張亞妮， 薛 佳， 宋卓穎， 苗 挺， 姚一銘， 武柯欣， 陳敬梓

(陜西科技大學(xué) 文理學(xué)院， 陜西 西安 710021)

0 引言

激光(Laser，Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation)由于具有良好的單色性、方向性、相干性以及超高亮度和超短脈沖等性質(zhì)而被廣泛應(yīng)用于各種領(lǐng)域，如生物醫(yī)學(xué)[1]、通信以及受控核聚變等.激光作為測(cè)距光源,因其方向性好、功率大,能夠精確地測(cè)量極遠(yuǎn)距離；激光因其良好的相干性,在通信領(lǐng)域獲得了廣泛應(yīng)用；激光能量的可控性使其在受控核聚變的研究中占據(jù)著不可忽視的地位.1960年世界上第一臺(tái)激光器——紅寶石激光器的成功研制和半導(dǎo)體技術(shù)的快速發(fā)展,使得半導(dǎo)體激光器得到快速發(fā)展及應(yīng)用.最典型的半導(dǎo)體激光器——半導(dǎo)體激光二極管的發(fā)明讓激光應(yīng)用得以迅速普及,各類信息掃描、光纖通信、激光測(cè)距、激光雷達(dá)、激光唱片、激光指示等已與半導(dǎo)體激光二極管密不可分.在國(guó)防領(lǐng)域,半導(dǎo)體激光器作為新一代小型化、輕量化的激光載荷光源[2],也被廣泛裝備到車(chē)載或機(jī)載等機(jī)動(dòng)性強(qiáng)的作戰(zhàn)平臺(tái).

激光的產(chǎn)生需要有三個(gè)必備條件,即：具有適當(dāng)能級(jí)結(jié)構(gòu)的激光工作物質(zhì)；使工作物質(zhì)發(fā)出激光的激勵(lì)源(泵浦源)[3]以及光學(xué)諧振腔.前二者為實(shí)現(xiàn)集居數(shù)反轉(zhuǎn)進(jìn)而實(shí)現(xiàn)光放大奠定了物質(zhì)基礎(chǔ).然而,光放大后受激輻射呈現(xiàn)的隨機(jī)性并不能獲得相位、頻率、振動(dòng)方向和傳播方向均完全相同的激光束.因此,要獲得真正意義上的激光,關(guān)鍵在于光學(xué)諧振腔的選模作用[4].

光束質(zhì)量是激光器的重要指標(biāo),度量激光束的聚焦程度[5].影響光束質(zhì)量的主要因素是光學(xué)諧振腔的設(shè)計(jì)與選擇,光學(xué)諧振腔的形狀與設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)激光振蕩器的模式產(chǎn)生和選擇具有無(wú)可替代的作用,激光模式選擇又是提高光束質(zhì)量的有效途徑.隨著對(duì)高功率、高能量、高光束質(zhì)量(高亮度)激光器應(yīng)用需求的快速增長(zhǎng),通過(guò)光學(xué)諧振腔的優(yōu)化設(shè)計(jì)及激光合束技術(shù),實(shí)現(xiàn)千瓦、萬(wàn)瓦乃至更高功率高光束質(zhì)量激光輸出是激光武器發(fā)展的迫切需要.

光學(xué)諧振腔的主要作用是提供正反饋能量以及選擇光束的頻率和方向.在工作物質(zhì)兩端恰當(dāng)安裝兩個(gè)反射鏡片,構(gòu)成開(kāi)放式光學(xué)諧振腔,可從各種可能光信號(hào)中選取特定光信號(hào)進(jìn)行放大.諧振腔對(duì)激光束的形成影響重大[6],諧振腔使受激輻射集中于特定方向輸出,使光束呈現(xiàn)很好的方向性；諧振腔的穩(wěn)定輸出強(qiáng)度和選頻作用能夠提高輸出光束的單色性.諧振腔內(nèi)可能存在的激光模式按照光束方向和頻率分為橫模與縱模[7].本征模式受諧振腔的影響是由兩個(gè)反射鏡的自身性質(zhì)以及間距來(lái)決定的,不同類型的諧振腔具有不同的模式選擇特性和模式結(jié)構(gòu).因此,諧振腔中激光模式的優(yōu)化對(duì)激光器性能及激光光束的改善具有重要作用[8].激光腔模式經(jīng)典理論僅給出了部分簡(jiǎn)單腔的解析解.激光技術(shù)的發(fā)展致使各種復(fù)雜的諧振腔型精彩紛呈,解析解無(wú)法滿足諧振腔的求解需求,需要采用數(shù)值仿真方法實(shí)現(xiàn)諧振腔的模式選擇.Matlab強(qiáng)大的數(shù)據(jù)處理和圖像擬合功能可以直觀地展示諧振腔的自再現(xiàn)模[9],為復(fù)雜諧振腔的模式優(yōu)化奠定了重要基礎(chǔ).本文基于Matlab數(shù)值分析軟件,通過(guò)對(duì)各種復(fù)雜諧振腔的數(shù)值求解,模擬得到不同諧振腔內(nèi)的光場(chǎng)模式與菲涅耳數(shù)之間的分布關(guān)系,繪制出振幅分布圖、模場(chǎng)分布圖及模場(chǎng)花樣分布圖,通過(guò)各種諧振腔模式分布圖樣的對(duì)比分析,為通過(guò)模式選擇實(shí)現(xiàn)光束質(zhì)量?jī)?yōu)化奠定基礎(chǔ)[10].

1 光學(xué)諧振腔結(jié)構(gòu)及仿真模型

在光學(xué)諧振腔的模式分析中,菲涅耳數(shù)有著重要的調(diào)節(jié)作用.菲涅耳數(shù)是表征衍射損耗大小的物理量,菲涅爾數(shù)越大,衍射損耗越小.一般諧振腔的菲涅爾數(shù)較大時(shí),低階模式和高階模式的衍射損耗非常接近,高階模在有限的迭代次數(shù)下不能有效地消除；而諧振腔的菲涅耳數(shù)較小時(shí),高階模具有更高的彩色損耗,能夠有效地抑制高階模振蕩.通過(guò)選用波長(zhǎng)為632.8nm的氦氖激光器,設(shè)計(jì)三種諧振腔型：平行平面腔、圓形共焦腔、方形共焦腔.運(yùn)用Matlab數(shù)值分析軟件,通過(guò)調(diào)節(jié)腔長(zhǎng),改變菲涅爾數(shù)F,獲得在不同菲涅爾數(shù)下的振幅和相位分布[11]、自再現(xiàn)模平面圖、三維模場(chǎng)圖及模場(chǎng)分布花樣,最后針對(duì)不同迭代次數(shù)得到的結(jié)果進(jìn)行分析,獲得形成最佳激光模式輸出的諧振腔型和參數(shù).

1.1 平行平面腔[12]

平行平面腔分為一維條形腔和二維矩形腔.

(1)一維條形腔

條形腔是一種一維理想模型,即一個(gè)方向有限長(zhǎng),而另一個(gè)方向上無(wú)限延伸的腔形,其只在長(zhǎng)度有限的方向上發(fā)生衍射現(xiàn)象,其迭代公式為一維菲涅爾-基爾霍夫衍射積分：

(1)

其求解方法為將條形腔左鏡面沿著(-a,a)之間劃分N-1等分,則有N個(gè)點(diǎn),每個(gè)區(qū)間為2a/(N-1).右鏡面上每一點(diǎn)的求解需要將左鏡面上的點(diǎn)逐點(diǎn)計(jì)算并相加,如此循環(huán)迭代下去,最終達(dá)到模式穩(wěn)態(tài)分布.

(2)二維矩形腔

圖1所示為二維矩形腔的平面示意圖,主要結(jié)構(gòu)由兩個(gè)平面反射鏡對(duì)稱放置構(gòu)成,圖1(a)、(b)分別為立體圖和剖面圖.

圖1 平行平面腔結(jié)構(gòu)圖[13]

在矩形腔中,(x′,y′)與(x,y)連線的長(zhǎng)度ρ可以表示為：

(2)

其求解方法通過(guò)采用分離變量法,按照x、y兩個(gè)方向把二維菲涅爾-基爾霍夫衍射積分分離為式(3)：

μ(x,y)=μ(x)μ(y)

(3)

其中的μ(x)、μ(y)計(jì)算與一維條形腔相同.選取初始場(chǎng)μ1(x),計(jì)算μ2(x),并將其進(jìn)行歸一化,依次計(jì)算μ3(x)…直到達(dá)到模場(chǎng)穩(wěn)態(tài)分布.

1.2 方形鏡共焦腔

方形鏡共焦腔的平面示意圖如圖2所示,主要結(jié)構(gòu)由兩個(gè)方形凹面反射鏡M1、M2對(duì)稱放置構(gòu)成.圖2(a)、(b)分別為正視圖和左視圖.

圖2 方形鏡共焦腔結(jié)構(gòu)圖[14] .

其中鏡長(zhǎng)L、腔長(zhǎng)2a與光波長(zhǎng)λ之間需要滿足關(guān)系：

L?a?λ

(4)

且

(5)

方形鏡共焦反射鏡面中心附近,其自再現(xiàn)模的解可近似表示為厄米特多項(xiàng)式和高斯分布函數(shù)的乘積,即厄米——高斯(Hermitian-Gaussian)分布.厄米多項(xiàng)式的一般解表示為式(6)：

(6)

其中,[m/2]表示m/2的整數(shù)部分.Hermitian-Gaussian分布如式(7)：

(7)

(8)

1.3 圓形鏡共焦腔

圓形鏡共焦腔的平面示意圖如圖3所示,主要由兩個(gè)圓形凹面反射鏡對(duì)稱放置構(gòu)成.圖3(a)、(b)分別為主視圖和左視圖.

圖3 圓形鏡諧振腔結(jié)構(gòu)圖[15]

圓形鏡共焦腔光場(chǎng)模式的積分方程只討論菲涅耳數(shù)足夠大時(shí)的拉蓋爾-高斯近似解.拉蓋爾高斯光束是在腔的孔徑足夠大,即對(duì)于激光光束而言,圓形鏡的直徑無(wú)限大的情況下得到的近似光束.其解析表達(dá)式的一個(gè)特解可表示為:

(9)

然而,這只是旁軸方程的一個(gè)特解,還有很多其他形式的特解,同樣滿足旁軸方程.形如：

(10)

(11)

式(11)中：Lp(ρ)為拉蓋爾多項(xiàng)式[16].

基于以上菲涅爾-基爾霍夫積分公式和拉蓋爾光束討論,可以得到當(dāng)諧振腔菲涅爾數(shù)N→∞,圓形鏡共焦腔的自在現(xiàn)模分布函數(shù)由下述拉蓋爾-高斯函數(shù)所描述[17]：

(12)

式(12)中：(r,φ)為鏡面上的極坐標(biāo)；Cmn表示歸一化常數(shù)；與Vmn(r,φ)相應(yīng)的本征值為:

(13)

2 計(jì)算結(jié)果與分析

由于光場(chǎng)模式受諧振腔結(jié)構(gòu)的影響而發(fā)生變化,需要采用不同的數(shù)值分析方式對(duì)不同腔型進(jìn)行模擬.Fox-Li數(shù)值迭代法[18]具有普適性,尤其是在計(jì)算低階模時(shí)效果更佳.因此,對(duì)上文提到的三種腔型的模式分析,可利用Fox-Li數(shù)值分析法進(jìn)行求解.借助Matlab強(qiáng)大的數(shù)據(jù)處理[19]和圖像分析功能,研究在波長(zhǎng)632.8 nm的氦氖激光器中,不同菲涅爾數(shù)下的振幅相位分布圖像,自再現(xiàn)模仿真平面以及三維模場(chǎng)圖像和模場(chǎng)花樣圖,最后針對(duì)不同迭代次數(shù)下的結(jié)果進(jìn)行分析比較.

2.1 平行平面腔仿真結(jié)果及分析

(1)一維條形腔在不同菲涅爾數(shù)下模式的振幅和相位分布

圖4給出了一維條形腔在菲涅爾數(shù)F分別取6.25、2.5和0.5時(shí)的振幅相位分布.由圖4可以看出,隨著一維條形腔菲涅爾數(shù)的逐漸減小,場(chǎng)分布曲線由起伏不定趨向于平滑,迭代次數(shù)N越小,模式越容易達(dá)到穩(wěn)態(tài)分布.同時(shí),菲涅爾數(shù)減小到0.5時(shí),振幅分布曲線呈高斯分布,相位分布曲線與球面波的分布形狀一致.

(2)二維矩形腔在不同菲涅爾數(shù)下模式的振幅和相位分布

圖5給出了二維矩形腔在菲涅爾數(shù)分別取6.25、2.5和0.5時(shí)模式的振幅和相位分布.由圖5可以看出,二維矩形腔的模式特點(diǎn)主要是模場(chǎng)分布在整個(gè)鏡面上,說(shuō)明矩形腔的衍射損耗較大；在腔鏡中心附近,矩形腔的穩(wěn)態(tài)分布特性接近于平面波；其相位分布呈球面狀.隨著菲涅爾數(shù)的減小,矩形腔的振幅和相位分布均趨于平滑,迭代次數(shù)N越小,越容易達(dá)到穩(wěn)態(tài)分布.

圖4 一維條形腔在不同菲涅爾數(shù)F和 迭代次數(shù)N下模式的振幅和相位分布

圖5 二維矩形腔在不同菲涅爾數(shù)F和 迭代次數(shù)N下模式的振幅相位分布

2.2 方形鏡共焦腔仿真結(jié)果及分析

對(duì)于方形鏡共焦腔在菲涅爾數(shù)分別選取6.25、2.5和0.5時(shí)的振幅一維分布、三維分布和模式光斑分布進(jìn)行了系統(tǒng)模擬.

(1)方形鏡共焦腔在菲涅爾數(shù)F=6.25時(shí)的振幅分布

方形鏡共焦腔在菲涅爾數(shù)取6.25時(shí)的振幅分布和光斑分布如圖6所示.其中，圖6(a)、(b)分別為方形鏡共焦腔模式的振幅一維和三維分布圖.觀察四種模式可以看出：當(dāng)m=n=0時(shí)，截面為高斯分布,三維仿真圖為空間點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)；當(dāng)m=0，n=1時(shí),截面為對(duì)稱的2個(gè)高斯分布,有一個(gè)零節(jié)點(diǎn)在y軸方向,三維仿真圖為兩個(gè)空間點(diǎn)的擴(kuò)散函數(shù)；當(dāng)m=1,n=0時(shí),有一個(gè)零節(jié)點(diǎn)在x軸方向,三維仿真圖的擴(kuò)散函數(shù)同上；當(dāng)m=n=1時(shí),截面為對(duì)稱的4個(gè)高斯分布,有2個(gè)零值節(jié)點(diǎn),三維仿真圖為4個(gè)空間點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)；圖6(c)為方形鏡共焦腔模式的光斑圖,從圖6(c)可以看出,在F=6.25時(shí),方形鏡共焦腔的基模較為集中,無(wú)零節(jié)點(diǎn),在r=0處振幅最大,光斑體積較?。浑S著m、n的增大,零節(jié)點(diǎn)增多,光斑呈現(xiàn)多模形式.

圖6 方形鏡共焦腔在菲涅爾數(shù)F=6.25時(shí)的仿真

(2)方形鏡共焦腔在菲涅耳數(shù)F=2.5時(shí)的振幅分布

方形鏡共焦腔在菲涅爾數(shù)取2.5時(shí)的振幅分布和光斑分布如圖7所示.其中，圖7(a)、(b)分別為方形鏡共焦腔模式振幅的三維分布和一維截面分布,圖7(c)為方形鏡共焦腔模式的光斑圖.從圖7可以看出：總體模式特征與菲涅爾數(shù)取6.25時(shí)無(wú)差別.但是,從圖7(c)可以看出,隨著菲涅耳數(shù)的減小,光斑面積較之前變大,這是由于諧振腔菲涅耳數(shù)變小時(shí),高階模的損耗相應(yīng)增加的緣故.

圖7 方形鏡共焦腔在菲涅爾數(shù)F=2.5時(shí)的仿真

(3) 方形鏡共焦腔在菲涅爾數(shù)F=0.5時(shí)的振幅分布

方形鏡共焦腔在菲涅爾數(shù)取0.5時(shí)的振幅分布和光斑分布如圖8所示.其中,圖8(a)、(b)分別為方形鏡共焦腔模式振幅的三維分布圖和一維截面圖,圖8(c)為方形鏡共焦腔的模式光斑圖.從圖8可以看出：總體模式特征與前兩種情況趨于一致,圖8(c)光斑圖同樣顯示隨著菲涅耳數(shù)的進(jìn)一步減小,光斑面積呈現(xiàn)明顯變大趨勢(shì),且F=0.5時(shí)模式特征與基模截面呈現(xiàn)高斯分布.

圖8 方形鏡共焦腔在菲涅爾數(shù)F=0.5時(shí)的仿真

總之,方形鏡共焦腔的基模截面為高斯分布,三維仿真圖為空間點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù),在r=0處振幅最大,無(wú)節(jié)線；高階模與基模相比,隨著m、n值的增大,零節(jié)點(diǎn)值越多,空間點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的個(gè)數(shù)越多,模體積越大.不同菲涅爾數(shù)下的模式光斑圖表明：菲涅爾數(shù)越小,模式光斑體積越大,表示從激活介質(zhì)中提取的能量越多,發(fā)生模式振蕩時(shí)參與的粒子數(shù)越多,獲得優(yōu)質(zhì)光束輸出的可能性越大.因此,適當(dāng)減小菲涅爾數(shù),方形鏡共焦腔能夠獲得優(yōu)質(zhì)的光束輸出,在滿足理論條件的基礎(chǔ)上適當(dāng)選擇高階模組,則能夠獲得滿足高功率器件需求的激光模式輸出.

2.3 圓形鏡共焦腔仿真結(jié)果分析[20]

圓形鏡共焦腔亦在菲涅爾數(shù)分別選取6.25、2.5和0.5時(shí)，對(duì)其振幅分布進(jìn)行了模擬.

(1)圓形鏡共焦腔在菲涅耳數(shù)F=6.25時(shí)的振幅分布

圓形鏡共焦腔在菲涅爾數(shù)取6.25時(shí)的振幅分布和模式光斑分布如圖9所示.其中,圖9(a)、(b)分別為圓形鏡共焦腔模式振幅的三維分布圖和一維截面圖,圖9(c)為m、n取不同值時(shí),模式的光斑分布.從圖9可以看出：當(dāng)m=n=0時(shí)，模式三維分布和一維截面分布均為高斯分布,三維仿真圖為空間點(diǎn)擴(kuò)散(脈沖響應(yīng))函數(shù).當(dāng)m=0，n=1時(shí),與方形鏡共焦腔類似,截面為軸向?qū)ΨQ的2個(gè)高斯分布,三維仿真圖為2個(gè)空間點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù),有一個(gè)零值節(jié)點(diǎn).當(dāng)m=1、n=0時(shí),截面為徑向Sa(抽樣)函數(shù)分布,其特點(diǎn)是在中心處取得最大值,隨著自變量絕對(duì)值的增大呈振蕩減小趨勢(shì),最終趨近于0,三維圖像近似為衍射光斑分布,有一個(gè)零值節(jié)點(diǎn).當(dāng)m=n=1時(shí),截面為軸對(duì)稱的兩個(gè)Sa函數(shù)分布,三維仿真圖近似為兩個(gè)衍射光斑分布,有兩個(gè)零值節(jié)點(diǎn).圖9(c)的模式光斑圖可以看出,圓形鏡共焦腔的基模截面為高斯分布,高階模截面隨著m、n的增加呈現(xiàn)徑向衍射光斑與軸向光斑分裂交織分布,且其衍射損耗比方形鏡共焦腔更大一點(diǎn).

圖9 圓形鏡共焦腔在菲涅耳數(shù)F=6.25時(shí)的仿真

(2)圓形鏡共焦腔在菲涅爾數(shù)F=2.5時(shí)的模式分布

圓形鏡共焦腔在菲涅爾數(shù)取2.5時(shí)的振幅分布和光斑分布如圖10所示.由圖10可以看出：當(dāng)菲涅耳數(shù)F減小為2.5時(shí),其模式特征與F=6.25時(shí)無(wú)差別,但其光斑圖10(c)顯示光斑面積較之前變大,這同樣與諧振腔菲涅耳數(shù)變小時(shí),高階模的損耗相應(yīng)增加相關(guān).

(3)圓形鏡共焦腔在菲涅爾數(shù)F=0.5時(shí)的模式分布

圓形鏡共焦腔在菲涅爾數(shù)取0.5時(shí)的振幅分布和模式光斑分布如圖11所示.從圖11可以看出,F=0.5時(shí)模式特征與前兩種情況下基本趨于一致,基模截面呈現(xiàn)高斯分布狀,三維仿真圖為空間點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù),高階模截面圖近似為Sa函數(shù)分布,三維仿真圖近似為衍射光斑,光斑面積隨著菲涅爾數(shù)的減小而增大.

總之,圓形鏡共焦腔的基模截面呈現(xiàn)高斯分布狀,三維仿真圖為空間點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù),高階模截面圖近似為Sa函數(shù)分布,三維仿真圖近似為衍射光斑分布,衍射損耗介于平行平面腔和方形鏡共焦腔之間.圓形鏡共焦腔模式隨菲涅爾數(shù)的變化與方形鏡趨于一致,菲涅爾數(shù)越小,模式光斑面積越大,高階模的抑制能力越強(qiáng).

圖10 圓形鏡共焦腔在菲涅爾數(shù)F=2.5時(shí)的仿真

圖11 圓形鏡共焦腔在菲涅耳數(shù)F=0.5時(shí)的仿真

3 結(jié)論

平行平面腔的模式特征在小菲涅爾數(shù)的情況下振幅分布為高斯分布,相位圖像呈現(xiàn)球面波狀,模式體積大、分散在整個(gè)鏡面上,說(shuō)明其衍射損耗和幾何損耗較大,因此不適用于小增益情況下的激光輸出[21].方形鏡共焦腔的模式集中在鏡面中心附近,基模截面為高斯分布,三維仿真圖為空間點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù),在中心原點(diǎn)處振幅最大,無(wú)節(jié)線；高階模與基模相比,模的階數(shù)越大,零值節(jié)點(diǎn)越多,空間點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的個(gè)數(shù)越多,模體積越大.在高功率選模時(shí)純粹的基模無(wú)法滿足功率需求,可以從高階模中選擇更為合適的模組,其優(yōu)點(diǎn)在于單程損耗較小,基模更為集中,可應(yīng)用于精細(xì)度要求較高的激光器.圓形鏡共焦腔基模截面呈現(xiàn)高斯分布狀,三維仿真圖為空間點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù),高階模截面圖近似為Sa(取樣函數(shù))分布,三維仿真圖近似為環(huán)形衍射光斑,單程損耗介于平行平面腔和方形鏡共焦腔之間.該研究為激光器諧振腔結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)及激光器光束輸出質(zhì)量的提升具有重要的指導(dǎo)意義.