李小平，李偉峰，賈紅娟，郝世彥

(1.延長油田股份有限公司 志丹采油廠，陜西 延安 716000； 2.延長石油(集團(tuán))有限責(zé)任公司研究院，陜西 西安 710075； 3.延長油田股份有限公司 勘探開發(fā)技術(shù)研究中心，陜西 延安 716000)

引 言

三維水平井是井口和各個靶點(diǎn)不在同一個鉛垂面內(nèi)的多目標(biāo)水平井[1]。在進(jìn)行軌道設(shè)計(jì)時，水平段的方位和形態(tài)受地質(zhì)靶點(diǎn)的約束，直井段受造斜點(diǎn)深度的約束[2]。斜井段的軌道形態(tài)與參數(shù)受工程允許狗腿度的約束，直井段的末端和水平段起點(diǎn)是斜井段的邊界。

井眼軌跡的連線不可能只是簡單的對接。水平井軌道優(yōu)化對齊設(shè)計(jì)就是要實(shí)現(xiàn)在限定斜井段狗腿度的情況下，以科學(xué)合理的井斜、方位和狗腿度實(shí)現(xiàn)相鄰井段之間的準(zhǔn)確相切[3]。

目前，國內(nèi)外普遍采用的三維水平井軌道設(shè)計(jì)方法，缺少關(guān)于井眼軌道曲線的嚴(yán)格數(shù)學(xué)表達(dá)，需要使用復(fù)雜的數(shù)值迭代或積分運(yùn)算求解，不易于被普通技術(shù)人員所掌握，因此設(shè)計(jì)簡單直接的軌道數(shù)學(xué)模型和易于理解的計(jì)算方法，避免復(fù)雜的迭代和積分求解，不僅可以大幅提高軌道設(shè)計(jì)效率，而且更有利于設(shè)計(jì)人員和現(xiàn)場施工人員直觀理解和優(yōu)化軌道參數(shù)。

1 三維水平井軌道設(shè)計(jì)模型

在三維空間內(nèi)建立水平井軌道設(shè)計(jì)的空間模型。如圖1所示，橫軸為水平面東西坐標(biāo)，用+E(東)、-W(西)表示，向東(E)為正，向西(W)為負(fù)，縱軸為平面南北坐標(biāo)，用+N(北)、-S(南)標(biāo)識，向北(N)為正，向南(S)為負(fù)，Z軸表示垂深，向下為正。

圖1 水平井軌道設(shè)計(jì)模型示意圖

1.1 模型參數(shù)

井口：O，O點(diǎn)井斜為0°，無方位；

造斜點(diǎn)：Z，Z點(diǎn)井斜為0°，無方位；

第一圓弧段末端，同為穩(wěn)斜段起點(diǎn)：C，井斜角αab，方位角φab，待求解；

穩(wěn)斜段末端，同為第二增斜段起點(diǎn)：D；

第二圓弧段末端，同為水平段起點(diǎn)：A；

水平段末端：B；

其余參數(shù)：ΔN為南北坐標(biāo)增量，m；ΔE為東西坐標(biāo)增量，m；ΔD為垂深增量，m；D為垂深，m；L為井深或長度，m；ΔL為井深增量，m；α為井斜角，(°)；φ為方位角，(°)；γ為井眼曲率，(°)/30 m；R為曲率半徑，m；下標(biāo)a、b、c、d、z、o即水平井A、B、C、D、Z、O的相應(yīng)位置點(diǎn)。

1.2 軌道設(shè)計(jì)算法

根據(jù)上述模型，Z點(diǎn)為造斜點(diǎn)，屬已知條件。A、B點(diǎn)為水平段靶點(diǎn)，坐標(biāo)及垂深為已知條件[4]。ZC圓弧段長度Lzc未知、DA圓弧段長度Lda未知，CD穩(wěn)斜段長度Lab及方位角φab未知，CD穩(wěn)斜段井斜角αab是Lzc的線性函數(shù)。所以軌道設(shè)計(jì)的問題，就轉(zhuǎn)化成了已知造斜點(diǎn)、靶點(diǎn)、第一、第二圓弧段全角變化率(狗腿度)的情況下，求解圓弧ZC、DA長度及直線CD段長度和方位角的問題，未知參數(shù)為4個。

第一步：根據(jù)水平段A點(diǎn)與B點(diǎn)已知垂深，計(jì)算水平段井斜角

(1)

根據(jù)A點(diǎn)與B點(diǎn)坐標(biāo)值，計(jì)算井斜方位角φ(以正北為起點(diǎn))，方位角函數(shù)取值用反正切函數(shù)表示：

(2)

(3)

當(dāng)Nb-Na=0時，Eb≠Ea。如果Eb>Ea，表明水平段自西向東，水平段方位角φab=90°；如果Eb

第二步：計(jì)算靶前距，設(shè)定造斜點(diǎn)。根據(jù)靶前距估算不含穩(wěn)斜段的全角變化率γ。通過靶前距估算全角變化率時，需假定從造斜點(diǎn)Z至水平段A點(diǎn)為一條理想空間圓弧曲線(可用靶前距對全角變化值進(jìn)行初步估算)，采用最小曲率法[5-6]，估算空間圓弧曲線的全角變化率

(4)

那么估算狗腿度

(5)

第三步：試算雙增斜井眼曲率γzc和γda。γzc和γda可采取試錯法不斷修正，由于理想空間圓弧曲線的γ在取值時，并不考慮穩(wěn)斜段的影響，只是一種近似解，所以，可以根據(jù)雙增軌道模式，初步設(shè)定實(shí)際狗腿度γzc和γda都略大于γ。

一般經(jīng)驗(yàn)是：當(dāng)需要實(shí)現(xiàn)壓低造斜點(diǎn)時，可取兩段的狗腿度γzc略大于γda，那么，第一圓弧段(ZC)和第二圓弧段(DA)的狗腿度分別為[7-10]

γzc=γ+i，i建議取1～2；

(6)

γda=γ+j，j建議取0～1。

(7)

當(dāng)需要采取常規(guī)雙增式軌道設(shè)計(jì)時，可取γzc略低于γda，即

γzc=γ+j；

(8)

γab=γ+i；

(9)

γzc=arccos[cosαozcosαcd+sinαozsinαcd· cos(φcd-φoz)] ；

(10)

γda=arccos[cosαcdcosαda+sinαcdsinαda·cos(φ-φcd)]。

(11)

第四步：計(jì)算不同井段的坐標(biāo)增量。第一圓弧段，即圓弧ZC段的垂深增量ΔD、南北坐標(biāo)增量ΔN、東西坐標(biāo)增量ΔE分別為

(12)

sinαcdcosαcd)；

(13)

sinφcd)。

(14)

式中，

(15)

第五步：圓弧段DA的垂深D、南北坐標(biāo)N、東西坐標(biāo)E的增量分別為

(16)

(17)

(18)

第六步：從井口至A點(diǎn)的垂深增量、東西坐標(biāo)增量、南北坐標(biāo)增量為已知值，則

ΔDzc+ΔLcdcosαcd+ΔDda=|Da-Dz|；

(19)

ΔNzc+ΔLcdsinαcdcosφcd+ΔNda=|Na-Nz|；

(20)

ΔEzc+ΔLcdsinαcdcosφcd+ΔEda=|Ea-Ez|。

(21)

第七步：合并方程(10)、(11)、(19)、(20)、(21)，方程組中只有4個未知參數(shù)，5個方程，可直接求解Lzc、Lab、Lda、φab。

第八步：根據(jù)方程結(jié)果，即可得出造斜率、方位扭轉(zhuǎn)率等全部輸出參數(shù)。如取值不合理，可進(jìn)一步調(diào)整γzc和γda，重復(fù)式(6)—式(21)計(jì)算步驟即可。

2 實(shí)例驗(yàn)證

2.1 實(shí)例井靶點(diǎn)參數(shù)

為證實(shí)上述算法的精確性，以一口三疊系延長組長6層三維水平井為例，實(shí)例井靶點(diǎn)參數(shù)見表1。

表1 實(shí)例井靶點(diǎn)參數(shù)

2.2 驗(yàn)證過程及結(jié)果

2.2.1 第一次驗(yàn)證

假定造斜點(diǎn)位置：250 m。

第一步：根據(jù)水平段A點(diǎn)與B點(diǎn)已知垂深，計(jì)算水平段井斜角

計(jì)算水平段方位角φ，方位角函數(shù)取值用反正切函數(shù)，即

第二步：預(yù)設(shè)造斜點(diǎn)250 m，計(jì)算靶前距(A點(diǎn)相距井口的水平位移)

空間圓弧曲線的全角變化值

則估算空間曲線的全角變化率(狗腿度)

第三步：由于該井靶點(diǎn)埋深較淺，需要實(shí)現(xiàn)壓低造斜點(diǎn)，因此取γzc略大于γda，即

γzc=(γ+1.17)=6.04°/30 m，

γda=(γ+0.67)=5.54°/30 m。

第一圓弧段、第二圓弧段全角變化值為

建立等式

(22)

第二圓弧段狗腿度滿足：

sin 90°cos(36.87°-φcd)]，

(23)

簡化為

(24)

第四步：建立第一圓弧段的坐標(biāo)增量方程，圓弧段ZC的垂深D、南北坐標(biāo)N、東西坐標(biāo)E的增量分別為：

(25)

(26)

(27)

第五步：圓弧段DA的垂深D、南北坐標(biāo)N、東西坐標(biāo)E的增量分別為：

(28)

(29)

(30)

第六步：從井口至A點(diǎn)的垂深增量、東西坐標(biāo)增量、南北坐標(biāo)增量為已知值，將式(25)—式(30)代入式(19)—式(21)則

ΔDzc+ΔLcdcosαcd+ΔDda=|Da-Dz|=330;

(31)

ΔNzc+ΔLcdsin|αcdcos|φcd+ΔNda=|Na-Nz|=300;

(32)

ΔDzc+ΔLcdsin|αcdcos|φcd+ΔEda=|Ea-Ez|=200。

(33)

第七步：合并方程(24)、(25)、(31)、(32)、(33)，方程組中只有4個未知參數(shù)，4個方程，可借助Mathcad求解Lzc、Lab、Lda、φcd。

通過上述計(jì)算方法，當(dāng)γzc=6.04°/30 m，γda=5.54°/30 m時ΔLzc=240.62 m，Lab=30.12 m，Lda=273.46 m，αcd=48.44°，φcd=68.65°。

那么，采用行業(yè)普遍使用的蘭德馬克系統(tǒng)，預(yù)設(shè)同樣的造斜率和造斜點(diǎn)，計(jì)算雙增剖面下的軌道參數(shù)，結(jié)果見表2。

從表2可以看出，第一圓弧段長度Lzc=490.62-250=240.62 m；穩(wěn)斜段長度Lcd=520.74-490.62=30.12 m；第二圓弧段長度Lda=490.62-250=240.62 m；穩(wěn)斜段井斜角αcd=48.44°；穩(wěn)斜段方位φcd=68.65°。設(shè)計(jì)模型的計(jì)算結(jié)果與Landmark Compass軟件計(jì)算的雙增剖面參數(shù)一致。

表2 采用Landmark Compass軟件計(jì)算的雙增式井身剖面參數(shù)(γzc=6.04°/30 m，γda=5.54°/30 m)

2.2.2 第二次驗(yàn)證

為進(jìn)一步驗(yàn)證設(shè)計(jì)模型的準(zhǔn)確性，預(yù)設(shè)γzc=7°/30 m，γda=5.5°/30 m時，采用文中的計(jì)算方法，求解結(jié)果為：第一圓弧段長度ΔLzc=174.03 m，穩(wěn)斜段長度Lcd=50.40 m，第二圓弧段長度Lda=317.16 m，穩(wěn)斜角αcd=40.61°，穩(wěn)斜段方位角φcd=72.69°。

采用Landmark Compass軟件計(jì)算的軌跡見表3。

表3 采用Landmark Compass軟件計(jì)算的雙增式井身剖面參數(shù)(γzc=7°/30 m，γda=5.5°/30 m)

由表3可知， 第一圓弧段長度Lzc=424.03-250=174.03 m；穩(wěn)斜段長度Lcd=474.43-424.03=50.40 m；第二圓弧段長度Lda=791.59-474.43=317.16 m；穩(wěn)斜段井斜角αcd=40.61°；穩(wěn)斜段方位角φcd=72.69°。所以，二者計(jì)算結(jié)果仍然是吻合的。

3 結(jié) 論

(1)斜井段的曲線形態(tài)和軌道參數(shù)是三維水平井軌道設(shè)計(jì)的核心問題。優(yōu)化對齊設(shè)計(jì)的目標(biāo)就是在限定斜井段狗腿度的情況下，以科學(xué)合理的井斜、方位和狗腿度實(shí)現(xiàn)相鄰井段之間的準(zhǔn)確相切。

(2)通過本文的研究，將三維水平井的軌道設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化成了一個多元一次方程組的求解問題，只要確定了造斜點(diǎn)、靶點(diǎn)、預(yù)設(shè)好第一圓弧段和第二圓弧段的狗腿度，井眼軌道參數(shù)的解就具有唯一性，計(jì)算結(jié)果與Landmark雙增剖面設(shè)計(jì)的結(jié)果一致。

(3)本文所形成的計(jì)算方法，第一圓弧段的狗腿度與造斜率一致、第二圓弧段造斜率恒定，方位扭轉(zhuǎn)率不恒定，距離水平井A點(diǎn)越近，方位扭轉(zhuǎn)率越小，可以實(shí)現(xiàn)在小井斜段多扭方位，大井斜段少扭方位，有利于現(xiàn)場井眼軌道控制和水平段矢量中靶。