范謹銘， 常學平， 陳 美

(西南石油大學 機電工程學院，成都 610500)

輸流管結構在航空航天、石油工業(yè)、海洋工程等領域有著廣泛的應用，在內流的作用下會使得結構發(fā)生流固耦合振動，容易引起結構失效。作為最為典型的流固耦合結構，輸流管系統(tǒng)的自由振動與強迫振動問題引起眾多學者的關注[1-4]。

Ni等[5]將微分變換法推廣至幾種典型邊界條件下輸流管道的自由振動問題，將得到的系統(tǒng)固有頻率和臨界流速與微分求積法的結果進行了比較，驗證了方法的可靠性。基于撓度的多項式逼近，Khudayarov等[6]將含脈動內流的流致振動問題歸結為一個常積分-微分方程組的研究，并用數(shù)值方法求解。趙千里等[7]利用伽遼金法研究了層流模型和平推流模型對輸流管系統(tǒng)固有頻率及臨界流速的影響。應用一種改進傅里葉級數(shù)方法，不同邊界的梁模型與輸流管系統(tǒng)的橫向振動問題被進行了研究，且該方法具有收斂快、精度高的特點[8-10]。Lannes等[11]通過試驗研究了內流為雙相流時輸流管的強迫振動問題，并且討論了含氣率與系統(tǒng)響應的關系。

然而，工業(yè)中的輸流管結構往往是更加復雜的，例如旋轉輸流管結構、管中管結構等。這些耦合系統(tǒng)的動力學特性受到諸多因素的干擾，研究難度會大大增加。因此針對非常規(guī)輸流管結構的研究成為近些年的熱點。

Wang等[12]以兩端簡支的雙壁碳納米管為例，研究了各參數(shù)對結構穩(wěn)定性的影響，發(fā)現(xiàn)內外管間材料的彈性系數(shù)對臨界流速有著顯著的影響。Bi等[13]對管中管結構的減振功能進行了驗證，發(fā)現(xiàn)該結構在控制各種因素引起的海底管道的振動方面有很大的潛力。旋轉輸流管在旋轉運動和流固耦合陀螺效應的綜合影響下，可以被視為雙陀螺系統(tǒng)[14]。Lian等[15]建立了水平井非線性鉆柱的動力學理論模型，討論了旋轉速度、鉆壓頻率等因素對系統(tǒng)的影響。Chang等[16]研究了氣體鉆井中鉆柱在氣體結構相互作用下的振動特性，發(fā)現(xiàn)氣體鉆井鉆柱的固有頻率比泥漿鉆井鉆柱的高。

在求解輸流管模型的動力學問題時，格林函數(shù)法是一種極為方便的方法，此方法不僅可以得到系統(tǒng)閉合形式的響應解，也可被用來研究系統(tǒng)的頻率問題[17]。Li等[18]采用格林函數(shù)法給出了具有不同邊界條件的輸流管道受迫振動的格林函數(shù)解，并通過三個算例驗證了方法的有效性。Zhao等[19]將該方法應用于輸流曲管中，研究了不同參數(shù)對系統(tǒng)切向位移和徑向位移的影響。借助雙參數(shù)地基上輸油管道強迫振動的格林函數(shù)，Li等[20]討論了邊界彈簧系數(shù)對輸流管系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，結果表明系統(tǒng)的自振頻率和臨界流速與邊界條件有很大的關系。

綜上所述，格林函數(shù)法的突出優(yōu)點是能夠獲得系統(tǒng)強迫振動響應的解析解，具有極高的精確性和可靠性。但尚未有學者得到旋轉管中管(PIP)耦合系統(tǒng)強迫振動的格林函數(shù)解。因此本文建立了輸送雙相內流的旋轉管中管(PIP)結構橫向強迫振動的控制方程，并依次采用分離變量法、Laplace變換和Laplace逆變換得到系統(tǒng)的格林函數(shù)。對模型的控制方程進行解耦將會得到單管模型、旋轉管道模型及無旋轉管中管結構的格林函數(shù)。在數(shù)值討論部分，首先驗證本文方法的可靠性，然后以懸臂結構為例，研究不同參數(shù)對格林函數(shù)的影響，研究結果為旋轉管中管結構的動力學設計提供了理論依據(jù)。

1 旋轉PIP系統(tǒng)控制方程的建立

圖1為輸運氣-液雙相流的旋轉PIP系統(tǒng)的力學模型，由長度均為L的外管、內管以及兩管之間的保溫層組成。內管中含有水平流動的雙相流，UL、UG分別表示液相流速和氣相流速。根據(jù)力學性能將保溫層簡化為沿著管長方向分布的彈簧阻尼系統(tǒng)，且剛度系數(shù)為K，阻尼系數(shù)為C。為了便于識別，角標i、o被用來區(qū)分內管和外管的參數(shù)。內管的內外徑分別為di、Di，外管的內外徑分別為do、Do。在系統(tǒng)的左側給出了系統(tǒng)的坐標系，其中O為原點坐標，z代表軸向方向，x和y表示兩個垂直的橫向方向。在軸向內管受到軸向壓力Ni的作用，外管受到軸向壓力No的作用，在Oxz平面內，外管受到指向y方向的均布載荷P(z,t)的作用，同時內管和外管繞z軸勻速轉動，轉速均為Ω。

圖1 含雙相流的旋轉PIP系統(tǒng)的力學模型Fig.1 Mechanical model of spinning PIP system with two-phase flow

1.1 系統(tǒng)的動能

用i、j、k分別表示沿著x軸、y軸和z軸的單位矢量，則內管和外管上某一點的位移矢量ri、ro的表達式為

(1)

式中:u1、u2表示內管任一點在x方向和y方向的位移;u3、u4為外管上任一點在x方向和y方向的位移;uz1、uz2分別表示內外管在z方向的位移。

因此內管與外管上任意一點的速度矢量表示為

(2)

在當前的研究中，不考慮內部雙相流隨系統(tǒng)的轉動，因此液相和氣相的速度矢量形式為

(3)

旋轉管中管系統(tǒng)的動能由內管的動能T1、外管的動能T2、液相的動能T3及氣相的動能T4組成，它們的表達式分別為

(4a)

(4b)

(4c)

(4d)

根據(jù)Lannes等的雙相流滑移因子模型，得到氣體體積分數(shù)ε、空化率α和滑移因子Ke的表達式為

(5)

式中:CG和CL分別表示單位長度管內氣相和液相的體積;QG和QL表示相應的體積流量。因此在式(4)中，mG=ρGCG，mL=ρLCL,其中ρG和ρL分別為氣相和液相的密度。

此外，在雙相流滑移因子模型中，氣體體積分數(shù)ε和滑移因子Ke的關系為

(6)

根據(jù)式(2)和(3)，單位長度管內的氣相的質量mG和氣相流速UG可以表示為

(7)

綜上，旋轉PIP系統(tǒng)的總的動能T表示為

T=T1+T2+T3+T4

(8)

1.2 系統(tǒng)的勢能

在本文的研究中，系統(tǒng)的勢能包含內管的應變能U1、外管的應變能U2、保溫層的等效彈簧的彈性勢能U3及等效阻尼器的耗散能U4，它們的表達式為

(9a)

(9b)

(9c)

(9d)

式中:Ei、Eo分別為內管和外管的楊氏模量；Ii、Io分別為內管和外管的截面慣性矩。

因此，系統(tǒng)的總勢能U可表示為

U=U1+U2+U3+U4

(10)

1.3 系統(tǒng)的外力功

旋轉PIP系統(tǒng)所受的外力有軸向壓力Ni、No，以及橫向的均布載荷P(z,t)。因此，系統(tǒng)的外力功可以表示為

(11)

1.4 系統(tǒng)的控制方程

采用廣義哈密頓變分原理進行控制方程的建立，其表達式為

(12)

將式(8)、(10)、(11)代入式(12)，經過化簡計算得到了旋轉PIP系統(tǒng)的四個控制方程，按順序分別為內管在x方向、內管在y方向、外管在x方向及外管在y方向的控制方程，表示如下

(13a)

(13b)

(13c)

(13d)

為了使得計算變得簡潔，引入以下無量綱量

(14)

將式(14)代入旋轉PIP結構橫向振動的控制方程中，得到了考慮雙相流及軸向壓力的旋轉PIP系統(tǒng)的無量綱控制方程為

(15a)

(15b)

(15c)

(15d)

在表1中給出了本文模型的幾種無量綱的邊界類型，其中η用來指代管中管系統(tǒng)的無量綱位移η1、η2、η3和η4，撇號代表對無量綱位置ξ的微分。

表1 模型的幾種邊界條件Tab.1 Several boundary conditions of the model

2 格林函數(shù)法求解

2.1 PIP系統(tǒng)的格林函數(shù)解

在本文的研究中，橫向外力為簡諧力，即

p(ξ,τ)=q(ξ)eiωτ

(16)

式中，ω為無量綱外激頻率。

旋轉PIP系統(tǒng)的控制方程，即式(15)的解可以表示為以下形式

η1(ξ,τ)=X1(ξ)eiωτ,η2(ξ,τ)=X2(ξ)eiωτ

η3(ξ,τ)=X3(ξ)eiωτ,η4(ξ,τ)=X4(ξ)eiωτ

(17)

將式(17)代入式(15)，化簡后可得

(18)

式中，系數(shù)aj、bj、cj、dj(j=1,2,3,4)的表達式為

(19)

根據(jù)格林函數(shù)的定義，可知式(18)的格林函數(shù)解與下式相同

(20)

式中，δ(·)為狄拉克函數(shù)。

獲得系統(tǒng)橫向振動的格林函數(shù)的方法有很多，拉普拉斯變換及拉普拉斯逆變換是較為便捷的一種。對式(20)中的無量綱位置變量ξ進行拉普拉斯變換，整理可得相應得象函數(shù)為

(21a)

(21b)

(21c)

(21d)

式中，λmn(m=1,2,3,4;n=1,2,3,4)為M(s)的m行n列的代數(shù)余子式。M(s)的表達式為

(22)

其中，M1、M2、M3和M4的表達式如下

(23)

通過對式(21)執(zhí)行拉普拉斯逆變換，便得到了相應的四個格林函數(shù)Gm(ξ,ξ0)(m=1,2,3,4)為

X?4(0)Φm16(ξ)+Φm16(ξ-ξ0)H(ξ-ξ0)

(24)

利用所求得的四個格林函數(shù)及線性疊加原理，便可求得旋轉PIP系統(tǒng)強迫振動內外管在x方向和y方向的響應解ηm(ξ,τ)(m=1,2,3,4)為

(25)

2.2 格林函數(shù)中未知系數(shù)的計算

利用表1中不同的邊界條件，可以求出相對應的格林函數(shù)解的未知參數(shù)。利用旋轉PIP系統(tǒng)的格林函數(shù)解Gm(ξ,ξ0)(m=1,2,3,4)對無量綱位置坐標ξ的第一～三階導數(shù)，并取ξ=1，整理得到下式

(26)

式中，Qmn(m=1,2,3,4;n=1,2,3,4)均為四行四列的矩陣，它們的表達式如式(27)所示；Xm(m=1,2,3,4)為左邊界條件列陣，Gm(m=1,2,3,4)為右邊界條件列陣，fm(m=1,2,3,4)為外激勵項列陣，它們的表達式在式(28)中給出。

(27a)

(27b)

(27c)

(27d)

(28a)

(28b)

(28c)

式中，Ψ=1-ξ0。

根據(jù)表1將所對應的邊界條件代入式(25)，經過化簡計算便得到了式(24)相對應的格林函數(shù)中的未知左邊界系數(shù)。將求解得到的左邊界系數(shù)和已知的邊界條件代入式(24)，便得到了完整的旋轉管中管系統(tǒng)的四個格林函數(shù)解。

3 數(shù)值結果及討論

本文所研究的PIP系統(tǒng)的相關參數(shù)為：長為L=10 m，內管的內徑為di=0.16 m，內管的外徑為Di=0.22 m，外管內徑do=0.22 m，外管外徑Do=0.26 m，內、外管的彈性模量均為2×1011N/m2，密度均為7 850 kg/m3，液相內流密度為ρL=1 000 kg/m3，氣相內流密度為ρG=1.2 kg/m3。

3.1 解的有效性驗證

本小節(jié)忽略保溫層的作用和旋轉的影響，通過解耦得到了無旋轉輸流管橫向振動的動力學模型。利用格林函數(shù)法求解了兩端都為簡支邊界的輸流管模型的橫向振動。驗證部分結構模型及材料屬性的相關參數(shù)取自于馬騰等，無量綱參數(shù)βi的取值為0.5，內流取為單相流，并取三組無量綱內流流速uL分別為0、1和2。通過改變外激頻率ω，得到了三種無量綱內流流速下，在0.7位置處作用單位簡諧載荷時0.1處的幅頻曲線。圖2給出了在三種內流流速下前三階無量綱固有頻率曲線規(guī)律，其具體數(shù)值在表2中給出。通過與馬騰等采用改進傅里葉法得到的結果進行對比，可以發(fā)現(xiàn)采用本文的方法得到的結果與參考文獻基本一致。兩種方法存在誤差的原因主要是馬騰等采用的改進傅里葉法存在截斷誤差，在求解系統(tǒng)的頻率時會與精確解產生明顯的誤差。而本文的格林函數(shù)法得到的解為精確的解析解，更精確與可靠。

表2 具有不同內流流速的模型的無量綱頻率Tab.2 Dimensionless frequencies of models under different boundaries

3.2 不同參數(shù)對無旋轉PIP系統(tǒng)的影響

本小節(jié)以不旋轉的懸臂PIP系統(tǒng)為研究對象，研究氣體體積分數(shù)、軸向壓力、內流流速及彈簧剛度系數(shù)對系統(tǒng)格林函數(shù)基礎響應的影響。

圖3展示了外激勵頻率為ω=20時，含有不同氣體體積分數(shù)的無旋轉懸臂管中管系統(tǒng)的格林函數(shù)解。計算時的相關無量綱參數(shù)為k=300、c=2、uL=3、pi=0、po=0。設置了三組氣體體積分數(shù)分別為0、0.4和0.8，且力的作用點為ξ0=1。由于無旋轉系統(tǒng)的響應只會在受力的y方向產生，表示x方向響應的G1(ξ,1)與G3(ξ,1)都為0，因此不在圖中給出。從圖中可以看到，在內流的作用下，此時內管與外管在x方向的格林函數(shù)基礎響應G2(ξ,1)與G4(ξ,1)的響應是呈整體相反趨勢的。隨著氣體體積分數(shù)的增大，G4(ξ,1)在靠近固定端的一側幾乎不變，在靠近自由端的一側逐漸增大。而G2(ξ,1)在ξ小于7.8時，隨著氣體體積分數(shù)的增大響應逐漸增大，在靠近自由端時表現(xiàn)出相反的規(guī)律。

圖3 具有不同氣體體積分數(shù)的無旋轉懸臂PIP系統(tǒng)的格林函數(shù)Fig.3 Green’s functions of non-spinning cantilever PIP system with different gas volume fractions

圖4所示為無量綱彈簧剛度系數(shù)分別為0、100、200的無旋轉懸臂PIP系統(tǒng)橫向強迫振動的格林函數(shù)解G2(ξ,1)與G4(ξ,1)。為了使得結果對比清晰，忽略了阻尼、軸力及流速的影響，即取c=0、uL=0、pi=0、po=0、uL=0、εG=0。并且設置了三組無量綱彈簧剛度系數(shù)分別為0、100、200，無量綱外激頻率取為30。從圖4中可以清楚地發(fā)現(xiàn)，在此條件下，隨著彈簧剛度系數(shù)的增大，外管的響應逐漸減小，而內管的響應逐漸增大。

圖4 具有不同剛度系數(shù)的無旋轉懸臂PIP系統(tǒng)的格林函數(shù)Fig.4 Green’s functions of non-spinning cantilever PIP system with different stiffness coefficients

圖5給出的是無旋轉懸臂PIP系統(tǒng)施加不同的外管軸向壓力po時的格林函數(shù)解G2(ξ,1)和G4(ξ,1)。計算時，其他的無量綱參數(shù)為k=200、c=2、uL=0、pi=0、εG=0，且此時的無量綱外激頻率為ω=20。三組無量綱外管軸力為0、4、8，隨著軸力的改變，內管與外管在y方向上的格林函數(shù)解也隨之發(fā)生變化。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，在該條件下，隨著外管軸向壓力的增大，內管自由端的響應隨之增大。而外管表現(xiàn)的較為復雜，在靠近固定端一側響應隨著外管軸向壓力的增大而減小，在自由端是先減小后增大。

圖5 具有不同軸向壓力的無旋轉懸臂PIP系統(tǒng)的格林函數(shù)Fig.5 Green’s functions of non-spinning cantilever PIP system with different axial pressures

圖6表示了液相流速uL分別為0、2、4時無旋轉懸臂PIP系統(tǒng)強迫振動的格林函數(shù)解G2(ξ,1)與G4(ξ,1)。計算時無量綱外激頻率為ω=30，而其他相關參數(shù)的取值分別為k=200、c=2、pi=0、po=0、εG=0。隨著流速的變化，內外管受力向的格林函數(shù)解也相應地發(fā)生變化。其中內管受流體直接的作用，在固定端一側響應隨著流速的增大而減小，而在自由端一側，流速為0和2時幾乎相同，當流速繼續(xù)增大為4時才表現(xiàn)出不同的形式。由于彈性層的作用，外管也會受到內流的影響，其格林函數(shù)解在固定端一側隨著流速的增大而增大，而在自由端一側則是隨著流速的增大而減小。

圖6 具有不同內流流速的無旋轉懸臂PIP系統(tǒng)的格林函數(shù)Fig.6 Green’s functions of non-spinning cantilever PIP system with different flow velocity

3.3 旋轉速度與內流流速的綜合影響

本小節(jié)考慮了旋轉的影響，討論了旋轉速度和內流流速對外激頻率為ω=10時的系統(tǒng)的強迫振動的格林函數(shù)解的影響。計算時，不考慮軸向壓力、氣體體積分數(shù)、彈簧剛度系數(shù)等因素的影響，相關無量綱不變量取為k=300、c=2、pi=0、po=0、εG=0。無量綱液相流速uL的范圍為0～1，無量綱旋轉速度Ω*的取值范圍為0～20。結果在圖7中以云圖的形式表示。

圖7表示了此時條件下管中管結構ξ=1點受單位簡諧力時ξ=1處的格林函數(shù)響應解的響應云圖。其中G1(1,1)和G3(1,1)分別表示內管和外管在x方向的基礎響應，而G2(1,1)和G4(1,1)分別表示內管和外管在y方向的基礎響應。從圖7(a)和圖7(b)中可以看到，內管產生了復雜的響應，這種現(xiàn)象歸因于內外管的相互作用，式(13a)和(13b)中彈性層的剛度項和阻尼項使系統(tǒng)內外管產生耦合作用。從圖7(c)和圖7(d)中可以看到，當有轉速存在時，雖然系統(tǒng)的受力方向為y方向，但是由于旋轉耦合作用的影響，系統(tǒng)在x方向也會產生較大的響應，這個現(xiàn)象是由方程(13c)和(13d)中的旋轉科氏效應引起的。此外，從圖中可以清楚地看到，在低流速且無量綱旋轉速度Ω*在7或13附近時，內、外管的兩個方向上會產生較高重合度的共振帶，且轉速和流速的變化會影響共振區(qū)間。從方程(13)中可以看出，由于內外管x和y方向的旋轉科氏力項符號相反，系統(tǒng)固有頻率會出現(xiàn)分岔，且旋轉速度和內流流速會改變系統(tǒng)剛度，進而使得系統(tǒng)的固有頻率發(fā)生變化；當外激頻率接近管中管結構中內管或外管某一個方向的固有頻率時，系統(tǒng)就會發(fā)生共振。在內管或外管某一方向上發(fā)生共振時通過彈簧層的作用使得其他方向上產生了較大的響應，進而會影響系統(tǒng)的正常工作，降低結構的可靠性，引起結構的失穩(wěn)與破壞。因此，在工程中需要避免接近圖7中所示的共振帶。

4 結 論

本文建立了計入氣-液雙相流和軸向外載的旋轉管中管結構的動力學模型，采用格林函數(shù)法進行了求解，得到了適用于各種邊界條件的旋轉管中管結構橫向振動的格林函數(shù)。根據(jù)線性疊加原理，得到了旋轉管中管結構橫向強迫振動響應的解析解。本文的結果同樣適用于具有不同邊界條件的無旋轉單管、無旋轉雙管及旋轉單管結構的橫向強迫振動問題的研究。在數(shù)值分析與討論部分，利用格林函數(shù)法得到以下結論：

(1) 通過格林函數(shù)幅頻特性曲線獲得了具有不同內流流速的無旋轉輸流管模型的前三階固有頻率。經過與參考文獻的結果的對比，驗證了格林函數(shù)解的高精確性和本文方法的可靠性。

(2) 以懸臂管中管結構為例，討論了氣體體積分數(shù)、內流流速、彈簧剛度系數(shù)和軸向壓力等對無旋轉管中管結構的格林函數(shù)響應的影響。在本文所取的條件下，隨著氣體體積分數(shù)的增大，內外管自由端的格林函數(shù)響應均減??；隨著軸向壓力或內流流速的增大，內外管自由端的格林函數(shù)響應均增大；隨著彈簧剛度系數(shù)的增大，內管自由端的格林函數(shù)響應增大，而外管自由端的格林函數(shù)響應減小。

(3) 當無量綱外激頻率為10時，在關于流速和轉速的格林函數(shù)云圖中，發(fā)在現(xiàn)內外管的兩個橫向振動方向上會產生較高重合度的響應帶。且當Ω*在7或13附近且uL小于1時，管中管結構會產生顯著的共振現(xiàn)象。工程中需要選取遠離共振帶的的轉速與流速以避免產生過大的響應，以免引起結構的破環(huán)。