浙江建德市實驗小學（311600）魯孟軍

一、問題起因

人教版教材2011年版的四年級上冊第51頁有一道練習題：用0，1，2，3，4，5組成三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法算式，你能寫出幾個？你能寫出乘積最大的算式嗎？根據(jù)教學經(jīng)驗，學生解題的錯誤率非常高。雖然學生在三年級時接觸過簡單的排列組合，知道具體形象的事件可以通過列舉得出結(jié)論，但解這一題要將5個數(shù)字進行排列，并且組成具體數(shù)時還要考慮0的位置，這已經(jīng)超過了他們的認知水平，因為要有序且不遺漏地把這些組合寫完，得花一定的時間，確實不容易。此外，用這五個數(shù)字組成的三位數(shù)乘二位數(shù)的算式很多，許多算式相似度非常高，學生很容易混淆，也不能通過口算輕松得到正確答案，想要準確找到積最大的算式，這對他們來說確實有較大難度。

計算練習是最枯燥的，在考試中又是學生失誤最多的部分。教材編排的目的是希望學生能在尋找乘積最大算式的規(guī)律方法的過程中進行不斷的計算練習，以夯實計算基礎。

因此，教學時可以結(jié)合這道題的分析過程，通過任務驅(qū)動，讓學生從被動計算練習轉(zhuǎn)為有目的地主動計算，在不斷驗證、探索規(guī)律和方法的過程中自然地進行計算練習，提升學生的數(shù)感。同時，引導學生學會理性思考并用正確的方法進行推算，提升學生的推理能力和解決問題能力。

二、前測分析

1.設計前測練習

因為解題需要三位數(shù)乘二位數(shù)的相關知識，所以就以學校四年級2個班的學生（共80人）為測試對象，設計兩道前測題：

前測題1：用1，2，3，4，5這五個數(shù)組成三位數(shù)乘二位數(shù)的乘積算式，你可以寫出多少個算式？

前測題2：用1，2，3，4，5這五個數(shù)組成的三位數(shù)乘二位數(shù)的算式中，乘積最大的是哪個算式？

前測題與教材題目有所不同，把原題中的“0”去掉了，這主要是因為在進行豎式計算時，末尾的“0”是不用參與計算的，所以用0就不能有效暴露學生的思考過程，去掉后，更能反映學生的思考過程，展示學生解決這類題所用的方法。

2.分析前測結(jié)果

依據(jù)前測題2的答題情況，給學生劃分了幾個不同能力層次：

表1

續(xù)表

根據(jù)學生的答題情況及從訪談中了解的學生思考過程得知，水平一到水平三的學生占了大多數(shù)，這說明學生整體上對這類題目的認識是模糊的；由于學生水平能力的不同，學生解題出現(xiàn)的錯誤也明顯不同，最主要還是欠缺邏輯推理和估算的意識，同時計算能力也有所不足。

因此，教師應該注重數(shù)學模型的建構(gòu)，重視估算的應用，強調(diào)計算能力的訓練，借助多種途徑引導學生找到正確的解題方法，提高學生的分析問題能力和邏輯推理能力。

三、實踐反思

1.組合算式，引發(fā)思考

這節(jié)課主要是通過復習三位數(shù)乘二位數(shù)的計算，提升學生的邏輯推理能力。對于前測題1，由于留給學生一定的時間，部分學生能根據(jù)數(shù)的排列和組合寫出較多的算式。對于前測題2，學生基本都是寫錯的，水平一到水平三的學生占了大多數(shù)。因此教學時宜從教材的習題切入，以降低難度。

【教學片段1】

師：請用0，2，3，4，5這五個數(shù)組成三位數(shù)乘二位數(shù)的算式。能寫幾個就寫幾個。

生：根據(jù)數(shù)的搭配組合，我先寫2開頭的，比如……

師：是的，根據(jù)數(shù)的組成可以寫出72個算式（如圖1）。這些算式都是三位數(shù)乘二位數(shù)的算式，也就是我們剛剛學習的算式。那怎樣進行三位數(shù)乘二位數(shù)的計算，需要注意什么？

圖1

72道算式的展示，讓水平一的學生明白這些算式的組合方式，了解算式的特點。由于搭配算式不是這節(jié)課的教學目標，這72道算式的展示是根據(jù)估算結(jié)果來排列的，目的是為后面的教學做鋪墊。

2.引用估算，確定方向

在解決數(shù)學問題時，需要學生具備估算意識，能有目的地分析數(shù)據(jù)，思考算式。

【教學片段2】

師：在這么多算式中如何找出結(jié)果最大的算式？

生1：計算出它們的結(jié)果。

師：那可要花些時間了。先想一想，哪些算式的乘積一定不會是最大的？為什么？（引導學生估算）

生2：我發(fā)現(xiàn)，通過估算，第一列算式的結(jié)果都是6000多，第二列算式的結(jié)果都是8000多，第三列算式的結(jié)果都是10000多，第四列算式的結(jié)果都是12000多，第五列算式的結(jié)果都是15000多，第六列算式的結(jié)果都是20000多，所以一至五列算式的結(jié)果都不可能是最大的。

師：那你有什么發(fā)現(xiàn)？

生3：只有把最大的兩個數(shù)分別放在兩個因數(shù)的首位，才可能使得到的乘積最大。

實踐中讓學生對課件展示的72道三位數(shù)乘二位數(shù)的算式進行估算，把乘積一定不會最大的算式給找出來。這一問題的提出，讓水平一和水平二的學生很快就有了思考的方向，這樣學生很快就否定了一至五列的算式，明白了解決這類題的一個基本特征：兩個因數(shù)的最高數(shù)位上的數(shù)應該是最大的兩個數(shù)。這樣一來就有效提高了水平一和水平二的學生的解題水平，讓學生感受估算的重要性。

3.計算訓練，明確方法

因為這節(jié)課是計算練習課，要讓學生多加練習，進而在計算練習的基礎上明確解題的方法，所以讓學生先計算課件展示的12道算式（如圖2）。這些算式的計算結(jié)果差距小，更能體現(xiàn)精確計算的重要性。

【教學片段3】

師：通過前面的分析，積最大的只可能出現(xiàn)在第六列的算式中，下面請計算這列的12個算式（如圖2）。（部分學生上黑板板演）

圖2

師：有了算式結(jié)果后，如果在確定兩個因數(shù)的最高位后，再選兩個數(shù)字，你會選哪兩個數(shù)呢？

生1：選余下數(shù)中最大的兩個數(shù)字，這樣得到的結(jié)果會比較大。

師：是的，我們來看看這些算式（如圖3）有什么特點。

圖3

生2：先將5，4分別寫在兩個因數(shù)的最高位，再將3，2分別寫在這兩個因數(shù)的第二位，0放最后，這樣的乘積結(jié)果比較大。

因為有前面環(huán)節(jié)的鋪墊，學生能根據(jù)計算結(jié)果找到四個最接近的算式，并很快得到解題方法。通過這樣的思考，學生明確了寫乘積最大算式時選擇數(shù)字的順序：最大的兩個數(shù)分別放在兩個因數(shù)的最高位，再從余下數(shù)中選擇最大的兩個數(shù)，分別放在兩個因數(shù)的第二位，這樣依次進行。由計算驗證得出方法的過程，使學生的思維在解決這類問題時變得有序，有效解決了水平三學生的問題。

4.計算模型，整合方法

數(shù)學思維的火花是在不斷的思維碰撞中產(chǎn)生的。對得到的四個算式的結(jié)果進行比較后，學生會將它們分成兩組，因為0在末尾不參與計算，教師就可以繼續(xù)引導學生進行推理。

【教學片段4】

師：現(xiàn)在我們知道430×52和520×43的計算結(jié)果最大，這是為什么？

生（齊）：不知道。

師（出示三年級“積變化規(guī)律”的內(nèi)容，如圖4）：兩個數(shù)的和不變，它們的差越小，乘積越大。

圖4

師：現(xiàn)在你知道原因了嗎？

生1：比較43×52和42×53，可以發(fā)現(xiàn)差分別是9和11，因為差越小，積越大，所以43×52的乘積比較大。

師：你能舉個例子來證明嗎？

生1：56×47比大57×46，58×63比大53×68。

師：請大家通過計算驗證。

師：現(xiàn)在學的知識是以三年級知識為基礎的，所以大家一定要學好每一個知識點。

學生通過復習知道，在三年級的“長方形面積”就學過“當長和寬越接近時，面積越大”（如圖4），后來接觸過一些和相等的兩數(shù)相乘的算式，也知道“它們的差越小，積越大”。通過引導，學生慢慢會發(fā)現(xiàn)，將三位數(shù)的個位0去掉后就是兩數(shù)相乘的計算模型，52與43更接近，它們相乘的積會更大。讓學生明白寫乘積最大的算式的方法是早已學過的，了解這題的本質(zhì)是什么，這是學生掌握解決這類題的方法的一個關鍵。

5.改變數(shù)字，應用模型

至此，學生已經(jīng)掌握了解決這類題的數(shù)學模型，也進行了多組計算練習。這時，教師可將數(shù)字0變?yōu)榕c前測題一樣的數(shù)字1，讓學生進行分析、計算、驗證，在鞏固解題方法的基礎上再次進行計算練習。

【教學片段5】

師：如果我將0改為1，現(xiàn)在5個數(shù)組合的三位數(shù)乘二位數(shù)的算式中，乘積最大的應該是哪個算式？請想一想，寫一寫。

生1：521×43，431×52。

師：請通過計算說明它們哪個的積更大。想一想，這個乘積最大的算式排列的方法是怎樣得出的？

生2：通過計算知道431×52的積更大，因為放在43后面的1去乘52積會比放在52后面的1去乘43更大。

生3：通過計算知道431×52的積更大。431-52的差更小一些，所以積會更大。

通過觀察和計算，學生明白：先選擇最大的5和4，接著選2和3兩個數(shù)，應用“兩數(shù)差越小，積越大”的方法組成二位數(shù)乘二位數(shù)的算式，再把1放在小的二位數(shù)后面，這樣組成的三位數(shù)與二位數(shù)的差更小，積也會更大。當然也可以用與1相乘的積的大小來確定1的位置，最后得到結(jié)論：先選最大的兩個數(shù)，再選余下最大的兩個數(shù)，應用兩數(shù)差越小積越大的方法，把第三大的數(shù)放在第二大的數(shù)后面，第四大的數(shù)放在第一大的數(shù)后面，最后一個數(shù)放在小的二位數(shù)后面，這樣組成的三位數(shù)與兩位數(shù)的差更小，積也會更大。對于這個解題方法，讓學生明白思考的順序是關鍵，不需要過于強調(diào)方法敘述的完整性。

6.字母模型，巧妙解法

由于學習能力的差異、理解能力的不同，總有一些學生無法掌握解題方法。此時，教師可以根據(jù)模型的特點，結(jié)合字母模型，把各數(shù)的排列巧妙地與筆畫順序結(jié)合起來，讓學生感受學習數(shù)學的樂趣。

【教學片段6】

師：請寫一寫2，4，6，8，9和1，3，5，7，9這兩組數(shù)分別組合成三位數(shù)乘二位數(shù)乘積最大的算式。

師：剛才我看到還有不少同學寫不出來。下面介紹字母解法，它能幫助大家更輕松地寫出算式。

師（展示“U”字解法，如圖5）：按字母寫字順序，結(jié)合前面學習的解題方法，先寫最大的兩個數(shù)，再寫余下最大的兩個數(shù)，最后一個數(shù)最后寫。

圖5

師：說一說這字母法和前面的學方法有什么共同之處。

借助字母模型，直觀地將選擇數(shù)據(jù)的順序呈現(xiàn)出來，讓學生有位置模型可以借助，學生理解起來就容易多了。課后訪談發(fā)現(xiàn)，學生基本愿意用這種數(shù)形結(jié)合的方法來解題，不太愿意用前面說理的方法。

縱觀整個教學實踐過程，學生經(jīng)歷了多次的認知沖突與碰撞，經(jīng)歷了問題分析、計算練習、驗證反思等過程，借助不斷地推理，在解決寫乘積最大的算式過程中進行了有效的計算練習，建立了解決問題與計算應用之間的聯(lián)系。通過不斷地計算和驗證，學生學會推理和研究。

教材中還有很多類似的習題，如何去教學這些學生感到熟悉但又不太容易解決的問題，需要教師思考。值得注意的是，課堂教學必須以尊重學生已有經(jīng)驗為基礎（起點），重視教材解讀與重構(gòu)（題組），重視拓展材料的設計（變式），重視啟發(fā)學生（方法），通過對有層次和有結(jié)構(gòu)的題組進行思考、嘗試、實踐、探究等活動，利用學生已有的知識水平和經(jīng)驗，提高學生解決問題的能力，讓學生在更高的層級感悟數(shù)學內(nèi)在的價值，使學生的練習更有效。