劉會(huì)彩，李東方

(許昌電氣職業(yè)學(xué)院公共教學(xué)部，河南 許昌 461000)

對(duì)非線性可積方程的研究正蓬勃發(fā)展，因?yàn)檫@些方程可用來描述海洋學(xué)、大氣領(lǐng)域和工程等領(lǐng)域的真實(shí)特征。這促使科學(xué)家們投入更多的工作來尋找非線性可積模型的解析解，如孤子解[1-8]，在理解非線性科學(xué)現(xiàn)象的各種定性和定量特征方面起著重要的作用。而最近幾十年，淺水波方程一直是廣大研究人員研究的熱點(diǎn)。淺水波方程是一種水深遠(yuǎn)小于自由水面擾動(dòng)的波長的模型。各種淺水波模型在海洋和大氣場中被廣泛地用于模擬水波傳播的動(dòng)力學(xué)行為，比如：

(2+1)維淺水波方程

uxxxy+uyt-3uyuxx-3uxuxy=0

(1)

和

uxxxy+uxt-2uyuxx-4uxuxy=0

(2)

(3+1)維淺水波方程

uxxxyz+uyzt-6uxyuxz-6uxuxyz=0

(3)

和

uxxxyz+uxzt-2(uxxuyz+uyuxxz)-4(uxuxyz+uxzuxy)=0

(4)

本文將討論一個(gè)新的擴(kuò)展的(3+1)維常系數(shù)淺水波方程[9]

uxxxy+uyt+αuxx+βuyy+γuxy+δuyz-3uyuxx-3uxuxy=0

(5)

其中u=u(x,y,z,t)，α，β，γ和δ是常數(shù)。這個(gè)方程是Abdul-Majid Wazwaz首先提出來的。他使用Painlevé分析證明了這個(gè)新發(fā)展的方程(5)具有可積性，給出了受參數(shù)α，β，γ和δ以及附加項(xiàng)系數(shù)影響的明顯色散關(guān)系。該作者還獲得了方程(5)的多孤子解和lump解。方程(5)其他的解析解尚未看到文獻(xiàn)研究過。

做變換u(x,y,z,t)=-2[lnξ(x,y,z,t)]x，可得方程(5)的Hirota雙線性形式

(6)

或者

(7)

事實(shí)證明，方程(6)和(7)的解是相同的。

2 解析解

為了獲得方程(7)的解，不妨設(shè)

ξ=e-xλ11-yλ12-zλ13-tλ14+exλ11+yλ12+zλ13+tλ14φ1+φ2tan(xλ21+yλ22+zλ23+tλ24)+φ3tanh(xλ31+yλ32+zλ33+tλ34)

(8)

其中φi和λij(i=1,2,3;j=1,2,3,4)是待定常數(shù)。將方程(8)代入方程(7)可得：

(9)

將方程(9)代入方程(8)和變換u(x,y,z,t)=-2[lnξ(x,y,z,t)]x中可得方程(5)的第一組新的解析解

(10)

為了了解方程(10)的動(dòng)力學(xué)行為，我們給出了相應(yīng)的三維圖形(a)、等高線圖(b)以及密度圖(c)(見圖1)。

(a)

(b)

(c)圖1 λ11=λ12=λ23=δ=γ= α=β=φ3=x=y=1,λ13=-1,φ2=2

(11)

將方程(11)代入方程(8)和變換u(x,y,z,t)=-2[lnξ(x,y,z,t)]x中可得方程(5)的第二組新的解析解

u2=-2(-

(12)

為了了解方程(12)的動(dòng)力學(xué)行為，我們分別給出了(z,t)平面(a)、(y,t)平面(b)以及(x,y)平面(c)下的三維圖形(見圖2)。

(a)

(b)

(c)圖2 λ11=λ12=δ=γ=α= β=x=y=1,λ13=-1,φ1=2

(3)φ2=λ32=λ12=α=0

(13)

將方程(13)代入方程(8)和變換u(x,y,z,t)=-2[lnξ(x,y,z,t)]x中可得方程(5)的第三組新的解析解

(14)

為了了解方程(14)的動(dòng)力學(xué)行為，我們給出了相應(yīng)的三維圖形(a)、等高線圖(b)以及密度圖(c)(見圖3)。

(a)

(b)

(c)圖3 λ11=λ14=λ31=φ3=x=y=1, λ13=λ33=-1,φ1=2,λ34=-2

(4)φ3=λ22=λ12=α=0

(15)

將方程(15)代入方程(8)和變換u(x,y,z,t)=-2[lnξ(x,y,z,t)]x中可得方程(5)的第四組新的解析解

(16)

為了了解方程(16)的動(dòng)力學(xué)行為，我們給出了相應(yīng)的三維圖形(a)、等高線圖(b)以及密度圖(c)(見圖4)。

(a)

(b)

(c)圖4 λ11=λ14=λ21=φ2=x=y=1,λ13=λ23=-1,φ1=2,λ24=-2

3 結(jié)論

高階非線性可積方程能夠用來描述更為真實(shí)復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)模型，研究這些方程的解析解是非常有意義的，目前已經(jīng)有很多方法被提出來，比如：G’/G-展開式法、雙曲函數(shù)法、Hirota雙線性方法、三波法等等。本文主要通過Hirota雙線性方法和一個(gè)特定的函數(shù)，獲得了一個(gè)新的擴(kuò)展的(3+1)維常系數(shù)淺水波方程的四組新的解析解，并對(duì)這些解的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了展示和分析。這些解有助于我們理解水深遠(yuǎn)小于自由水面擾動(dòng)的波長的模型。