谷瓊雅,時(shí)振華,王麗真,何靜

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710127)

1 引言

近些年,隨著分?jǐn)?shù)階微分方程在工程、物理、生物等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用[1],人們?cè)絹碓疥P(guān)注分?jǐn)?shù)階微分方程的研究,其中構(gòu)造分?jǐn)?shù)階偏微分方程的精確解是偏微分方程理論研究中非常重要的問題[2-3].大量研究論文已引入多種構(gòu)造精確解的方法,如不變子空間法[4]、q-HAM方法[4]、齊次平衡法[5]、泛函分離變量法[6]、廣義分離變量法[6]等.李對(duì)稱分析是研究偏微分方程的重要方法和途徑.微分方程的不變性質(zhì)和其所描述的重要的物理現(xiàn)象都與其李對(duì)稱密切相關(guān).

李對(duì)稱分析由Sophus Lie在十九世紀(jì)首次提出并用于整數(shù)階微分方程的群分析中.隨后,文獻(xiàn)[7]提出分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和李對(duì)稱的分?jǐn)?shù)階延拓公式,由此李對(duì)稱分析被推廣到分?jǐn)?shù)階微分方程的研究中.許多學(xué)者利用李對(duì)稱分析研究了時(shí)間分?jǐn)?shù)階偏微分方程,例如,文獻(xiàn)[8]對(duì)時(shí)間分?jǐn)?shù)階Harry-Dym方程進(jìn)行李對(duì)稱分析,并構(gòu)造了方程的群不變解.文獻(xiàn)[9-10]分別對(duì)時(shí)間分?jǐn)?shù)階Navier-Stokes方程組和Keller-Segel方程組進(jìn)行李對(duì)稱分析并構(gòu)造出守恒律.還有一些學(xué)者利用李群分析對(duì)方程進(jìn)行群分類,文獻(xiàn)[11]對(duì)時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程進(jìn)行群分類,并做相對(duì)應(yīng)的對(duì)稱約化得到方程的不變解.僅有少部分學(xué)者利用李對(duì)稱分析研究時(shí)空分?jǐn)?shù)階偏微分方程,例如,文獻(xiàn)[12]對(duì)時(shí)空分?jǐn)?shù)階Rosenou-Haynam方程進(jìn)行了李對(duì)稱分析,文獻(xiàn)[13]對(duì)時(shí)空分?jǐn)?shù)階非線性演化方程進(jìn)行了對(duì)稱分析.

Noether定理建立了守恒律和對(duì)稱之間的聯(lián)系.文獻(xiàn)[14]提出了一個(gè)新的守恒定理,即建立沒有經(jīng)典拉格朗日方程的微分方程的守恒定律.在此定理的基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[15]建立了時(shí)間分?jǐn)?shù)階微分方程的守恒律,文獻(xiàn)[12]建立了時(shí)空分?jǐn)?shù)階Rosenou-Haynam方程的守恒律.本文將在李對(duì)稱的基礎(chǔ)上建立一類時(shí)空分?jǐn)?shù)階非線性方程的守恒律.

雙多孔介質(zhì)方程在物理、工程科學(xué)等方面有很多應(yīng)用.文獻(xiàn)[16]研究了整數(shù)階雙多孔介質(zhì)方程的奇解和解的漸進(jìn)行為.文獻(xiàn)[17]用不變子空間方法對(duì)整數(shù)階雙多孔介質(zhì)方程進(jìn)行研究求解.文獻(xiàn)[18]研究了具有非發(fā)散算子的雙多孔介質(zhì)方程的爆破和關(guān)鍵指數(shù)分析.文獻(xiàn)[19]通過構(gòu)造修正多孔介質(zhì)方程的自相似解,研究了修正多孔介質(zhì)方程的一族自相似解的存在性.文獻(xiàn)[20]用李對(duì)稱分析研究了時(shí)空分?jǐn)?shù)階多孔介質(zhì)類型方程并利用李代數(shù)得到方程的群不變解.本文將利用李對(duì)稱分析對(duì)一類形式簡(jiǎn)單的廣義時(shí)空分?jǐn)?shù)階雙多孔介質(zhì)方程進(jìn)行研究.廣義的時(shí)空分?jǐn)?shù)階雙多孔介質(zhì)方程為

其中,(i=1,2,3)分別為關(guān)于t和x的分?jǐn)?shù)階Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù).u是關(guān)于x,t的未知函數(shù),0＜α＜1,1＜βi＜2(i=1,2,3),0,b,c均為實(shí)數(shù).

本文考慮方程(1)中b=c=0的情形,在這種情況下,方程(1)變?yōu)槿缦碌臅r(shí)空分?jǐn)?shù)階非線性偏微分方程

特別地,當(dāng)β=2時(shí),方程(2)變?yōu)槿缦碌臅r(shí)間分?jǐn)?shù)階非線性偏微分方程

本文將構(gòu)造方程(2)和方程(3)所允許的李代數(shù)、一維優(yōu)化系統(tǒng)和精確解,并對(duì)方程(2)的守恒律進(jìn)行研究.本文結(jié)構(gòu)如下:在第二節(jié),介紹本篇文章所涉及的基礎(chǔ)知識(shí).在第三節(jié),構(gòu)造方程(2)和方程(3)所允許的李代數(shù)和相應(yīng)的一維優(yōu)化系統(tǒng).在第四節(jié),基于第三節(jié)得到的優(yōu)化系統(tǒng),對(duì)方程(2)和方程(3)進(jìn)行對(duì)稱約化并計(jì)算相應(yīng)的群不變解,并用數(shù)學(xué)軟件Matlab畫出時(shí)空分?jǐn)?shù)階方程(2)的精確解的三維圖.在第五節(jié)建立方程(2)的守恒律.在最后一節(jié)給出本文的總結(jié).

2 基礎(chǔ)知識(shí)

本節(jié)給出分?jǐn)?shù)階Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)的定義和李對(duì)稱分析的步驟.

定義2.1設(shè)n∈N.則α階Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)的定義為當(dāng)0＜n-1＜α＜n時(shí).其中為通常的n階偏導(dǎo)數(shù),為伽馬函數(shù).下面考慮一般的時(shí)空分?jǐn)?shù)階偏微分方程

假定單參數(shù)Lie群變換為

其中ηα,t,ηβ,x,ηxx的定義為

Dx和Dt是關(guān)于x和t的全導(dǎo)數(shù)且定義為

設(shè)方程(4)的無窮小生成子為

其中

無窮小生成子(8)所對(duì)應(yīng)的向量場(chǎng)能生成方程(4)的一個(gè)對(duì)稱當(dāng)且僅當(dāng)方程(4)的向量場(chǎng)V滿足以下不變準(zhǔn)則

延拓算子Pr(α,2)V定義為

其中ηα,t,ηβ,x,ηx和ηxx分別滿足(6)式-(7)式.

此外,基于不變準(zhǔn)則(10),時(shí)空分?jǐn)?shù)階偏微分方程(4)還需滿足以下初始條件

引理2.1[5]設(shè)α＞0,0.當(dāng)α+β＜1且2α+β＜1時(shí),如下分?jǐn)?shù)階微分方程有精確解

3 李對(duì)稱和一維優(yōu)化系統(tǒng)

本節(jié)將利用對(duì)稱分析方法計(jì)算出方程(2)和方程(3)所允許的李代數(shù)及相應(yīng)的一維優(yōu)化系統(tǒng).

3.1 方程(2)的李對(duì)稱和優(yōu)化系統(tǒng)

本節(jié)利用對(duì)稱分析法來推導(dǎo)方程(2)的李代數(shù),再由李代數(shù)構(gòu)造出方程(3)的一維優(yōu)化系統(tǒng).

定理3.1時(shí)空分?jǐn)?shù)階方程(2)的李代數(shù)l1由以下向量場(chǎng)張成

證明將方程(2)代入不變準(zhǔn)則(10),可以得到方程(2)的不變方程為

將(6)式代入(14)式,并使方程中線性無關(guān)的u的各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)等于零可以得到以下決定方程組

求解決定方程組(15)可得

其中ci(i=1,2,3,4,5)是任意常數(shù).根據(jù)不變條件(10)可以推出c2=c3=0.

由此可證方程(2)的對(duì)稱群為(13).下面來計(jì)算李代數(shù)l1的一維優(yōu)化系統(tǒng).

通過計(jì)算得到李代數(shù)l1的非零交換子為

另外,伴隨算子的作用由以下李級(jí)數(shù)給出

其中?為任一參數(shù).根據(jù)上式,能夠推導(dǎo)出李群G1對(duì)李代數(shù)l1的伴隨作用,如表1所示.按照文獻(xiàn)[21]介紹的方法,可以得到李代數(shù)l1關(guān)于時(shí)空分?jǐn)?shù)階α,β的一維優(yōu)化系統(tǒng),結(jié)果在下述定理給出,這里省略其證明過程.

表1 向量場(chǎng)(15)的伴隨表示

定理3.2(1)對(duì)于李代數(shù)l1的一維優(yōu)化系統(tǒng)為

3.2 方程(3)的李對(duì)稱和優(yōu)化系統(tǒng)

本小節(jié)將利用對(duì)稱分析構(gòu)造方程(3)所允許的李代數(shù)和相應(yīng)的一維優(yōu)化系統(tǒng).

定理3.3時(shí)間分?jǐn)?shù)階方程(3)的李代數(shù)l2由以下向量場(chǎng)張成

證明將方程(3)代入不變準(zhǔn)則(10),可得

把(6)式代入(19)式,并令u的各階線性無關(guān)導(dǎo)數(shù)的系數(shù)等于零,化簡(jiǎn)后可以得到以下決定方程組

求解決定方程組(20)可得

其中ci(i=1,2,3,4,5)是任意常數(shù).此外,由初始條件(12)可以推出c2=c3=0,即證方程(3)的李代數(shù)(18).

容易看出向量場(chǎng)V1和V3是伸縮算子,V2是平移算子,李代數(shù)(18)的非零交換子為

進(jìn)一步地,由伴隨算子的定義(17)可以推導(dǎo)出李群G2對(duì)李代數(shù)l2的伴隨作用,如表2所示.

表2 向量場(chǎng)(17)的伴隨表示

與前一小節(jié)類似,按照文獻(xiàn)[21]介紹的方法可以得到以下定理.

定理3.4(1)對(duì)于和μ∈R,李代數(shù)l2的一維優(yōu)化系統(tǒng)為

4 對(duì)稱約化和群不變解

本節(jié)利用定理3.2和定理3.4所得到的結(jié)果,對(duì)方程(2)和方程(3)做對(duì)稱約化并構(gòu)造相應(yīng)的群不變解,并給出群不變解的圖像.

4.1 方程(2)的對(duì)稱約化和群不變解

本小節(jié)利用定理3.2得到的一維優(yōu)化系統(tǒng),將復(fù)雜的非線性時(shí)空分?jǐn)?shù)階微分方程約化為較為簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)階常微分方程,約化后的分?jǐn)?shù)階常微分方程將更容易求解.下面介紹定理3.2中一維優(yōu)化系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的對(duì)稱約化和群不變解.

對(duì)于方程(2)有以下情形成立.

情形1:r1=t?t-αu?u.對(duì)應(yīng)的特征方程為

計(jì)算特征方程(22)可得方程(2)的兩個(gè)不變量為x和utα,從而方程(2)有如下形式的群不變解

情形2:r2=x?x+2βu?u.對(duì)應(yīng)特征方程為

計(jì)算方程(25)可知方程(2)有如下形式的群不變解

將(26)式代入方程(2)可得

將(27)式代回(26)式得到方程(2)的一個(gè)精確解為

對(duì)于(28)式,通過數(shù)學(xué)軟件Matlab繪制如下圖1三維圖像解.

圖1 u1(x,t)的三維圖像.

在圖1(a)和圖1(b)中,取a=-1,β=1.5,可以觀察到隨著時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)α的增大,u1(x,t)逐漸減小,當(dāng)t趨于零時(shí),曲率逐漸增大.在圖1(c)和圖1(d)中,取a=-1,α=0.4,可以觀察到隨著空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)β的增大,u1(x,t)也增大,當(dāng)x趨于零時(shí),曲率逐漸減小.在圖1(e)和圖1(f)中,取α=0.3,β=1.5,可以觀察到參數(shù)a對(duì)精確解u1(x,t)的影響.

4.2 方程(3)的對(duì)稱約化和群不變解

本小節(jié)利用定理3.4中得到的一維優(yōu)化系統(tǒng),將復(fù)雜的非線性時(shí)間分?jǐn)?shù)階微分方程約化為較為簡(jiǎn)單的常微分方程,約化后的常微分方程更容易求解.下面介紹定理3.4中方程(3)的對(duì)稱約化和群不變解.

對(duì)于方程(3)有以下情形成立.

情形1:r1=t?t-αu?u.r1對(duì)應(yīng)特征方程為

計(jì)算特征方程(29)得方程(3)的群不變解為u(x,t)=t-αf(x),f(x)滿足如下常微分方程(當(dāng)時(shí))

情形2:r2=?x.計(jì)算r2對(duì)應(yīng)特征方程得到群不變解為u(x,t)=g(t),代入方程(3)得到(t)=0,計(jì)算得到g(t)=ktα-1,其中k為任意常數(shù).從而方程(3)的一個(gè)群不變解如下

情形3:r4,5=±?x+t?t-αu?u.r4對(duì)應(yīng)的特征方程如下

計(jì)算(31)式,得到方程(3)的一個(gè)群不變解為

其中f(z)(z=te?x)滿足如下分?jǐn)?shù)階常微分方程

情形4:r6,7=?x±tα-1?u.r6的特征方程為

解特征方程(32)可以得到方程(3)有如下群不變解

將(33)式代回方程(3)得g(t)=ktα-1.因此,方程(3)的精確解為

5 守恒律

本節(jié)在李代數(shù)(13)的基礎(chǔ)上,建立時(shí)空分?jǐn)?shù)階方程(2)的守恒律.

方程(2)的守恒向量C=(Ct,Cx)滿足如下守恒律

其中Ct=Ct(t,x,u,···),Cx=Cx(t,x,u,···).

方程(2)的拉格朗日形式如下

其中v(x,t)為新的因變量.歐拉-拉格朗日算子有如下形式

由(36)式可以得到方程(2)的伴隨方程為

取v(x,t)=φ(x,t,u),得到如下方程

解(38)式得到

其中A為任意常數(shù).

下面將通過以下公式分別建立守恒向量t,x的分量

其中n=[α]+1,m=[β]+1,Wi=ηi-ξiux-τiut,J,J1定義為

結(jié)合向量場(chǎng)(13),可以得到以下特征方程

取A=1,可以得到以下結(jié)論:

當(dāng)0＜α＜1,1＜β＜2時(shí),方程(2)的t分量的守恒向量為

當(dāng)0＜β＜1,0＜α＜1時(shí),方程(2)的x分量的守恒向量為

當(dāng)1＜β＜2,0＜α＜1時(shí),方程(2)的x分量的守恒向量為

6 結(jié)論

本文研究了李對(duì)稱分析在時(shí)空分?jǐn)?shù)階微分方程的應(yīng)用,并以一類廣義時(shí)空分?jǐn)?shù)階雙多孔介質(zhì)方程為例,計(jì)算了它所允許的李代數(shù)并建立了優(yōu)化系統(tǒng).進(jìn)一步地對(duì)方程(2)和方程(3)進(jìn)行了對(duì)稱約化,在此基礎(chǔ)上得到方程(2)的精確解u0,u1,方程(3)的精確解u2,u3,u4,并用數(shù)學(xué)軟件畫出方程(2)的精確解u1(x,t)的三維圖像.最后,利用定理3.1的結(jié)論和新Noether定理構(gòu)造了方程(2)的守恒律.