汪紅毅

(廣東省佛山市順德區(qū)樂(lè)從中學(xué)，528315)

一、問(wèn)題呈現(xiàn)

(1)求曲線C的方程;

(2)設(shè)點(diǎn)Q(1,0),直線x=t(t∈R)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與C相交于A,B兩點(diǎn),若直線BQ與C交于另一點(diǎn)D,求證:直線AD過(guò)定點(diǎn)(如圖1).

二、解法探究

第(1)問(wèn)易知答案為x2-3y2=3.

第(2)問(wèn)的求解條件之一是過(guò)定點(diǎn)Q(1,0)的直線QB與雙曲線相交,涉及到聯(lián)立方程組的計(jì)算和韋達(dá)定理的應(yīng)用;條件之二是涉及到其中一個(gè)交點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)A與另一個(gè)交點(diǎn)D的連線問(wèn)題,弄清楚這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系,綜合以上條件和分析才能得到正確答案.

步驟1尋找A,B,D三點(diǎn)之間的聯(lián)系

步驟2設(shè)直線QB的方程,運(yùn)用韋達(dá)定理求解.

解法1(設(shè)點(diǎn)斜式方程)

所以直線AD恒過(guò)定點(diǎn)(3,0).

解法2(設(shè)橫截距式方程)

=3.

所以直線AD恒過(guò)定點(diǎn)(3,0).

三、關(guān)聯(lián)問(wèn)題

上述問(wèn)題和如下的2018年全國(guó)高考題有很大的關(guān)聯(lián).

(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),求直線AM的方程;

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),證明∠OMA=∠OMB(如圖2).

分析第(2)問(wèn)中直線l過(guò)焦點(diǎn),證明∠OMA=∠OMB的方法有很多,由于橢圓的對(duì)稱性,其中一個(gè)證明方法可以是反過(guò)來(lái)證明點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D與點(diǎn)B的連線恒過(guò)點(diǎn)M.符合過(guò)某一定點(diǎn)的直線與圓錐曲線相交時(shí)其中一個(gè)交點(diǎn)與另一個(gè)交點(diǎn)的連線恒過(guò)另外一個(gè)定點(diǎn)的特征.

類似的題還有例2所示的2021年廣東省肇慶市檢測(cè)題.

例2已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)若直線l過(guò)點(diǎn)F且|AB|=8,求直線l的方程;

(2)已知點(diǎn)E(-2,0),若不過(guò)點(diǎn)E的直線l不與坐標(biāo)軸垂直,且∠AEO=∠BEO,證明:直線l過(guò)定點(diǎn).

分析第(2)問(wèn)中已知∠AEO=∠BEO,可以得到點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D與E,B三點(diǎn)共線,即直線ED與拋物線相交于B,D兩點(diǎn),只需證明直線AB恒過(guò)定點(diǎn)即可.

四、拓展延伸

對(duì)比例1和例2,可以發(fā)現(xiàn)他們具有類似的條件與結(jié)論,可以試著探究圓錐曲線這一類問(wèn)題是否都能成立.

結(jié)論1假設(shè)焦點(diǎn)在x軸的橢圓或雙曲線C的方程為Ax2+By2=1(AB≠0),過(guò)定點(diǎn)Q(n,0)(定點(diǎn)Q不為原點(diǎn)和曲線C的頂點(diǎn))的直線l與曲線C相交于D,E兩點(diǎn),點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為F,證明直線EF恒過(guò)定點(diǎn).

證明設(shè)直線l的方程為x=my+n,點(diǎn)D(x1,y1),E(x2,y2),則點(diǎn)F(x1,-y1).

同文首問(wèn)題的步驟1,可知

結(jié)論2已知過(guò)點(diǎn)(n,0)(n≠0)的直線l與拋物線C:y2=2px相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D,證明直線BD恒過(guò)定點(diǎn).

證明設(shè)直線l的方程為x=my+n,點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則點(diǎn)D(x1,-y1).

y1+y2=2pm,y1y2=-2pn.

同上述步驟1,可知

所以直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(-n,0).

評(píng)注根據(jù)結(jié)論2,我們可驗(yàn)證上述例2的結(jié)果是否成立.事實(shí)上,設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C,由∠AEO=∠BEO,可知點(diǎn)E,B,C三點(diǎn)共線.又點(diǎn)E(-2,0),則直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(2,0).

綜合結(jié)論1與結(jié)論2,可得

結(jié)論3過(guò)圓錐曲線對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)作兩條關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的直線與該圓錐曲線相交于4個(gè)點(diǎn),分別連結(jié)對(duì)稱軸同側(cè)的4個(gè)點(diǎn)得到兩條直線,則此兩條直線交于定點(diǎn).

評(píng)注由于圓錐曲線的對(duì)稱性,焦點(diǎn)在y軸上的圓錐曲線也有類似的結(jié)論.