譚 輝

(廣東省佛岡縣佛岡中學(xué), 511600)

一、概述

圓錐曲線作為高考必考核心內(nèi)容之一,筆者在授課過程中發(fā)現(xiàn),學(xué)生遇到圓錐曲線非對稱結(jié)構(gòu)問題時,往往覺得無從入手,很多時候便直接放棄,十分可惜.此類問題往往涉及多個知識點的匯合,具有一定的綜合性及難度,對數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等能力要求較高.教學(xué)時,教師應(yīng)結(jié)合“深度學(xué)習(xí)”的理論要求,把握解題的基本方法,引導(dǎo)學(xué)生逐層深入、積累模型,最終找到解決問題的本質(zhì).筆者通過對一道圓錐曲線非對稱結(jié)構(gòu)問題的多角度切入求解,給出其適當(dāng)?shù)耐卣古c變式,以尋求探究圓錐曲線非對稱結(jié)構(gòu)問題的一般性解決方法.

二、問題呈現(xiàn)

(1)求橢圓E的方程;

(2)設(shè)過點F2的直線l與E交于A,B兩點,點M(0,1),且?MAF2的面積為?MBF2面積的2倍,求直線l的方程.

評注代數(shù)式y(tǒng)1=-2y2為非對稱結(jié)構(gòu),需要通過適當(dāng)?shù)奶幚硎怪優(yōu)閷ΨQ結(jié)構(gòu),下面就以此為例,給出此類y1=λy2(或x1=λx2)問題的幾種處理方法,并對其進(jìn)行拓展.

三、解法探究

策略1倒數(shù)求和法

策略2配湊法

由y1+λy2=0配湊,得λ(y1+y2)=(λ-1)y1,y1+y2=(1-λ)y2,兩式相乘,可得λ(y1+y2)2=-(λ-1)2y1y2,從而問題轉(zhuǎn)化為對稱結(jié)構(gòu).

策略3方程組法

該策略的實質(zhì)是借助方程思想,由非對稱式結(jié)合韋達(dá)定理,列方程組解答.

四、方法拓展

(1)求橢圓C的方程;

(2)過橢圓C的右焦點F的直線l與橢圓C交于M,N兩點,O為坐標(biāo)原點,若S?OMF∶S?ONF=3:1,求直線l的方程.

評注代數(shù)式3x2+x1=8為非對稱結(jié)構(gòu),可借鑒例1的方法進(jìn)行處理,進(jìn)而得到形如ax1+bx2+c=0(或ay1+by2+c=0)的一般性處理方法.

策略1倒數(shù)求和法

結(jié)合韋達(dá)定理,化簡可得k2=1.所以直線的l方程為x±y-2=0.

策略2配湊法

由x1+λx2=c配湊,得

兩式相乘即可轉(zhuǎn)化為對稱結(jié)構(gòu).

策略3方程組法

五、變式研究

六、結(jié)束語

核心素養(yǎng)視角下的數(shù)學(xué)教學(xué),要求教師在教學(xué)過程中除了使學(xué)生掌握好知識與技能外,還要引導(dǎo)學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識的本質(zhì),促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.對于圓錐曲線中非對稱結(jié)構(gòu)問題,作為高考題的一個難點問題,筆者牢牢抓住把“非對稱結(jié)構(gòu)”轉(zhuǎn)化為“對稱結(jié)構(gòu)”這條主線,通過多種方法比較,來啟發(fā)學(xué)生以多角度、多層次去思考和體驗解決問題的方法.因此,只要教師在教學(xué)過程中把握好問題的本質(zhì),創(chuàng)設(shè)合理的教學(xué)情境,通過恰當(dāng)?shù)睦雍驮O(shè)問,啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行獨立思考與合作探究,使學(xué)生積累好一定的解題模型,學(xué)會合理轉(zhuǎn)化,相信學(xué)生定會掌握好這一知識難點.