李曉瑋 施衛(wèi)星 虞終軍

（1.同濟(jì)大學(xué)建筑設(shè)計(jì)研究院（集團(tuán)）有限公司，上海 200092；2.同濟(jì)大學(xué)結(jié)構(gòu)防災(zāi)減災(zāi)工程系，上海 200092）

0 引 言

在結(jié)構(gòu)的改造工程中，經(jīng)常遇到需要在已有建筑頂部新加一層的情況，比如在砌體結(jié)構(gòu)頂層新增一層框架結(jié)構(gòu)，用作會(huì)議室或者餐廳。當(dāng)原結(jié)構(gòu)周期位于地震影響系數(shù)曲線水平（接近Tg）或下降段時(shí)，按照傳統(tǒng)的柱底插筋錨固加層方式，結(jié)構(gòu)整體周期加大有利于降低地震影響系數(shù)，但是重力荷載代表值的顯著增加會(huì)使各層層剪力增大，結(jié)構(gòu)位移增加，砌體墻應(yīng)力變大。在加層改造中，通常所加層的重量相當(dāng)于下部結(jié)構(gòu)的5%～20%，如果能將新加層當(dāng)作附加于下部結(jié)構(gòu)的調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（Tuned Mass Damper，TMD），反而可以起到控制下部結(jié)構(gòu)的水平向振動(dòng)的作用，減小下部結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)[1]。

現(xiàn)有隔震支座的研究大多集中于基礎(chǔ)隔震和層間隔震，主要目的是減輕上部結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)，而新加層采用隔震支座的目的是控制下部結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，同時(shí)限制隔震層位移[2]。鉛芯橡膠支座是在普通疊層橡膠支座中插入鉛芯，用以改善支座的阻尼性能，利用疊層橡膠較小的剪切剛度延長結(jié)構(gòu)的周期，利用鉛芯的塑性變形吸收能量[3]。摩擦擺支座主要是利用圓弧滑動(dòng)面的設(shè)計(jì)來延長結(jié)構(gòu)振動(dòng)的周期，利用滑動(dòng)面與滑塊之間的摩擦來消耗能量[4]。本文通過建立加層結(jié)構(gòu)的兩自由度運(yùn)動(dòng)方程，從質(zhì)量比、阻尼比和頻率比等方面分析了不同隔震支座參數(shù)影響結(jié)構(gòu)振動(dòng)衰減的規(guī)律。

1 鉛芯橡膠支座

鉛芯橡膠支座的力學(xué)模型可以簡化為彈簧和阻尼器，如圖1所示，按常規(guī)TMD的力學(xué)模型加以分析。用兩自由度體系表達(dá)的加層與下部結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程為

圖1 兩自由度運(yùn)動(dòng)體系簡圖Fig.1 Movement diagram of two degrees of freedom

式中：m0、mT為主體結(jié)構(gòu)和TMD的質(zhì)量；k0、kT為主體結(jié)構(gòu)和TMD的剛度；c0、cT為主體結(jié)構(gòu)和TMD的阻尼系數(shù)；xT為TMD相對主體結(jié)構(gòu)的位移；x0為主體結(jié)構(gòu)相對于地面的位移；x?g為基底輸入的地震加速度。

為得到結(jié)構(gòu)的傳遞函數(shù)，令x?g=eiωt，ω為輸入荷載的圓頻率，定義主體結(jié)構(gòu)和TMD的位移響應(yīng)為

式中，H0(ω)和HT(ω)是主體結(jié)構(gòu)和TMD響應(yīng)的傳遞函數(shù)。

假設(shè)基底輸入的地震加速度是均值為零的白噪聲過程，且其功率譜為常數(shù)S0，則結(jié)構(gòu)的響應(yīng)同樣為白噪聲過程。根據(jù)傳遞函數(shù)可求得結(jié)構(gòu)的響應(yīng)方差為[5]

ω0、ωT是主體結(jié)構(gòu)和TMD的圓頻率，ξ0、ξT是主體結(jié)構(gòu)和TMD的阻尼比，定義質(zhì)量比μ=mT/m0。

對未設(shè)置TMD的單自由度系統(tǒng)，基底輸入的地震加速度也是功率譜為S0的白噪聲過程，其反應(yīng)方差為[6]

假定設(shè)置TMD的結(jié)構(gòu)反應(yīng)方差和未設(shè)置TMD的結(jié)構(gòu)反應(yīng)方差之比為SR，SR可以作為評價(jià)TMD減振效果的指標(biāo)，SR＜1表明TMD具有減振效果，而且越小效果越好。

其中：f=ωT/ω0，A'0=f2，A'1=2ξ0f2+2ξTf2，A'2=1+(1+μ)f2+4ξ0ξTf，A'3=2ξ0+2(1+μ)ξTf，B'0=-(1+μ)f2，B'1=(1+μ)2f2。

為了分析TMD質(zhì)量比、頻率比和阻尼比對鉛芯橡膠支座下部結(jié)構(gòu)產(chǎn)生減振效果的影響，假設(shè)下部結(jié)構(gòu)的質(zhì)量m0=5 000 t，剛度k0=970 000 kN/m，阻尼系數(shù)c0=6 964 kN·s/m，取TMD質(zhì)量比μ分別為 0.01，0.05，0.12，0.20；TMD 阻尼比ξT分別為0.01，0.03，0.05，0.07，0.10，0.13，0.15，0.17，0.20；TMD頻率與主體結(jié)構(gòu)頻率比為0.1～2進(jìn)行分析，得到結(jié)構(gòu)的反應(yīng)方差比[式（6）]如圖2所示。

圖2 主體結(jié)構(gòu)的反應(yīng)方差比Fig.2 Variance ratio of the response of the main structure

由圖2可知，質(zhì)量比在1%～20%之間隨著質(zhì)量比增加，TMD的減振效果也趨于更優(yōu)；質(zhì)量比較低時(shí)，阻尼比對減振率的影響表現(xiàn)為拋物線形，阻尼比在中間某處值時(shí)達(dá)到最優(yōu)減振效果；質(zhì)量比較大時(shí)，阻尼比對減震率的影響類似于兩折線形，先上升后趨于平緩；而且要達(dá)到最優(yōu)減振率，隨著質(zhì)量比增加阻尼比也要相應(yīng)增加；隨著質(zhì)量比增加，最優(yōu)頻率比向小于1的方向移動(dòng)，質(zhì)量比越大，最優(yōu)頻率比越??；隨著質(zhì)量比增加，減振效果的離散性增加，如果參數(shù)選取不當(dāng)會(huì)嚴(yán)重影響減振效果。綜上所述，用鉛芯橡膠支座加層時(shí)，由于質(zhì)量比較大，應(yīng)盡量選用阻尼比較大的方案，建議阻尼比取10%以上，頻率比宜選擇在0.8左右。

2 摩擦擺支座

摩擦擺的受力圖可以簡化為滑塊作用于圓弧滑動(dòng)面的形式，如圖3所示，滑動(dòng)面的圓弧半徑為R，滑塊質(zhì)量為mT。θ是滑塊相對滑動(dòng)面豎向法線的夾角，xT為滑塊離開中心點(diǎn)的位移，由于sinθ的表達(dá)式與xT有關(guān)，所以sinθ是有符號(hào)的，而且和xT一致?；瑝K受到自身重力G，滑動(dòng)面的支撐力Gcosθ和摩擦力f=μGcosθsign(θ?)作用，μ為摩擦系數(shù)。其中

圖3 摩擦擺支座力學(xué)簡圖Fig.3 Mechanical diagram of friction pendulum bearing

假定有一水平外力F作用于滑塊上，對滑動(dòng)面圓弧心O點(diǎn)取矩，即∑M0=0，可得式[7]：

該水平外力可以表示為

當(dāng)假設(shè)滑塊擺動(dòng)夾角θ很小時(shí)，式（9）可簡化為

因此，摩擦擺的剛度為

由式（10）以及摩擦擺各向?qū)ΨQ性，可構(gòu)造出滯回曲線模型，如圖4所示。

圖4 摩擦擺支座的滯回模型Fig.4 Hysteresis model of friction pendulum bearing

由滯回模型可以得到摩擦擺的等效線性剛度及等效黏滯阻尼比：

式（12）、式（13）中的Dd表示力-位移滯回環(huán)中的位移幅值，也即設(shè)計(jì)位移。

但是當(dāng)滑塊的擺角比較大時(shí)，cosθ≈1就不再適用，以單自由度結(jié)構(gòu)串聯(lián)一個(gè)摩擦擺體系為例，寫出其運(yùn)動(dòng)方程為

由于式（14）非線性程度比較高，又有符號(hào)函數(shù)sign，所以采用NewMark-β法對方程進(jìn)行時(shí)間積分求解。圖5—圖7所示為結(jié)構(gòu)的功率譜密度曲線（以某一種工況為例）和不同參數(shù)時(shí)下部結(jié)構(gòu)的最大加速度結(jié)果。

圖5 摩擦系數(shù)對下部結(jié)構(gòu)加速度的影響Fig.5 Influence of friction coefficient on the acceleration of substructure

圖6 滑動(dòng)面半徑對下部結(jié)構(gòu)加速度的影響Fig.6 Influence of sliding surface radius on the acceleration of substructure

圖7 質(zhì)量比對下部結(jié)構(gòu)加速度的影響Fig.7 Influence of mass ratio on the acceleration of substructure

2.1 摩擦系數(shù)的影響

當(dāng)摩擦擺滑塊位于滑動(dòng)面中心位置附近時(shí)，若要滑塊能夠依靠其自身重力自動(dòng)回復(fù)至中心點(diǎn)，自重恢復(fù)力需要克服摩擦力使之下滑，則有[8]：

當(dāng)θ很小時(shí)，上式可簡化為

式中，Dm為滑塊接近中點(diǎn)的某個(gè)臨界位移值，當(dāng)Dm＞μR時(shí)滑塊可在自重作用下自動(dòng)恢復(fù)；當(dāng)Dm=μR時(shí)恰好達(dá)到平衡，滑塊停在中心點(diǎn)附近，此時(shí)Dm即為滑塊的最大殘余變形。由式（16）可知，摩擦擺的殘余變形與摩擦系數(shù)和滑動(dòng)面半徑有關(guān)。通常設(shè)計(jì)摩擦擺時(shí)都會(huì)使摩擦系數(shù)盡量小，此時(shí)殘余變形也很小，可以忽略不計(jì)。通過添加潤滑劑或者采用聚四氟烯板等技術(shù)可以使摩擦系數(shù)達(dá)到0.01以下。

為了分析摩擦系數(shù)會(huì)對摩擦擺支座下部結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的影響，分別選用μ=0.005，0.01，0.015，0.02。下部結(jié)構(gòu)的質(zhì)量m0=5 000 t，剛度k0=970 000 kN/m，阻尼系數(shù)c0=6 964 kN·s/m，支座上部結(jié)構(gòu)質(zhì)量mT=600 t。式（12）中項(xiàng)相對于通常很小，如果忽略此項(xiàng)產(chǎn)生的誤差在10%以內(nèi)，所以初步擬定摩擦擺半徑時(shí)可以采用下式：

將摩擦擺和上部結(jié)構(gòu)當(dāng)做調(diào)諧質(zhì)量阻尼器時(shí)，需要摩擦擺的頻率與主體結(jié)構(gòu)頻率一致，即由所計(jì)算出的頻率是主體結(jié)構(gòu)頻率的0.8倍，即半徑R=0.08 m。

如果改變摩擦系數(shù)的取值，由圖5可以得到結(jié)論[9]：隨著摩擦系數(shù)的增大，支座下部結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)頻譜峰值增大，隔震結(jié)構(gòu)向非隔震結(jié)構(gòu)退化，對于支座下部結(jié)構(gòu)隔震效果減弱，并且加速度峰值處的頻率隨著摩擦系數(shù)增大而增大，最終接近非隔震結(jié)構(gòu)的無阻尼自振頻率。

2.2 滑動(dòng)面半徑的影響

摩擦擺系統(tǒng)的頻率近似表達(dá)為

可知，其頻率只與半徑R有關(guān)。假設(shè)γ=fT/f0，f0為主體結(jié)構(gòu)頻率，通過選取γ=0.8，0.6，0.5，0.3，半徑分別為0.052 m，0.08 m，0.14 m，0.27 m，0.56 m，分析其對下部結(jié)構(gòu)加速度的影響。需注意，對于加層來說，當(dāng)γ=1.0時(shí)，通常所計(jì)算的R值較小，可能在較大地震作用下，支座上部結(jié)構(gòu)的位移會(huì)超過摩擦擺的位移限值，所以本文選取γ＜1的參數(shù)進(jìn)行分析。

對于支座上部結(jié)構(gòu)，隨著摩擦擺半徑的增大，上部結(jié)構(gòu)的恢復(fù)剛度減弱，結(jié)構(gòu)整體變得更柔，加速度響應(yīng)峰值變小，但減小的程度隨半徑增大而減小[9]。由圖6可得，摩擦擺頻率的表達(dá)式（18）對支座下部結(jié)構(gòu)的影響與傳統(tǒng)TMD是一致的，當(dāng)頻率比γ在0.8附近時(shí)，加速度響應(yīng)最小，當(dāng)γ小于0.5以后這種差異逐漸縮小。

2.3 質(zhì)量比的影響

如圖7所示，與傳統(tǒng)TMD一樣，隨著質(zhì)量比增加，下部結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)減小。對于摩擦擺支座上部結(jié)構(gòu)，隨著質(zhì)量比的增加，加速度影響峰值也會(huì)減小。實(shí)際工程中質(zhì)量比通常取決于加層方案，大幅度調(diào)整的可能性不大。

3 各種加層方案的對比

已有一位于上海地區(qū)（7度0.10g，場地類別：第一組，Ⅲ類場地土）的6層砌體結(jié)構(gòu)房屋，1層地下室。砌體墻厚240 mm，采用燒結(jié)普通磚，砌體墻上設(shè)圈梁，窗、門洞間墻設(shè)構(gòu)造柱，圈梁和構(gòu)造柱采用C20混凝土。該建筑平面呈矩形，長43.2 m，寬12 m，層高2.8 m，地面以上總建筑高16.8 m，一層地下室高2.8 m。該建筑由于使用需要在頂部增加一層，層高3 m，所加層采用框架結(jié)構(gòu)形式?？蚣苤孛鏋?00×300，框架梁截面為200×300，均采用C30混凝土。砌體建筑及加層軸測圖見圖8。

圖8 多層砌體結(jié)構(gòu)加層軸測圖Fig.8 Axonometric Sketch of the masonry structure adding a layer

模型中圈梁和構(gòu)造柱按照桿件單元建立，砌體墻采用了墻單元，厚度按照實(shí)際墻厚，材料的彈性模量取3024 MPa，泊松比為0.15，容重為22 kN/m3。該結(jié)構(gòu)模型只能在彈性理論范圍討論砌體墻的抗側(cè)性能和動(dòng)力特性，并不能真實(shí)反映砌磚、砂漿等材料的不確定性以及構(gòu)造的復(fù)雜性。鑒于砌體結(jié)構(gòu)目前尚無合理的分析模型，且本文主要分析隔震支座對結(jié)構(gòu)的減震的規(guī)律，所以對該砌體結(jié)構(gòu)的簡化建模并不影響得到的結(jié)論。

傳統(tǒng)加層方案即在頂層砌體墻上增設(shè)圈梁，混凝土柱直接落在圈梁上，在構(gòu)造上保證柱縱筋在底部有充足的錨固，使加層與下部結(jié)構(gòu)形成整體。

采用摩擦擺支座時(shí)，為了使加層盡量發(fā)揮TMD的效應(yīng)，即支座周期與下部結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)，摩擦擺支座的半徑設(shè)計(jì)為49.3 mm，速度慢時(shí)的摩擦系數(shù)0.015，速度快時(shí)的摩擦系數(shù)0.01。由式（18）計(jì)算的支座頻率，約為主體結(jié)構(gòu)頻率f1（2.27 Hz，Y向平動(dòng)）的0.98倍和f2（3.03 Hz，X向平動(dòng)）的0.74倍。每個(gè)柱底布置相同參數(shù)的摩擦擺支座共62套，見圖9。隔震層下端砌體與上端框架連接示意圖如圖10所示。

圖9 隔震層支座布置圖Fig.9 Layout of isolation supports

圖10 隔震支座層構(gòu)造示意圖Fig.10 Diagram of isolation bearing layer

由于頂層加層改造中，所加層重量比較小，框架梁柱尺寸也較小，所以對鉛芯橡膠支座的尺寸一般會(huì)有限制。本工程中加層框架柱截面尺寸為300×300，選用Ф300的鉛芯橡膠支座，布置在62根框架柱底，支座性能見表1，布置見圖9。鉛芯橡膠支座層的頻率fT=1.29 Hz，約為主體結(jié)構(gòu)頻率f1的0.57倍和f2的0.43倍。

表1 鉛芯橡膠支座參數(shù)Table 1 Parameters of Lead Rubber Bearing

本項(xiàng)目采用了5條強(qiáng)震記錄和2條人工模擬加速度時(shí)程曲線作為地震動(dòng)輸入，后續(xù)計(jì)算結(jié)果均為7條地震波彈塑性分析結(jié)果的平均值。表2—表9為不同加層方案下，結(jié)構(gòu)的周期、基底剪力、砌體頂層、新加層位移和加速度以及底層砌體墻應(yīng)力的對比結(jié)果。圖11所示為各加層方案中下部砌體墻的應(yīng)力云圖。

表2 各種方案下周期對比Table 2 Comparison of period of different case s

表3 各種方案下基底剪力對比Table 3 Comparison of base shear of different case kN

表4 各種方案下砌體頂層位移對比Table 4 Comparison of the top-layer’s drifts of different case mm

表5 各種方案下砌體頂層加速度對比Table 5 Comparison of the top-layer’s acceleration of different case cm/s2

表6 各種方案下新加層位移對比Table 6 Comparison of the adding-layer’s drifs of different case mm

表7 各種方案下新加層加速度對比Table 7 Comparison of the adding-layer’s acceleration of different case cm/s2

表8 各種方案下隔震支座位移對比TabLE 8 Comparison of the isolation-layer’s drifts of different case mm

表9 各種方案下底層砌體墻應(yīng)力對比Table 9 Comparison of stress of bottom masonry wall among several programmes MPa

圖11 各種方案砌體墻應(yīng)力圖Fig.11 Stress diagram of masonry walls

綜合比較四種方案，即不加層結(jié)構(gòu)、傳統(tǒng)加層、摩擦擺支座加層和鉛芯橡膠支座加層結(jié)構(gòu)，在相同的地震波作用下，由表2—表9可以看出傳統(tǒng)加層結(jié)構(gòu)的基底剪力、砌體頂層位移和墻體最大應(yīng)力都比不加層結(jié)構(gòu)的大，而摩擦擺和鉛芯橡膠支座結(jié)構(gòu)的結(jié)果都比不加層結(jié)構(gòu)的小，也就是說采用隔震支座以后，下部結(jié)構(gòu)的響應(yīng)反而比原來的更小。具體為，摩擦擺支座基底剪力與不加層結(jié)構(gòu)相比減小61.8%（Y方向35.8%），鉛芯橡膠支座基底剪力減小58.5%（Y方向27.3%），摩擦擺支座結(jié)構(gòu)的墻體最大應(yīng)力比不加層結(jié)構(gòu)減小62.73（正應(yīng)力）和62.0%（負(fù)應(yīng)力），鉛芯橡膠支座結(jié)構(gòu)的墻體最大應(yīng)力比不加層結(jié)構(gòu)減小51.9%（正應(yīng)力）和57.8%（負(fù)應(yīng)力）。對于砌體頂層加速度和位移，以及新加層加速度，兩種隔震支座方案總體差別不明顯，但均好于傳統(tǒng)加層結(jié)構(gòu)。對于隔震支座位移，摩擦擺支座優(yōu)于鉛芯橡膠支座。需要注意的是，在本項(xiàng)目中由于受限于支座尺寸，摩擦擺支座的剛度特性更趨近于TMD的要求，所以減振效果略優(yōu)于鉛芯橡膠支座。

4 結(jié) 語

本文針對加層改造案例進(jìn)行了專項(xiàng)分析，提出可以在原有結(jié)構(gòu)頂部和新加層之間設(shè)置隔震支座，此時(shí)新加層相對原結(jié)構(gòu)具有TMD的效應(yīng)，可以減小下部結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)。通過分析對比可知，無論采用何種隔震支座形式，下部結(jié)構(gòu)的各項(xiàng)地震響應(yīng)均遠(yuǎn)比不加層和剛性加層結(jié)構(gòu)小；各種隔震支座下結(jié)構(gòu)響應(yīng)略有差異，隔震支座的頻率越接近于最優(yōu)頻率（下部結(jié)構(gòu)頻率的0.8倍），阻尼比在10%～20%區(qū)間取值越大，摩擦擺支座滑動(dòng)系數(shù)越小，原結(jié)構(gòu)和新加層響應(yīng)越小。