郭小冬,王明海,郭 猛,張 榮,翁漢旺

（北京航天控制儀器研究所,北京 100039）

0 引言

測(cè)量不確定度表征測(cè)量結(jié)果的可信性。對(duì)于高精度零件的測(cè)量,由于測(cè)量?jī)x器的精度裕量小,環(huán)境因素的影響大,測(cè)量結(jié)果的可信性問(wèn)題更為突出。由于坐標(biāo)測(cè)量機(jī)（Coordinate Measuring Machine,CMM）誤差的復(fù)雜性和功能的多樣性,使得其面向任務(wù)的測(cè)量不確定度的評(píng)價(jià)比較困難［1］。

近年來(lái),隨著技術(shù)研究的深入,評(píng)價(jià)CMM測(cè)量不確定度的理論和方法不斷被提出。陳曉懷、程銀寶等［1-3］系統(tǒng)研究了CMM面向任務(wù)的測(cè)量不確定度的評(píng)定方法。?trbac等［4］分析了CMM平面度測(cè)量不確定度評(píng)價(jià)時(shí)測(cè)量不確定度表示指南（Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement,GUM）法與ISO/TC15530-3方法之間的差異。Vrba等［5］研究了復(fù)雜曲面CMM測(cè)量不確定度評(píng)定的不同方法。張學(xué)儀等［6］研究了采用蒙特卡洛法（Monte Carlo Method,MCM）進(jìn)行葉片型面參數(shù)測(cè)量不確定度分析的方法。Rost等［7］研究了齒輪測(cè)量?jī)x面向任務(wù)的測(cè)量不確定度MCM評(píng)定方法。Miura等［8］研究了采用MCM評(píng)定孔板測(cè)量不確定度的方法。但對(duì)于在實(shí)際不確定度評(píng)定中時(shí)常出現(xiàn)的因過(guò)量估計(jì)導(dǎo)致不確定度評(píng)定結(jié)果偏離實(shí)際情況乃至失準(zhǔn)的問(wèn)題,業(yè)內(nèi)研究成果較少。

為此,本文以動(dòng)壓馬達(dá)半球零件球徑測(cè)量不確定度的評(píng)定為例,針對(duì)造成過(guò)量估計(jì)的兩個(gè)主要原因——CMM示值誤差的過(guò)量估計(jì)以及常規(guī)GUM法對(duì)被測(cè)量分布類型的正態(tài)分布保守假設(shè)進(jìn)行分析,研究了采用標(biāo)準(zhǔn)工件進(jìn)行測(cè)量標(biāo)定獲得CMM實(shí)際示值誤差的不確定度優(yōu)化評(píng)定方法以及采用MCM對(duì)GUM法的評(píng)定結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證,發(fā)現(xiàn)并糾正GUM法假設(shè)偏差的不確定度驗(yàn)證方法,以期提高不確定度評(píng)定結(jié)果的可靠性。

1 不確定度的常規(guī)評(píng)定

關(guān)于面向任務(wù)的CMM測(cè)量不確定度評(píng)定,目前已有行業(yè)內(nèi)認(rèn)可的研究成果［1-3］,即利用測(cè)量系統(tǒng)分析（Measurement System Analysis,MSA）量值統(tǒng)計(jì)分析的方法,將CMM測(cè)量時(shí)主要不確定度來(lái)源提煉、歸納為示值誤差、重復(fù)性誤差、復(fù)現(xiàn)性誤差以及溫度補(bǔ)償誤差4項(xiàng),進(jìn)而建立不確定度評(píng)定模型并給出各不確定度分量的量化方法,最終按GUM法［9］完成測(cè)量不確定度的評(píng)定。本文的CMM尺寸測(cè)量不確定度的常規(guī)評(píng)定參照文獻(xiàn)［1］提出的方法進(jìn)行,具體如下:

1.1 不確定度評(píng)定模型

CMM尺寸測(cè)量誤差分析模型為

式（1）中,Y為被測(cè)量,y為被測(cè)量的估計(jì)值,δE為示值誤差,δrp為重復(fù)性誤差,δrd為復(fù)現(xiàn)性誤差,δtemp為溫度補(bǔ)償誤差。

假設(shè)δE、δrp、δrd和δtemp相互獨(dú)立,基于方差合成定理,得到的不確定度評(píng)定模型為

式（2）中,uc為合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度,uE為示值誤差引入的不確定度分量,urp為重復(fù)性引入的不確定度分量,urd為復(fù)現(xiàn)性引入的不確定度分量,utemp為溫度補(bǔ)償引入的不確定度分量。其中,utemp又可細(xì)分為uT、uCTE1、uCTE2三個(gè)分量,uT為溫度變化引入的不確定度分量,uCTE1為工件線膨脹系數(shù)變化引入的不確定度分量,uCTE2為CMM光柵尺線膨脹系數(shù)變化引入的不確定度分量。utemp可表示為

1.2 不確定度分量的量化

各不確定度分量按表1所列公式進(jìn)行量化。

表1中,MPEE=A+B·L為CMM最大允許示值誤差（A為常數(shù)項(xiàng),B為線性系數(shù),L為被測(cè)長(zhǎng)度）,n為測(cè)量次數(shù),m為測(cè)量組數(shù),yi為n次重復(fù)測(cè)量中某一次的測(cè)得值,y-j為m組測(cè)量中某一組的平均值,y-為組內(nèi)平均值,y=為組間平均值,L為被測(cè)尺寸,T為環(huán)境溫度,αW為工件線膨脹系數(shù),αM為CMM光柵尺線膨脹系數(shù)。

表1 測(cè)量不確定度分量匯總Table1 Summary of uncertainty components

1.3 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc的計(jì)算

按照式（2）進(jìn)行計(jì)算,可得合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc的值。

1.4 擴(kuò)展不確定度U的計(jì)算

式（4）中,k為包含因子。依據(jù)GUM,包含概率p=95%時(shí),k=1.96。

1.5 評(píng)定實(shí)例

在溫度條件為20℃±1℃的測(cè)量間內(nèi),使用Leitz PMM866p坐標(biāo)測(cè)量機(jī)對(duì)動(dòng)壓馬達(dá)半球零件的球徑進(jìn)行測(cè)量。零件的標(biāo)稱直徑SΦ為15mm,公差為2μm;CMM的最大允許誤差指標(biāo)為MPEE=（0.8+L/600）μm;工件的線膨脹系數(shù)為αW=（12.01±0.57）×10-6/℃,CMM光柵尺的線膨脹系數(shù)為αM=（10.5±1.0）×10-6/℃。半球零件圖及測(cè)量實(shí)景如圖1所示。

圖1 半球零件圖及測(cè)量實(shí)景Fig.1 Hemispherical part drawing and measurement real scene

為減小復(fù)現(xiàn)性誤差,將測(cè)量策略（探針規(guī)格、采點(diǎn)方式、擬合方法、裝夾方式等）作了統(tǒng)一規(guī)定。由不同操作者在不同時(shí)間段對(duì)同一半球零件的直徑進(jìn)行了20組重復(fù)測(cè)量,每組測(cè)量10次,測(cè)量數(shù)據(jù)如表2所示。

1.5.1 計(jì)算各不確定度分量

1）示值誤差引入的不確定度分量uE

=0.825/3=0.476μm

2）重復(fù)性引入的不確定度分量urp

任選表2中20組數(shù)據(jù)里的一組考察重復(fù)性（本次分析選第3組數(shù)據(jù)）。按表1中對(duì)應(yīng)公式計(jì)算urp,可得urp=0.066μm。

3）復(fù)現(xiàn)性引入的不確定度分量urd

根據(jù)表2所列20組數(shù)據(jù),按表1中對(duì)應(yīng)公式計(jì)算urd,可得urd=0.183μm。

表2 半球直徑測(cè)量數(shù)據(jù)Table2 Measurement data of hemispherical diameter

4）計(jì)算溫度補(bǔ)償誤差引入的不確定度分量

將溫度、溫度變化、工件線膨脹系數(shù)及CMM光柵尺線膨脹系數(shù)代入表1中對(duì)應(yīng)公式進(jìn)行計(jì)算,可得uT=0.013μm、uCTE1=0.005μm、uCTE2=0.009μm,再按式（3）計(jì)算得到utemp=0.017μm。

1.5.2 計(jì)算合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc

將以上各不確定度分量值于表3中匯總列出。

將表3中各分量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度值代入式（2）,可得uc=0.514μm。

表3 常規(guī)評(píng)定不確定度分量量值匯總Table3 Summary of conventional evaluation uncertainty components

1.5.3 求擴(kuò)展不確定度U

按照式（4）進(jìn)行計(jì)算,可得U=kuc=1.96×0.514=1.01μm。

2 不確定度的二次優(yōu)化評(píng)定

1.5小節(jié)中按常規(guī)評(píng)定的球徑測(cè)量不確定度為U=1.01μm,已超過(guò)2μm公差值的1/3,即U＞UT=0.67μm（UT為目標(biāo)不確定度［10］,UT=T/3,T為公差）。按精度分配原則［11］,測(cè)量能力不滿足工藝要求。同時(shí),用本文將要介紹的MCM進(jìn)行不確定度驗(yàn)證也未能通過(guò)。為此,對(duì)評(píng)定過(guò)程進(jìn)行重新審視。由表3可知,各不確定度分量中,示值誤差分量uE的占比最大,對(duì)評(píng)定結(jié)果有顯著影響。常規(guī)評(píng)定時(shí),uE是按CMM的最大允許誤差指標(biāo)MPEE進(jìn)行量化的,很可能存在過(guò)量估計(jì)。于是,采用使用標(biāo)準(zhǔn)工件的方法對(duì)PMM866p CMM進(jìn)行針對(duì)性的示值誤差標(biāo)定,即使用經(jīng)上一級(jí)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)——0.3μm精度等級(jí)的超精密CMM校準(zhǔn)的同規(guī)格半球進(jìn)行示值誤差標(biāo)定,得到實(shí)際的示值誤差,進(jìn)而對(duì)不確定度進(jìn)行二次優(yōu)化評(píng)定。

標(biāo)準(zhǔn)半球的直徑校準(zhǔn)值為ycal=14.99930mm,校準(zhǔn)不確定度Ucal95=0.20μm（k=1.65）,則其標(biāo)準(zhǔn)不確定度ucal=0.20/1.65=0.12μm。

在PMM866p CMM上對(duì)標(biāo)準(zhǔn)半球的直徑進(jìn)行測(cè)量,測(cè)得值為y=14.99938mm,實(shí)際示值誤差為E=y-ycal=0.08μm,優(yōu)化后的示值誤差不確定度分量為uEO=E/3=0.08/3=0.046μm。

優(yōu)化后的不確定度分量如表4所示（urp、urd、utemp的值不變）。

表4 優(yōu)化評(píng)定不確定度分量量值匯總Table4 Summary of optimized evaluation uncertainty components

對(duì)不確定度首次評(píng)定中發(fā)現(xiàn)的最大（占優(yōu)勢(shì)）的不確定度分量重新定制量化方案,得到其更準(zhǔn)確的上界估計(jì)值［10］,進(jìn)而進(jìn)行二次評(píng)定,通?？娠@著降低過(guò)量估計(jì)的影響。

判據(jù)為

式（5）中,y為本級(jí)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的測(cè)量結(jié)果,y0為上一級(jí)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的測(cè)量結(jié)果,U為本級(jí)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量結(jié)果的擴(kuò)展不確定度,U0為上一級(jí)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量結(jié)果的擴(kuò)展不確定度。

如式（5）成立,則驗(yàn)證通過(guò)［12］。

對(duì)上文所述球徑測(cè)量不確定度的評(píng)定結(jié)果進(jìn)行傳遞比較法驗(yàn)證,上一級(jí)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)為0.3μm精度等級(jí)的超精密CMM,驗(yàn)證數(shù)據(jù)如表5所示。

表5 傳遞比較法不確定度驗(yàn)證數(shù)據(jù)Table5 Uncertainty verification data of transfer comparison method

3 不確定度驗(yàn)證

3.1 傳遞比較法

依據(jù)JJF1033,應(yīng)優(yōu)先采用傳遞比較法,通過(guò)與上一級(jí)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的測(cè)量結(jié)果比較,驗(yàn)證測(cè)量不確定度評(píng)定的合理性［12］。

驗(yàn)證結(jié)果:使用傳遞比較法,兩種評(píng)定方法評(píng)定的測(cè)量不確定度均驗(yàn)證通過(guò)（包括過(guò)量估計(jì)的常規(guī)評(píng)定結(jié)果）。

傳遞比較法的局限性:驗(yàn)證是單向的,即只能驗(yàn)證給出的不確定度是否偏小,不能驗(yàn)證是否偏大。對(duì)于過(guò)量估計(jì)的檢驗(yàn),該方法并不適用。

3.2 蒙特卡洛法

3.2.1 簡(jiǎn)介

蒙特卡洛法（MCM）通過(guò)計(jì)算機(jī)對(duì)各影響量進(jìn)行大量的隨機(jī)抽樣,并通過(guò)對(duì)大量的抽樣值進(jìn)行數(shù)值計(jì)算來(lái)評(píng)定測(cè)量不確定度。GUM法對(duì)不確定度分量合成后輸出量的分布類型假設(shè)為正態(tài)分布,但實(shí)際的情況并非總是如此。MCM的“海量”隨機(jī)數(shù)模擬的結(jié)果能夠反映輸出量分布的實(shí)際情況,直接得到擴(kuò)展不確定度。因此,可以以MCM的結(jié)果作為標(biāo)準(zhǔn),去驗(yàn)證GUM法得出的擴(kuò)展不確定度是否正確。

3.2.2 模擬方法

對(duì)于誤差分析模型Y=y+δ1+δ2+…+δn,首先對(duì)每個(gè)誤差分量（δ1、δ2、…、δn）按給定的分布類型和分布區(qū)間進(jìn)行M次隨機(jī)模擬抽樣,各自產(chǎn)生M個(gè)隨機(jī)數(shù),然后對(duì)各誤差分量的M個(gè)隨機(jī)數(shù)進(jìn)行代數(shù)和相加,得到M個(gè)測(cè)量誤差Δy的合成樣本值,再按式（6）及式（7）計(jì)算平均值和標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc,并按給定的包含概率p%計(jì)算包含區(qū)間,所得包含區(qū)間的半寬即為擴(kuò)展標(biāo)準(zhǔn)不確定度U。

試驗(yàn)次數(shù)的選擇:試驗(yàn)次數(shù)越多,不確定度評(píng)定失真就越小,但試驗(yàn)次數(shù)越多,需要的計(jì)算時(shí)間也越長(zhǎng)?？梢圆捎米赃m應(yīng)算法自動(dòng)選擇足夠的試驗(yàn)次數(shù),以保證模擬的可靠性。在自適應(yīng)MCM程序的執(zhí)行過(guò)程中,試驗(yàn)次數(shù)不斷增加,直到所需要的、uc、具有指定包含概率的包含區(qū)間端點(diǎn)Δylow和Δyhigh等4個(gè)結(jié)果達(dá)到統(tǒng)計(jì)意義上的穩(wěn)定（2倍標(biāo)準(zhǔn)差小于標(biāo)準(zhǔn)不確定度要求的數(shù)值容差δ［13］）。在采用自適應(yīng)MCM對(duì)GUM法進(jìn)行驗(yàn)證時(shí),以δ/5作為穩(wěn)定性判斷閾值［13］。

數(shù)值容差δ［13］:將標(biāo)準(zhǔn)不確定度的數(shù)值表示為c×10l的形式,c為ndig個(gè)有效十進(jìn)制整數(shù),l是整數(shù),則數(shù)值容差為

3.2.3 驗(yàn)證方法

GUM法獲得的包含區(qū)間為［Δy-U,Δy+U］,MCM獲得的包含區(qū)間為［Δylow,Δyhigh］。對(duì)這兩個(gè)包含區(qū)間進(jìn)行比較,確定兩個(gè)包含區(qū)間的各自端點(diǎn)的絕對(duì)偏差dlow和dhigh

如果dlow和dhigh均不大于數(shù)值容差δ,則GUM法不確定度評(píng)定結(jié)果通過(guò)驗(yàn)證［13］。3.2.4 MCM應(yīng)用實(shí)例

對(duì)1.5節(jié)所述球徑不確定度常規(guī)評(píng)定的結(jié)果用自適應(yīng)MCM進(jìn)行不確定度驗(yàn)證。

1）算法

用Matlab軟件編制自適應(yīng)MCM程序。根據(jù)式（1）,分別對(duì)δE、δrp、δrd、δT、δCTE1、δCTE2按給定的分布類型和分布區(qū)間（δE～U（-0.825,0.825）,δrp～N（0,0.0662）,δrd～N（0,0.1832）,δT～U（-0.023,0.023）,δCTE1～U（-0.009,0.009）,δCTE2～U（-0.015,0.015））進(jìn)行隨機(jī)模擬抽樣,生成6維大樣本隨機(jī)數(shù),再將該6維隨機(jī)數(shù)的各樣本值代數(shù)和相加,得到球徑測(cè)量誤差Δy樣本值、uc以及95%概率包含區(qū)間。（Δy=δE+δrp+δrd+δT+δCTE1+δCTE2）,進(jìn)而計(jì)算

因標(biāo)準(zhǔn)不確定度保留2位有效數(shù)字,按式（8）計(jì)算數(shù)值容差δ=×10-2=0.005μm,自適應(yīng)確定試驗(yàn)次數(shù)時(shí),按e=δ/5=0.001μm確定穩(wěn)定性判斷閾值。

自適應(yīng)計(jì)算控制:設(shè)定基本試驗(yàn)次數(shù)M=1×104［13］,在輸入量的概率分布中,首先進(jìn)行1×104次抽樣并計(jì)算結(jié)果;隨后進(jìn)行第2次1×104次抽樣并計(jì)算結(jié)果,樣本量與前一次相迭加;結(jié)合前兩次的計(jì)算結(jié)果,計(jì)算相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)差,若這些標(biāo)準(zhǔn)差均不大于e=0.001μm,則認(rèn)為所有計(jì)算已達(dá)穩(wěn)定,否則重復(fù)進(jìn)行抽樣計(jì)算,直至計(jì)算結(jié)果穩(wěn)定。

算法程序流程圖如圖2所示。

圖2 自適應(yīng)MCM算法流程圖Fig.2 Flowchart of adaptive MCM algorithm

2）計(jì)算結(jié)果

MCM實(shí)際試驗(yàn)次數(shù)為2.70×106,=-0.0001μm,uc=0.5147μm,95%概率包含區(qū)間［Δylow,Δyhigh］=［-0.9147,0.9141］。

根據(jù)包含區(qū)間,可得擴(kuò)展不確定度為U=0.9144μm≈0.914μm,包含因子為k=U/uc=0.9144/0.5147=1.78,輸出的誤差統(tǒng)計(jì)直方圖如圖3所示。

圖3 常規(guī)評(píng)定誤差統(tǒng)計(jì)直方圖Fig.3 Error statistical histogram of conventional evaluation

根據(jù)表6所列數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證:dlow=|-1.007-（-0.915）|=0.092＞δ=0.005,dhigh=|1.007-0.914|=0.093＞δ=0.005,故驗(yàn)證未通過(guò)。

表6 GUM與MCM常規(guī)評(píng)定結(jié)果對(duì)比Table6 Comparison of conventional evaluation results between GUM and MCM

原因分析:從統(tǒng)計(jì)直方圖（圖3）上看,分布圖形已不是正態(tài)分布,而是近似的梯形分布,已明顯偏離GUM法正態(tài)分布的假設(shè)。回看表3,占比最大的不確定度分量uE是均勻分布,但uE還沒(méi)有大到成為占優(yōu)勢(shì)的分量［14］,第二大分量urd為正態(tài)分布,兩者共同作用的結(jié)果造成合成后的分布似均勻非均勻、似正態(tài)非正態(tài)。

擴(kuò)展不確定度應(yīng)以MCM計(jì)算的結(jié)果為準(zhǔn),即U=0.91μm（k=1.78）。而GUM法的評(píng)定結(jié)果為U=1.01μm（k=1.96）,比實(shí)際情況擴(kuò)大了10.2%。

同理,對(duì)第2章所述優(yōu)化評(píng)定結(jié)果進(jìn)行MCM驗(yàn)證,得到的數(shù)據(jù)如表7所示,驗(yàn)證能夠通過(guò)的原因就是不再有大占比的非正態(tài)分布分量（表4）。根據(jù)中心極限定理［14］,合成后的分布近似正態(tài)分布。對(duì)此,圖4所示的統(tǒng)計(jì)直方圖也有直觀的顯示。

表7 GUM與MCM優(yōu)化評(píng)定結(jié)果對(duì)比Table7 Comparison of optimized evaluation results between GUM and MCM

圖4 優(yōu)化評(píng)定誤差統(tǒng)計(jì)直方圖Fig.4 Error statistical histogram of optimized evaluation

可以得到dlow=dhigh=0.001＜δ=0.005,故驗(yàn)證通過(guò)。

示值誤差的分布類型為均勻分布,示值誤差的過(guò)量估計(jì)往往使其成為不確定度分量中的優(yōu)勢(shì)分量或近優(yōu)勢(shì)分量,從而使合成分布偏離正態(tài)分布,此時(shí)的MCM驗(yàn)證不能通過(guò),故MCM驗(yàn)證可以作為是否存在示值誤差過(guò)量估計(jì)的檢驗(yàn)手段。

4 結(jié)論

針對(duì)示值誤差過(guò)量估計(jì)導(dǎo)致不確定度評(píng)定結(jié)果偏大乃至失準(zhǔn)的問(wèn)題,本文研究了采用標(biāo)準(zhǔn)工件進(jìn)行測(cè)量標(biāo)定獲得CMM的實(shí)際示值誤差的優(yōu)化評(píng)定方法,科學(xué)、合理地減小了不確定度。典型精密零件——?jiǎng)訅厚R達(dá)半球球徑測(cè)量不確定度評(píng)定結(jié)果表明,采用優(yōu)化評(píng)定法后,不確定度由常規(guī)評(píng)定的1.01μm減小為0.46μm,降幅達(dá)54.5%。評(píng)定結(jié)果U=0.46μm＜UT=0.67μm（目標(biāo)不確定度）,證明測(cè)量能力能夠滿足工藝要求。本文研究了采用自適應(yīng)MCM對(duì)GUM法評(píng)定結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證的方法,MCM可以發(fā)現(xiàn)并糾正被測(cè)量偏離正態(tài)分布時(shí)GUM法的正態(tài)分布假設(shè)造成的過(guò)量估計(jì),減小了不確定度。半球球徑測(cè)量MCM仿真驗(yàn)證的結(jié)果表明,GUM法常規(guī)評(píng)定的不確定度比實(shí)際情況擴(kuò)大了10.2%,傳統(tǒng)的不確定度驗(yàn)證方法——傳遞比較法并不能解決過(guò)量估計(jì)導(dǎo)致的不確定度偏大的驗(yàn)證問(wèn)題。然而,示值誤差的過(guò)量估計(jì)會(huì)使被測(cè)量偏離正態(tài)分布,對(duì)此MCM驗(yàn)證是敏感的,故MCM驗(yàn)證可以作為示值誤差過(guò)量估計(jì)的檢驗(yàn)手段。本文的研究成果對(duì)于提高精密零件坐標(biāo)測(cè)量不確定度評(píng)定結(jié)果的可靠性具有實(shí)際意義。