通過計算泥沙頻率和洪水頻率組合，確定流域不同時段的最大或最小淤積量。水沙聯(lián)合重現(xiàn)期與設(shè)計值是否準(zhǔn)確決定著流域工程是否經(jīng)濟、安全且科學(xué)，既關(guān)乎周邊生態(tài)，還關(guān)乎工程社會效益。設(shè)計過程中需合理評估設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)，降低誤差值，求解最優(yōu)解，為工程合理建設(shè)提供參考。

表1 水沙聯(lián)合分布模型參數(shù)估計區(qū)間

圖4 等值線圖

針對信息熵，可將其作為評價不確定性的指標(biāo)，信息熵與不確定呈正相關(guān)關(guān)系。張家山站聯(lián)合設(shè)計值存在明顯的不確定性，在重現(xiàn)期影響下，聯(lián)合熵呈現(xiàn)明顯增加的趨勢（需要重現(xiàn)表述），意味著聯(lián)合設(shè)計值具有顯著的不可控性。

3 結(jié)語

考慮到?jīng)芎恿饔蛩亮魇?yán)重的問題，建立了水沙聯(lián)合分布模型，對水沙組合潛在風(fēng)險進行評估，從中尋求最優(yōu)解。隨后基于蒙特卡洛方法對分布模型的不確定性進行評估，計算百年內(nèi)重現(xiàn)期的最大可能組合下的最優(yōu)設(shè)計值，并分析其信息熵。結(jié)果表明，涇河流域水沙聯(lián)合分布模型及水沙聯(lián)合設(shè)計值存在高度不確定性（需要重現(xiàn)表述），意味著涇河流域設(shè)計值面臨巨大挑戰(zhàn)，在重現(xiàn)期年限增長的同時，設(shè)計值不確定性將進一步提升，將對水工建設(shè)提出更高的要求。