福建省莆田市秀嶼區(qū)東嶠珠江小學 胡旭初

《義務教育數(shù)學課程標準（2011 年版）》指出：“能在教師的引導下，從日常生活中發(fā)現(xiàn)并提出簡單的數(shù)學問題。了解同一問題可以有不同的解決辦法。有與同伴合作解決問題的體驗，初步學會表達解決問題的大致過程和結(jié)果?！苯鉀Q問題是新課改后從傳統(tǒng)應用題的基礎(chǔ)上衍生出來的新題型，著重培養(yǎng)、提升和考查學生運用所學數(shù)學知識來解決現(xiàn)實數(shù)學問題的能力。全國模范教師、特級教師吳正憲老師認為，與傳統(tǒng)的應用題相比，解決問題更為強調(diào)問題解決過程，更強調(diào)針對具體的真實的情景和綜合解決問題的過程，更強調(diào)具體問題具體分析；問題從兒童經(jīng)驗出發(fā)，具有生活性、社會性、開放性和多元性。可見，解決問題與傳統(tǒng)應用題相比，內(nèi)容和形式上更為豐富、更為深刻，更注重學生解決問題能力的培養(yǎng)，是提升小學生數(shù)學核心素養(yǎng)的關(guān)鍵。

一、深度審題是提高解決問題能力的基礎(chǔ)

解決問題首先需要理清需要解決什么問題，這就涉及到審題問題。現(xiàn)實教學中發(fā)現(xiàn)，學生因為審題不清而導致的錯誤屢見不鮮，常常由于忽視了重要信息或隱藏信息，導致“差之毫厘，謬以千里”。因此，提高小學生解決問題能力，首先就要從基礎(chǔ)的審題著手。

一是理清解決問題中的數(shù)量關(guān)系。解決問題中的數(shù)量關(guān)系是實現(xiàn)問題解決的關(guān)鍵所在，要引導學生培養(yǎng)找數(shù)量關(guān)系的審題習慣，借助符號語言表示題中的基本數(shù)量關(guān)系，進而正確列出算式，水到渠成地解決問題。如六年級上冊《分數(shù)除法》的解決問題：“小紅家所在小區(qū)共30 層，高度為100m，小紅家住14 樓，那么她家距離地面多少米？”

這個解決問題中，需要理清楚其中的兩組數(shù)量關(guān)系：①小紅家的高度占到整棟樓的比例為，②整層樓的高度為100m。由此列出算式：100×46.67（m）。此外，可以通過數(shù)量關(guān)系進行邏輯推理：30 層樓高度為100 米，則15層高度為100÷2=50 米，又每一層的高度為米，那么，14 樓的高度為≈46.67（m）。同樣可以求得正確結(jié)果。可見，從數(shù)量關(guān)系出發(fā)進行審題，能找到解決問題的多種策略。

二是挖掘解決問題中的隱性信息。解決問題逐漸淡化數(shù)學運算的考查，而更側(cè)重于學生邏輯思維的考查，因此解決問題中的陷阱到處存在，這也要求學生在審題過程中條分縷析、抽絲剝繭，挖掘出隱藏在圖片或文字中的重要信息。如解決問題：“甲乙兩車同時從A 地出發(fā)，其中甲車速度為85 千米/小時，乙車速度為100千米每小時，那么2.5 小時后兩車相距多少千米？”很多學生的答案為2.5×（100-85）=37.5（千米）。而沒有考慮另一種潛在的可能——背向行駛，當甲乙兩車背向行駛時，2.5 小時后兩車相距2.5×（100+85）=462.5（千米）。學生需要從題干中發(fā)現(xiàn)問題陷阱，然后通過分類討論，列出所有可能的情況，做到全面分析問題，進而正確解答問題。

二、數(shù)形結(jié)合是提高解決問題能力的法寶

小學生形象思維較為敏捷，對抽象的語言文字的理解缺乏敏感度，而直觀形象的圖形能起到化抽象為直觀的效果。數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學思想，很好地將數(shù)與形結(jié)合起來，以形助數(shù)，幫助學生理解問題，尋找解決問題思路，迅速又準確地解好題。

如在《有余數(shù)的除法》的解決問題中，有如下問題：

星期天，紅星幼兒園28 名學生來到西湖公園乘船，公園規(guī)定每艘船最多乘坐5 名兒童，每一條小船的價格為45 元，那么一共需要租多少條小船，需要花費多少租船費用？

解題中，學生可以用如下的簡圖來幫助分析：一共28 名兒童，那么租5 條船后，還有3 名孩子沒船坐，故而需要增加一條，即 28÷5=5……（3），需要租 5+1=6（條）船。則一共需要花費租船費用為45×6=270（元）。

又如解決問題：“三年級的小記者社團中有女同學12 人，女同學比男同學多，那么男同學有多少人？”在解決問題中，借助如下的線段圖幫助學生理清數(shù)量關(guān)系：

三、合理想象是解決問題的竅門

數(shù)學解決問題側(cè)重于解決問題的過程，而不偏重解決問題的結(jié)果，注重學生數(shù)學發(fā)散思維、創(chuàng)新能力的考查和培養(yǎng)。因此在解決問題過程中，不要對學生的解題方法做過多干預，只要能達到解決問題的目標，就要允許和鼓勵學生用另辟蹊徑的解題方法。

一是運用假設法輔助解決問題。如常見的工程問題：“一項工作，甲單獨完成需要12 天，乙單獨完成需要18 天，那么甲乙合作完成，需要多少天？”常規(guī)的解題為運用單位“1”來解題，列式為=7.2（天）；還可以通過假設法來進行解題，假設：該項工作為生產(chǎn)360套（取12 和18 的倍數(shù)，以簡化計算）服裝，那么甲工作效率為360÷12=30 套/天，乙工作效率為360÷18=20 套/天，工作總效率為50 套/天，因此，兩人合作完成此項工作任務的時間為360÷50=7.2（天），也得到了正確的問題答案。通過賦值獲得清晰的解題思路，也是一種可取的能夠達到殊途同歸效果的解決問題策略，當學生思維受限時，通過假設法輔助解決問題能夠達到柳暗花明的效果。

二是運用轉(zhuǎn)化法輔助解決問題。轉(zhuǎn)化是小學數(shù)學解決問題中常用的一種方法，能把較復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，能把未知的問題變?yōu)橐阎膯栴}。

如問題：“媽媽買了2 千克柑橘和5千克鴨梨，共花了28.6 元。每千克柑橘的價格是鴨梨的4 倍，每千克柑橘和鴨梨各多少元？”分析：“每千克柑橘的價格是鴨梨的4 倍”，這句話就是轉(zhuǎn)化的條件?？梢砸龑W生這樣想：買1 千克柑橘的價錢可以買4 千克鴨梨，那么買2 千克柑橘的價錢可以買2×4=8 千克鴨梨。所以總共花了28.6 元相當于買了（8+5）千克鴨梨所花的錢。通過轉(zhuǎn)換，問題就得以解決了。

合理想象，是等價轉(zhuǎn)換思想的具體應用，反映了學生的數(shù)學邏輯思維品質(zhì)。大膽運用假設和轉(zhuǎn)化方法，將復雜問題簡單化，能幫助學生輕松解決問題。

四、數(shù)學模型是提高解決問題能力的捷徑

數(shù)學建模是高階數(shù)學核心素養(yǎng)，要求從數(shù)學問題中抽象出能反映一類數(shù)學問題本質(zhì)、解決同類型數(shù)學問題的數(shù)學模型，達到舉一反三、觸類旁通、精準化解決問題的目的。從本質(zhì)上來說，數(shù)學建模在于解決問題，故而數(shù)學建模是促進解決問題的重要途徑。

如數(shù)量關(guān)系的解決問題：

1.已知兩數(shù)的和為96，大數(shù)比小數(shù)大6，求這兩個數(shù)是多少？

2.已知兩數(shù)的和為96，大數(shù)是小數(shù)的7 倍，求這兩個數(shù)是多少？

這類數(shù)量關(guān)系的解決問題是中年級數(shù)學中常見的重要題型，如果生硬地窮舉計算，則耗費極大的時間，難度也很大，而通過建立模型，則能夠迅速地實現(xiàn)問題的解決。

問題一中，已知兩數(shù)的和以及兩數(shù)的差，求兩數(shù)，我們可以將其歸為“和差問題”的數(shù)學模型。由于小數(shù)加上兩數(shù)差就是大數(shù)，兩數(shù)和加上兩數(shù)差便是大數(shù)的2倍；大數(shù)減去兩數(shù)差就是小數(shù)，兩數(shù)和減去兩數(shù)差是小數(shù)的2 倍。因此，我們可以提煉出一個計算公式：大數(shù)=（和+ 差）÷2，小數(shù)=（和- 差）÷2，既可以先求大數(shù)，也可以先求小數(shù)，問題便迎刃而解了。通過代入“和差問題”模型，迅速解得大數(shù)為（96+6）÷2=51，小數(shù)為（96-6）÷2=45。

問題二中，已知兩數(shù)的和以及大數(shù)與小數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求兩數(shù)，我們不妨將其歸為“和倍問題”的數(shù)學模型。運用方程思想，假設小數(shù)為x，則大數(shù)為7x，所以8x=96，得出小數(shù)為12，大數(shù)為84。因而可以提煉出一個計算公式：小數(shù)= 和÷（倍數(shù)+1），大數(shù)= 小數(shù)×倍數(shù)。通過代入“和倍問題”模型，迅速求得小數(shù)=96÷（7+1）=12，大數(shù) =12×7=84。

其他類似的模型問題數(shù)不勝數(shù)，包括教材中典型的“雞兔同籠”模型、“植樹問題”模型等等。要從邏輯推理出發(fā)，讓學生親歷模型建立的過程，知其然并且知其所以然，這樣就能夠理解和記憶模型，熟練地代入公式和計算方法，輕松地解決問題。

五、同伴合作是提高解決問題能力的橋梁

解決問題的結(jié)構(gòu)性、復雜性是傳統(tǒng)應用題所不具備的特點，尤其是進入中高年級，很多解決問題呈現(xiàn)出項目化特征，需要學生花費較多的時間和智力來解決問題，這些問題常常因為課時緊張、力量單薄、操作不便等現(xiàn)實困難而無法施展開。數(shù)學課程標準要求“有與同伴合作解決問題的體驗”，在學習共同體理論之下，以同伴合作為橋梁來建立解決問題的合作學習小組，則讓項目化的解決問題有了現(xiàn)實的可能。

以六年級上冊《確定起跑線》的解決問題為例，教師以數(shù)學綜合性學習的方式拋出現(xiàn)實的解決問題：“下月將要舉行學校秋季運動會，在4×100m 的接力比賽項目中，需要在1~8 跑道畫起跑線。我們學校的田徑場跑道是由兩條直道和兩個半圓形彎道組成，其中直道為85.96m，半圓直徑為72.6m，每一條跑道的寬度是1.25m，那么，應該怎樣畫起跑線？”這是一個現(xiàn)實解決問題的典型問題，既考查了圓周長知識，又體現(xiàn)了真實數(shù)學應用場景。從問題的解讀，到條件的分析，到思路的探討，再到計算與確定起跑線，是一個系統(tǒng)復雜的學習項目，學生個人完成難度很大。教師讓學生以前后座次的四人建立合作學習小組，各小組認真討論、形成方案、解決問題。第一組四名學生進行了如下分析和討論：

生1：“如果在同一水平起跑線上跑，那越到外道肯定是越吃虧的?！保ù蠹乙恢抡J可）

生2“：關(guān)鍵是要算出每一道的周長是多少，這樣就很容易算出每一道的全長了?！?/p>

生3“：那我們一步步來，先算出每一道的直徑是多少，再算出每一道所在的圓的周長，最后加上同一的直道?！保ù蠹乙恢峦獠⒎止ず献饔嬎悖?/p>

生4“：為了精確一些，我們把π 定為3.1416，周長保留小數(shù)點后兩位數(shù)吧！”

經(jīng)過同伴合作尋求思路并精細計算，得出下表：

跑道 1 2 3 4 5 6 7 8直徑（m） 72.6 75.1 77.6 80.1 82.6 85.1 87.6 90.1圓周長（m） 228.08 235.93 243.79 251.64 259.50 267.35 275.20 283.06跑道全長（m） 400 407.85 415.71 423.56 431.42 439.27 447.12 454.98

如此，分別計算出第1~8 道的跑道總長度，就得出了各跑道的長度之差，只需要相鄰跑道長度相減，即可計算出后一道需要比前一道向前移動多少米。學生驚喜地發(fā)現(xiàn)，相鄰跑道的長度差是一個固定值，約7.85～7.86m。通過同伴合作學習，實現(xiàn)對復雜解決問題的有效解決，促進了學生之間的互學互促，提升了學生解決問題的能力。

綜上所述，解決問題作為小學數(shù)學的一個主要題型，著重考查學生知識應用與解決問題的能力，是提高學生數(shù)學應用能力和核心素養(yǎng)的橋梁。教無定法，貴在得法，解決問題同樣沒有固定的模式，其關(guān)鍵一方面在于多做——在做中積累各種題型，開闊視野，發(fā)散思維；另一方面在于多思考——如何根據(jù)具體的解決問題選擇最佳的解題方法，做到因題制宜。通過深度審題、數(shù)形結(jié)合、合理想象、數(shù)學模型、同伴合作等方法，提高學生解決問題能力，是十分有效的途徑。