吳 凡，高一民，李增光

(中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心 上海分部，上海 201108)

0 引 言

加筋薄板結(jié)構(gòu)因?yàn)槠漭p質(zhì)和力學(xué)性能優(yōu)異等特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于水面艦船和潛艇等大型工程結(jié)構(gòu)。對(duì)于復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問(wèn)題，很難用解析的方法進(jìn)行計(jì)算，以有限元為代表的數(shù)值方法成為主要的計(jì)算手段。在工程上通常通過(guò)商用軟件對(duì)實(shí)際工程結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模，有限元模型的創(chuàng)建需要花費(fèi)大量時(shí)間，而加筋板建模存在大量繁瑣和重復(fù)性的工作，因此，對(duì)于加筋板結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化建模具有現(xiàn)實(shí)的工程意義。

對(duì)于加筋板的振動(dòng)特性，國(guó)內(nèi)外學(xué)者[1-5]進(jìn)行大量且詳盡的研究。姚熊亮等[6]針對(duì)平面應(yīng)力和平面彎曲狀態(tài)下的加筋板，通過(guò)2種不同的方法實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)正交異性向材料正交異性轉(zhuǎn)化并實(shí)現(xiàn)材料正交異性板的有限元軟件模擬，研究指出2種正交異性板的計(jì)算誤差與加強(qiáng)筋的面積和間距存在較大關(guān)系，但并未對(duì)振動(dòng)特性的計(jì)算誤差進(jìn)一步研究。張朝陽(yáng)[7]同樣對(duì)平面應(yīng)力狀態(tài)和平面彎曲狀態(tài)下的加筋板簡(jiǎn)化原理進(jìn)行研究，并將簡(jiǎn)化理論與有限元軟件相結(jié)合，通過(guò)軟件的二次開(kāi)發(fā)實(shí)現(xiàn)等效參數(shù)的自動(dòng)生成和應(yīng)力的自動(dòng)還原。高雙等[8-9]基于李茲法、正交異性理論和相當(dāng)板厚理論，比較3種正交加筋板模型對(duì)低頻聲振特性計(jì)算的精度，并研究骨材密度對(duì)首階固有頻率計(jì)算誤差的影響，但在骨材密度增加時(shí)未考慮結(jié)構(gòu)質(zhì)量的變化，得到的結(jié)論并不嚴(yán)謹(jǐn)。邱家波等[10]推導(dǎo)復(fù)合材料帽型加筋層合板典型板單元的等效彎曲剛度理論解，并通過(guò)有限元計(jì)算驗(yàn)證理論計(jì)算方法的有效性。秦昊等[11]結(jié)合正交異性板理論和等效板厚理論提出等效厚度正交異性板簡(jiǎn)化方法，并通過(guò)有限元計(jì)算驗(yàn)證簡(jiǎn)化方法的有限性。

以單向加筋板的低頻振動(dòng)問(wèn)題為分析對(duì)象，基于薄板彎曲理論得到等效正交異性板的等效彎曲剛度與等效密度計(jì)算公式，通過(guò)具體算例分別分析質(zhì)量等效、彎曲剛度等效和結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)簡(jiǎn)化方法精度的影響，對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)簡(jiǎn)化方法精度的影響程度進(jìn)行定量比較分析。

1 理論基礎(chǔ)

對(duì)于加筋板低頻振動(dòng)問(wèn)題，將加筋板等效為正交異性板，尋求加筋板與正交異性板在振動(dòng)特性上的一致性。在各向異性彈性薄板的中面為彈性對(duì)稱面且撓度大幅小于其厚度時(shí)，可應(yīng)用彈性薄板的小撓度彎曲理論。假設(shè)xOy平面為彈性薄板的中面(見(jiàn)圖1)，其基本假設(shè)[12]如下：(1)垂直于中面方向的線應(yīng)變?chǔ)舲忽略不計(jì)；(2)應(yīng)力分量τxz、τyz和σz大幅小于其他應(yīng)力分量，由其引起的變形忽略不計(jì)；(3)薄板中面內(nèi)的各點(diǎn)沒(méi)有平行于中面的位移。

圖1 彈性薄板中面示例

正交各向異性板的自由振動(dòng)微分方程為

(1)

(2)

式中：E1和E2分別為正交各向異性板沿x方向和y方向的彈性模量；Dk為薄板在彈性主向的扭轉(zhuǎn)剛度，Dk=Gt3/12，其中G為剪切模量；μ1和μ2分別為沿x方向和y方向的泊松比。

對(duì)于四邊簡(jiǎn)支的正交各向異性彈性矩形薄板，其(m,n)階固有頻率為

(3)

式中：m和n分別為x方向和y方向的振型階數(shù)，正整數(shù)；L和B分別為矩形薄板邊長(zhǎng)；ρ為薄板密度。

以典型單向加筋板(見(jiàn)圖2)為例，將加筋板等效為正交異性板，可理解為將筋條的質(zhì)量與彎曲剛度均勻附加至基板，得到正交異性板的等效密度ρe和等效彎曲主剛度：

(4)

(5)

式(4)和式(5)中：ρp和Ep分別為基板的密度和彈性模量；ρb和Eb分別為筋條的密度和彈性模量；b和h分別為筋條截面的寬度和高度；a為筋條間距；I為筋條相對(duì)于加筋板截面中和軸的慣性矩；e為基板中面至加筋板中和面的距離；μ為板的泊松比。

2 計(jì)算結(jié)果及分析

2.1 算例分析

分別使用有限元法和第1節(jié)的解析計(jì)算方法對(duì)如圖2所示的四邊簡(jiǎn)支單向加筋板進(jìn)行自由振動(dòng)特性計(jì)算，并對(duì)前4階固有頻率的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。加筋板參數(shù)如表1所示。

表1 加筋板參數(shù)

圖2 單向加筋板示例

有限元法采用ANSYS軟件，板結(jié)構(gòu)采用Shell 63單元，梁結(jié)構(gòu)采用Beam 188單元，前10階固有頻率計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 前10階固有頻率計(jì)算結(jié)果

由表2可知：各階固有頻率誤差均小于10.00%，說(shuō)明該簡(jiǎn)化方法在上述算例中具有較好的有效性。由于算例中的單向加筋板x方向彎曲剛度明顯大于y方向，低階固有頻率主要反映加筋板y方向上的模態(tài)階數(shù)變化。值得注意的是：(2,1)階和(2,2)階固有頻率誤差明顯大于前8階，這是由于加筋板x方向2階y方向低階模態(tài)受x方向1階y方向高階模態(tài)影響而在筋條之間出現(xiàn)局部振型，這種局部振型在等效正交異性板上并不出現(xiàn)，振型不一致產(chǎn)生較大的固有頻率誤差。單向加筋板結(jié)構(gòu)異性明顯，在對(duì)其采用簡(jiǎn)化方法建模時(shí)，需要注意局部振型對(duì)等效精度的影響。

對(duì)于艙壁、底板等局部結(jié)構(gòu)，在工程上主要關(guān)心其低階模態(tài)對(duì)船體振動(dòng)的影響，因此以前4階固有頻率為研究對(duì)象，進(jìn)行等效方法精度影響分析。

2.2 簡(jiǎn)化方法誤差影響因素分析

等效方法思想是將單根筋條的質(zhì)量和彎曲剛度均勻附加至筋條間距范圍內(nèi)的基板，只改變等效正交異性板的密度和單向彎曲剛度，不改變板的厚度。由式(4)和式(5)可知：簡(jiǎn)化方法精度取決于質(zhì)量等效和彎曲剛度等效的準(zhǔn)確性，但對(duì)于產(chǎn)生誤差的具體影響因素，有必要分別對(duì)單一影響因素進(jìn)行討論。

2.2.1 質(zhì)量等效對(duì)簡(jiǎn)化方法精度的影響

定義無(wú)量綱參數(shù)密度比β為基板密度與筋條密度ρ0的比值，即

β=ρ0/ρp

(6)

在第2.1節(jié)算例的基礎(chǔ)上，只改變筋條密度以改變正交異性板等效密度，不改變其他參數(shù)以保證相同的等效彎曲剛度，以此考查質(zhì)量等效對(duì)簡(jiǎn)化方法精度的影響。密度參數(shù)如表3所示，質(zhì)量等效對(duì)簡(jiǎn)化方法精度的影響如圖3所示。

表3 密度參數(shù)

由圖3可知：固有頻率誤差隨密度比的增加而增加，但變化并不明顯。在密度比變化范圍內(nèi)，變動(dòng)幅度最大的1階固有頻率誤差的增加量不超過(guò)0.5%，質(zhì)量等效對(duì)簡(jiǎn)化方法精度影響較小。

圖3 質(zhì)量等效對(duì)簡(jiǎn)化方法精度的影響

2.2.2 彎曲剛度等效對(duì)簡(jiǎn)化方法精度的影響

定義無(wú)量綱參數(shù)附加彎曲剛度比γ為

γ=Da/Dp

(7)

在第2.1節(jié)算例的基礎(chǔ)上，通過(guò)改變筋條彈性模量改變附加彎曲剛度比γ，不改變其他參數(shù)以保證相同的等效質(zhì)量，以此考查彎曲剛度等效對(duì)簡(jiǎn)化方法精度的影響。彈性模量參數(shù)如表4所示，彎曲剛度等效對(duì)簡(jiǎn)化方法精度的影響如圖4所示。

表4 彈性模量參數(shù)設(shè)置

圖4 彎曲剛度等效對(duì)簡(jiǎn)化方法精度的影響

由圖4可知：固有頻率誤差隨附加彎曲剛度比的增加而增加，各階誤差變化情況基本一致，且具有較明顯線性相關(guān)性。結(jié)合質(zhì)量等效對(duì)簡(jiǎn)化方法精度影響的分析，彎曲剛度等效是導(dǎo)致簡(jiǎn)化方法產(chǎn)生誤差的主要影響因素。

2.3 結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)簡(jiǎn)化方法精度的影響分析

由等效彎曲剛度計(jì)算公式可知：筋條截面屬性、筋條數(shù)量和基板厚度是決定等效彎曲剛度的主要參數(shù)。因此，分別分析上述3個(gè)參數(shù)對(duì)簡(jiǎn)化方法精度的影響。

2.3.1 筋條截面屬性對(duì)簡(jiǎn)化方法精度的影響

對(duì)于算例的加筋板，筋條截面屬性由截面寬度和截面高度決定。由慣性矩計(jì)算公式可知：截面高度對(duì)于彎曲剛度的影響明顯大于截面寬度，因此通過(guò)改變筋條截面高度改變等效彎曲剛度，以此考查筋條截面屬性對(duì)簡(jiǎn)化方法精度的影響。筋條截面高度參數(shù)如表5所示，筋條截面高度對(duì)簡(jiǎn)化方法精度的影響如圖5所示。

表5 筋條截面高度參數(shù)

圖5 筋條截面高度對(duì)簡(jiǎn)化方法精度的影響

由圖5可知：固有頻率誤差均隨筋條截面高度的增加而增加，且增速逐漸放緩，前4階固有頻率誤差變化具有一致性。上述結(jié)果說(shuō)明筋條截面屬性對(duì)簡(jiǎn)化方法精度具有一定影響，但無(wú)須擔(dān)心筋條截面屬性過(guò)大而導(dǎo)致等效方法失效。

2.3.2 筋條數(shù)量對(duì)簡(jiǎn)化方法精度的影響

通過(guò)改變筋條數(shù)量改變等效彎曲剛度，以此考查筋條間距對(duì)簡(jiǎn)化方法精度的影響。筋條數(shù)量參數(shù)如表6所示，筋條數(shù)量對(duì)簡(jiǎn)化方法精度的影響如圖6所示。

表6 筋條數(shù)量參數(shù)

由圖6可知：前4階固有頻率誤差整體呈現(xiàn)先減小后增大的變化規(guī)律。在筋條數(shù)量較少時(shí)，固有頻率誤差會(huì)明顯增加，以(1,1)階誤差尤為顯著，這是由于在筋條數(shù)量較少時(shí)，筋條不再完全以附加彎曲剛度形式參與加筋板整體振動(dòng)，而是起到一種邊界約束的作用限制基板振動(dòng)，加筋板振型與等效后的正交各向異性板的低階振型并不一致，簡(jiǎn)化方法在該情況下失效。由圖6(c)可知：(1,3)階和(1,4)階的固有頻率誤差在筋條數(shù)量較少時(shí)會(huì)出現(xiàn)誤差峰值，(1,3)階在筋條數(shù)量為3根時(shí)出現(xiàn)誤差峰值，(1,4)階在筋條數(shù)量為4根時(shí)出現(xiàn)誤差峰值，這是由于在上述工況條件下，每根筋條正好均處于正弦函數(shù)振型的波峰與波谷，可理解為每根筋條均最大程度參與基板振動(dòng)，筋條對(duì)基板的實(shí)際附加彎曲剛度明顯大于簡(jiǎn)化方法均勻分布思想下的附加彎曲剛度，真實(shí)模型固有頻率明顯大于等效模型固有頻率，產(chǎn)生誤差峰值。由于在算例設(shè)置中筋條數(shù)量均由2根開(kāi)始，因此在(1,1)階和(1,2)階固有頻率誤差變化曲線中未出現(xiàn)誤差峰值。

由上述分析可知：在采用簡(jiǎn)化方法對(duì)加筋板進(jìn)行簡(jiǎn)化建模時(shí)，需要考慮加筋板上的筋條數(shù)量與在低頻域內(nèi)感興趣的模態(tài)階數(shù)。筋條數(shù)量不可過(guò)多，筋條越多，等效誤差越大；筋條數(shù)量不可小于感興趣的模態(tài)階數(shù)，否則會(huì)出現(xiàn)誤差峰值。

2.3.3 基板厚度對(duì)簡(jiǎn)化方法精度的影響

通過(guò)改變基板厚度改變等效彎曲剛度，以此考查基板厚度對(duì)簡(jiǎn)化方法精度的影響。基板厚度參數(shù)如表7所示，基板厚度對(duì)簡(jiǎn)化方法精度的影響如圖7所示。

由圖7可知：固有頻率誤差隨基板厚度的增大而減小，隨附加彎曲剛度比的增加而增加，且具有增速放緩趨勢(shì)。上述結(jié)果說(shuō)明：基板厚度對(duì)簡(jiǎn)化方法精度具有一定影響，基板越厚附加彎曲剛度比越小，誤差越小。

圖7 基板厚度對(duì)簡(jiǎn)化方法精度的影響

2.3.4 結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)簡(jiǎn)化方法精度的影響程度比較

第2.3.1節(jié)～第2.3.3節(jié)顯示筋條截面高度、筋條數(shù)量和基板厚度等3項(xiàng)結(jié)構(gòu)參數(shù)在單獨(dú)考慮時(shí)對(duì)簡(jiǎn)化方法精度的影響，但3項(xiàng)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)簡(jiǎn)化方法精度的影響程度并不明確。由于3項(xiàng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的量綱各不相同，無(wú)法直接進(jìn)行比較，因此采用無(wú)量綱參數(shù)附加彎曲剛度比γ，將3項(xiàng)結(jié)構(gòu)參數(shù)放在同一尺度下進(jìn)行定量比較，如圖8所示。

由圖8可知：筋條數(shù)量對(duì)簡(jiǎn)化方法精度的影響程度最大，筋條截面高度對(duì)簡(jiǎn)化方法精度的影響程度最小，筋條截面高度和基板厚度的變化不會(huì)導(dǎo)致固有頻率誤差無(wú)限增加，隨著附加彎曲剛度比的增加，誤差會(huì)趨于穩(wěn)定。前4階固有頻率誤差變化情況基本一致，說(shuō)明該結(jié)果具有一般性。上述結(jié)果說(shuō)明：在采用簡(jiǎn)化方法對(duì)加筋板簡(jiǎn)化建模時(shí)，筋條數(shù)量是優(yōu)先考慮的結(jié)構(gòu)參數(shù)，基板厚度和筋條高度不會(huì)造成過(guò)大的計(jì)算誤差。綜合考慮，結(jié)構(gòu)的附加彎曲剛度比應(yīng)盡可能保持在10的二次方量級(jí)以內(nèi)。

圖8 結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)簡(jiǎn)化方法精度的影響程度比較

3 結(jié) 論

(1)對(duì)于四邊簡(jiǎn)支的單向加筋板，在低頻域內(nèi)簡(jiǎn)化模型的固有頻率與真實(shí)模型具有較好的一致性。需要注意的是：加筋方向2階非加筋方向低階模態(tài)受加筋方向1階非加筋方向高階模態(tài)的影響，筋條之間會(huì)產(chǎn)生局部振型，對(duì)簡(jiǎn)化方法精度具有一定影響。

(2)彎曲剛度等效是簡(jiǎn)化方法精度的主要影響因素，質(zhì)量等效對(duì)簡(jiǎn)化方法精度的影響可忽略不計(jì)。

(3)筋條截面高度、筋條數(shù)量和基板厚度等3項(xiàng)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)簡(jiǎn)化方法精度均具有一定影響。固有頻率誤差隨筋條截面高度的增大而增大，隨筋條數(shù)量的增大而先減小后增大，隨基板厚度的增大而減小。

(4)筋條數(shù)量是簡(jiǎn)化方法精度影響較顯著的結(jié)構(gòu)參數(shù)。筋條數(shù)量過(guò)少或過(guò)多均會(huì)產(chǎn)生較大的固有頻率誤差：從實(shí)際工程角度出發(fā)，對(duì)于局部加筋板結(jié)構(gòu)，建議在采用簡(jiǎn)化方法建模時(shí)，加筋數(shù)量不少于5根；若結(jié)構(gòu)加筋數(shù)量較多，則需要考慮無(wú)量綱參數(shù)附加彎曲剛度比的大小，為保證計(jì)算誤差，建議附加彎曲剛度比在10的二次方量級(jí)以內(nèi)。