陶玉杰，索春鳳

(1.通化師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 通化 134002；2.北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,吉林 吉林 132000)

0 引 言

自 1986年，ATANASSOV[1]首次提出直覺模糊集（intuitionistic fuzzy set，IFS）概念以來，IFS廣受關(guān)注。特別是自CHEN等[2]提出得分函數(shù)和HONG等[3]提出精確函數(shù)后，IFS在多屬性信息群體決策（MAGDM）領(lǐng)域得到迅猛發(fā)展。其主要原因是IFS在實(shí)際問題中能同時(shí)刻畫支持、反對(duì)和中立3種態(tài)度，從而克服了傳統(tǒng)模糊集僅由隸屬度描述事物的局限性。然而，IFS也存在一定缺陷，例如，隸屬度和非隸屬度之和受小于等于1的限制，導(dǎo)致其無法處理某些實(shí)際信息，這對(duì)IFS理論的廣泛應(yīng)用提出了挑戰(zhàn)。為此，2013年，YAGER 等[4]首次將 IFS的限制條件擴(kuò)展為隸屬度和非隸屬度的平方之和小于等于1，拓展了IFS。此外，還提出了在畢達(dá)哥拉斯模糊環(huán)境下按等級(jí)的自然準(zhǔn)則排序的規(guī)則，并用極坐標(biāo)形式表示畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)（Pythagorean fuzzy number，PFN）[5]。近年來，國內(nèi)外學(xué)者對(duì) PFS 理論及其應(yīng)用進(jìn)行了廣泛研究，尤其在決策分析方面取得了諸多成果，這些工作對(duì)進(jìn)一步將PFN應(yīng)用于多屬性信息決策問題具有重要理論意義。

2014年，ZHANG等[6]采用隸屬度和非隸屬度平方差形式首次提出得分函數(shù)這一概念，但當(dāng)?shù)梅趾瘮?shù)相等時(shí)卻出現(xiàn)了尷尬的局面。2015年，PENG等[7]針對(duì)文獻(xiàn)[6]的不足，將隸屬度和非隸屬度平方和作為精確函數(shù)對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)充，但又面臨新的問題：既然PFN是直覺模糊數(shù)（intuitionistic fuzzy number，IFN）的推廣，那么PFN和IFN的排序結(jié)果是否存在矛盾？事實(shí)上，矛盾確實(shí)存在，例如，設(shè)α=(0.5，0.3)，β=(0.4，0.1)，若按文獻(xiàn)[2-3]的方法，則其得分值S(α)=0.2＜0.3=S(β)，即α?β，若按文獻(xiàn)[6-7]的方法，則其得分值S(α)=0.52-0.32=0.16＞0.15=0.42-0.12=S(β)，即α?β，矛盾。為此，出現(xiàn)了很多改進(jìn)的得分函數(shù)[8-10]。然而，這些得分函數(shù)及其排序準(zhǔn)則雖然克服了已有方法的一些缺陷，但亦帶來了新的問題[11-12]。綜合看，這些得分函數(shù)的構(gòu)造主要基于代數(shù)方法，只對(duì)數(shù)學(xué)公式進(jìn)行了改進(jìn)，缺乏對(duì)其幾何含義的考慮。

2017年，WAN 等[9]通過幾何圖形面積方法引入了知識(shí)測度（knowledge measure）和信息可靠性（information reliability）概念，并分別將知識(shí)測度和信息可靠性作為得分函數(shù)和精確函數(shù)，同時(shí)給出了PFNs的排序準(zhǔn)則。遺憾的是，作者在推導(dǎo)信息可靠性（精確函數(shù)）時(shí)所用的三角形面積公式有錯(cuò)，造成精確函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式出錯(cuò)，令給出的排序準(zhǔn)則不可信。本文針對(duì)文獻(xiàn)[9]所采用的幾何方法，系統(tǒng)分析其在信息可靠性推導(dǎo)過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因，并在畢達(dá)哥拉斯模糊環(huán)境下用曲邊梯形面積（curved trapezoidal area，CTA）得到了新的得分函數(shù)，重新給出了PFN的排序準(zhǔn)則，進(jìn)一步通過與其他3種PFN排序方法對(duì)比，說明本文方法的優(yōu)勢。

1 基本定義

IFS作為傳統(tǒng)模糊集的拓展，迅速成為決策分析中的主要研究工具。PFS不僅是IFS的推廣，而且能在更廣泛領(lǐng)域處理多屬性模糊信息及其決策問題。兩者的共同點(diǎn)是可分別采用隸屬度、非隸屬度和猶豫度刻畫同意、反對(duì)和棄權(quán)3種態(tài)度，全面描述客觀事物的模糊現(xiàn)象。

2 問題的提出

文獻(xiàn)[9]推導(dǎo)信息可靠性Q(α)的幾何示意見圖1。

圖1 文獻(xiàn)[9]推導(dǎo)信息可靠性的幾何示意Fig.1 Geometric diagram of information reliability derived from reference[9]

3 排序方法

圖2 PFNα的可靠信息區(qū)域和猶豫信息區(qū)域示意Fig.2 Geometric diagram of reliable information area and hesitant information area of PFNα

4 實(shí)例分析

為簡單和直觀起見，本文回避文獻(xiàn)[9]而選擇與文獻(xiàn)[10-12]的方法進(jìn)行比較。文獻(xiàn)[10-12]所涉及的得分函數(shù)公式及其排序準(zhǔn)則見表1。

表1 4種得分函數(shù)公式及其排序準(zhǔn)則對(duì)比Table 1 Comparison of four ranking function formulas and their ranking criteria

由表1知，雖然經(jīng)不斷改進(jìn)，得分函數(shù)公式有所不同，但排序準(zhǔn)則相差不大，其中“～”指“等價(jià)于”，“?”指“強(qiáng)于”。不難看出已有方法存在2個(gè)缺陷：不能進(jìn)行精確比較；與傳統(tǒng)IFN排序方法存在矛盾。

表2為4組PFNs下本文方法與文獻(xiàn)[10-12]方法的比較，得分函數(shù)值根據(jù)表1公式計(jì)算得到。

表2 本文方法與文獻(xiàn)[10-12]方法的比較Table 2 Comparison of the proposed method and the methods in references[10-12]

從表2的4組PFN數(shù)據(jù)看，文獻(xiàn)[10-12]方法均存在一定缺陷，原因是這些方法僅從得分函數(shù)式的代數(shù)意義上做改進(jìn)，忽略了其幾何意義。為進(jìn)一步說明本文方法的優(yōu)勢，在畢達(dá)哥拉斯模糊環(huán)境下再選取3組PFN進(jìn)行對(duì)比分析，見表3。

表3 本文方法與文獻(xiàn)[10-12]方法排序?qū)Ρ萒able 3 A comparison of the proposed method and the ranking method in references[10-12]

由表3知，文獻(xiàn)[10-12]方法雖然克服了某些缺陷，但同時(shí)帶來了新的問題。實(shí)際上，對(duì)α1=(0.7，0.5)和β1=(0.5，0.1)，按本文和文獻(xiàn)[11-12]方法均得到β1?α1，而按文獻(xiàn)[10]方法卻得到α1?β1，說明文獻(xiàn)[10]方法有缺陷，而本文方法具有合理性。對(duì)α2=(0.4，0.4)和β2=(0.6，0.6)，按文獻(xiàn)[11-12]方法不能對(duì)其進(jìn)行嚴(yán)格比較，只能視作α2～β2，而本文方法可以比較，且結(jié)果與文獻(xiàn)[10]一致。說明文獻(xiàn)[10-12]方法均在一定程度上存在缺陷，而本文方法克服了這些缺陷，所得結(jié)果與傳統(tǒng)的IFN排序結(jié)果一致。

綜上所述，本文方法的主要優(yōu)勢表現(xiàn)為：

（1）將所有PFN和IFN統(tǒng)一在第一象限單位圓內(nèi)，提出了統(tǒng)一的得分函數(shù)及其排序方法；

（2）沒有出現(xiàn)等價(jià)情況（α～β），實(shí)現(xiàn)對(duì)α與β的精確比較；

（3）沒有出現(xiàn)與傳統(tǒng)IFN排序不一致的情況；

（4）考慮了其幾何含義，使方法更具一般性和科學(xué)性。

毋庸置疑，這些優(yōu)勢不僅克服了已有方法的某些缺陷，而且對(duì)進(jìn)一步擴(kuò)展PFN在決策分析中的應(yīng)用具有重要理論意義。

5 結(jié) 論

PFS能有效、全面地處理一些具有不確定性和模糊性的問題，近年來被廣泛應(yīng)用于解決多屬性指標(biāo)信息的決策分析問題。通過PFN反映的可靠信息所對(duì)應(yīng)的CTA提出了新的得分函數(shù)公式及其排序方法，并證明了方法的合理性。此外，通過選取幾組PFN，與文獻(xiàn)[10-12]方法進(jìn)行了比較，結(jié)果說明本文方法不僅克服了文獻(xiàn)[10-12]方法的某些缺陷，而且實(shí)現(xiàn)了將IFN和PFN統(tǒng)一排序的目標(biāo)。然而，這些優(yōu)勢并不代表本文方法完美無缺，其仍存在其他缺陷，有待下一步重點(diǎn)研究。