趙 亮,沈建和

(1.福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，福建 福州 350117；2.廣西財經(jīng)學(xué)院信息與統(tǒng)計學(xué)院，廣西 南寧 530003)

兩尺度奇異攝動系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式如下：

(1)

其中x∈Rn和y∈Rm為狀態(tài)變量，0<ε?1為攝動參數(shù)，λ∈Rl為分支參數(shù)，f和g關(guān)于其變量充分光滑.引入快尺度t=τ/ε后，可得慢系統(tǒng)(1)對應(yīng)的快系統(tǒng),

(2)

顯然，當(dāng)ε≠0時，系統(tǒng)(1)和(2)拓?fù)涞葍r.在式(1)和式(2)中令ε=0，可分別得退化系統(tǒng)

(3)

和層系統(tǒng)

(4)

其中稱

Cλ={(x,y,λ)|f(x,y,λ,0)=0}

為臨界流形，它是層系統(tǒng)(4)的所有平衡點的集合.

Fenichel幾何奇異攝動理論[1](簡稱GSPT)是研究奇異攝動系統(tǒng)的主要工具之一，其基本思想是:首先進(jìn)行快慢分離，獲得維數(shù)較低的層系統(tǒng)(快-極限系統(tǒng))和退化系統(tǒng)(慢-極限系統(tǒng))；然后通過分析層系統(tǒng)和退化系統(tǒng)的動力學(xué)來獲得整個奇異攝動系統(tǒng)(1)/(2)的動力學(xué).然而，GSPT的前提是臨界流形的法向雙曲性.在法向非雙曲點附近，GSPT不再適用.根據(jù)奇異攝動問題的流經(jīng)過法向非雙曲點附近時的分支行為,在通有情況下非雙曲點可分為鴨點和跳躍點. 鴨點和跳躍點的存在，是奇異攝動系統(tǒng)產(chǎn)生奇異閉軌的必要條件.奇異閉軌經(jīng)擾動可產(chǎn)生張弛振蕩(含鴨型).張弛振蕩的產(chǎn)生，通常與鴨爆炸緊密相關(guān). 鴨爆炸是指在某臨界參數(shù)的指數(shù)小范圍內(nèi)，由Hopf分支產(chǎn)生小振幅極限環(huán)經(jīng)鴨環(huán)和最大鴨迅速過渡到張弛振蕩的連續(xù)分支過程[2-4].至今，關(guān)于奇異攝動系統(tǒng)周期振蕩的研究已有許多工作.

關(guān)于平面奇異攝動系統(tǒng)的周期振蕩和鴨爆炸現(xiàn)象，Zhang等[5]研究了帶Holling-III功能反應(yīng)函數(shù)的Leslie-Gower奇異攝動捕食-食餌系統(tǒng)，用GSPT和鴨理論證明了張弛振蕩、鴨環(huán)和同宿環(huán)的存在性以及鴨爆炸現(xiàn)象；通過計算慢散度積分，證明了系統(tǒng)鴨環(huán)的環(huán)性最多為2.Ai等[6]利用Poincaré-Bendixson定理和entry-exit函數(shù),證明了張弛振蕩的存在性、全局唯一性和軌道穩(wěn)定性.Chen等[7]研究了一類具有Sigmoid功能反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌系統(tǒng)，借助GSPT和定性理論，證明了系統(tǒng)連續(xù)出現(xiàn)兩次鴨爆炸的現(xiàn)象.Chen等[8]研究了Tyson-Hong-Thron-Novak模型，利用GSPT給出了鴨爆炸、張弛振蕩以及同異宿軌的存在性.更多的工作可見文[9-18].

關(guān)于三維及以上奇異攝動系統(tǒng)的周期振蕩，至今亦有一些工作.Liu等[19]研究了兩個捕食者競爭一個食餌的三維奇異攝動系統(tǒng),通過建立適當(dāng)?shù)腜oincaré映射，證明了三維相空間中穩(wěn)定張弛振蕩的存在性.Shen等[20]研究了一類具有演化效應(yīng)的四維奇異攝動捕食-食餌模型，借助GSPT和entry-exit函數(shù)，證明了四維相空間中張弛振蕩的存在性.Hsu等[21]通過對entry-exit函數(shù)的新的推廣，給出了一般高維奇異攝動系統(tǒng)有關(guān)張弛振蕩存在性和穩(wěn)定性的判據(jù).Sewalt等[22]研究了一類水-植被相互耦合的奇異攝動生態(tài)模型,結(jié)合GSPT和Melnikov方法，證明了四維相空間中脈沖周期軌道的存在性.

實際上，關(guān)于奇異攝動系統(tǒng)的周期振蕩，除了張弛振蕩之外，三維及以上相空間還可以存在諸如混合模式振蕩(Mixed-mode Oscillations，MMOs) 等更為復(fù)雜的周期振動形式.MMOs是奇異攝動系統(tǒng)中小振幅振動(SAOs)和大振幅振動(LAOs)交替的一種復(fù)雜的周期振蕩,它只能存在于三維及以上的奇異攝動系統(tǒng),即系統(tǒng)(1)中的維數(shù)滿足n+m≥3.至今，有關(guān)兩尺度奇異攝動系統(tǒng)的MMOs，已有許多的工作,可見文[23-32].

以上所提的工作，均只涉及兩尺度奇異攝動系統(tǒng). 三尺度動力系統(tǒng),只能存在于三維及以上的相空間. 三尺度三維奇異攝動系統(tǒng)的一般形式如下，

(5)

這里x，y，z∈R為3個(尺度分離的)狀態(tài)變量，0<ε，δ?1是系統(tǒng)的2個攝動參數(shù)，λ∈Rl為分支參數(shù).

雙攝動參數(shù)ε，δ的存在,一方面，它們帶來了更多的不同層級的尺度分離，一定程度上方便了問題的處理；但另一方面，ε，δ的相對量級，將直接影響到系統(tǒng)(5)的分支動力學(xué).例如：先固定δ，視ε為擾動參數(shù)，此時可認(rèn)為ε=o(δ)，從而系統(tǒng)(5)可以看作是含1個快變量和2個慢變量的奇異攝動系統(tǒng)；若固定ε，而視δ為擾動參數(shù)，即δ=o(ε)，此時系統(tǒng)(5)可以看作是含有2個快變量1個慢變量的奇異攝動系統(tǒng).對于含1個快變量和2個慢變量的奇異攝動系統(tǒng)，其局部小振幅振蕩(SAOs)可由折曲線上的折結(jié)點引起，此時的折曲線和折結(jié)點的強(qiáng)穩(wěn)定方向會形成一個奇異漏斗，折結(jié)點附近的最大鴨解會圍繞弱鴨解振動；對于含2個快變量和1個慢變量的奇異攝動系統(tǒng)，其局部小振幅振蕩(SAOs)可經(jīng)時延Hopf分支產(chǎn)生.因此，對于三尺度奇異攝動系統(tǒng)(5)，當(dāng)ε，δ同時趨于零時，上述兩種極限動力學(xué)將疊加,從而引起更為退化的問題，是一種更為困難的情形.更多關(guān)于三尺度奇異攝動系統(tǒng)MMOs的工作，可見文[33-39].

本文主要介紹奇異攝動系統(tǒng)的周期振蕩及其分支問題.論文結(jié)構(gòu)安排如下:第二節(jié)主要介紹三尺度奇異攝動系統(tǒng)(5)產(chǎn)生小振幅振蕩和MMOs的分支機(jī)制；第三節(jié)以一個具體的食物鏈三尺度奇異攝動模型為例,分析引起小振幅振蕩的原因.

1 三尺度三維奇異攝動系統(tǒng)的周期振蕩

1.1 MMOs的折結(jié)點機(jī)制

先固定δ，并視ε為攝動參數(shù)，即ε=o(δ)，此時系統(tǒng)(5)可看作是含1個快變量和2個慢變量的三維奇異攝動系統(tǒng).作時間尺度變換τ=εt，得到慢系統(tǒng)

(6)

(7)

和退化系統(tǒng)

(8)

其中，二維的臨界流形為

M={ (x,y,z)∈R3：f(x,y,z)=0 }.

假設(shè)臨界流形M上具有如下非退化的折曲線,

Mf={ (x,y,z)∈R3：fx(x,y,z)=0，fxx(x,y,z)≠ 0 },

那么，折曲線將臨界流形分為法向吸引和法向排斥兩部分，分別記為

Ma=M∩{ (x,y,z)∈R3：fx(x,y,z)<0 },

Mr=M∩{ (x,y,z)∈R3：fx(x,y,z)>0 }.

退化系統(tǒng)(8)為微分代數(shù)系統(tǒng)，其限制在臨界流形M上的動力學(xué)方程為

(9)

顯然，系統(tǒng)(9)在折曲線Mf處具有奇性.將其正則化，可得正則系統(tǒng)

(10)

根據(jù)文[35]，正則系統(tǒng)(10)有兩類奇點：一類稱為普通奇點Eo，一類稱為折奇點Ef,分別定義為

Eo={(x,y,z)∈M：fyg+δfzh=0，h=0}

和

Ef={(x,y,z)∈M：fyg+δfzh=0，fx=0}.

顯然，普通奇點既是正則系統(tǒng)(10)的奇點，也是奇性系統(tǒng)(9)和整個系統(tǒng)(6)的奇點(需要假設(shè)fy≠0)；而折奇點是正則系統(tǒng)(10)的奇點，但不一定是奇性系統(tǒng)(9)和整個系統(tǒng)(6)的奇點.

假設(shè)p∈Ef，記λ1和λ2是系統(tǒng)(10)的雅可比矩陣在點p的特征值，則

(1)若λ1，λ2是實數(shù)，λ1λ2>0，則p是系統(tǒng)(10)的折結(jié)點；

(2)若λ1，λ2是實數(shù)，λ1λ2<0，則p是系統(tǒng)(10)的折鞍點；

(3)若λ1，λ2是復(fù)數(shù)，則p是系統(tǒng)(10)的折焦點.

若p∈Ef是系統(tǒng)(10)的折結(jié)點，那么系統(tǒng)(5)的軌線經(jīng)過折結(jié)點附近會產(chǎn)生小振幅振蕩(SAOs)，其原理是因為折曲線和折結(jié)點的強(qiáng)穩(wěn)定方向會形成一個奇異漏斗，進(jìn)入奇異漏斗的強(qiáng)鴨解會圍繞弱鴨解產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)，從而產(chǎn)生SAOs，如圖1.

圖1 由折結(jié)點導(dǎo)致的局部小振幅振蕩示意圖Fig.1 Schematic of local small amplitude oscillation generated by folded node

QCHD={q|(x,y,z)∈R3：fx=0，f= 0，g=0}，

不難發(fā)現(xiàn)

|p-q|=O(δ).

1.2 MMOs的時延Hopf分支機(jī)制

(11)

(12)

和退化系統(tǒng)

(13)

其一維的臨界流形為

S={ (x,y,z)：f(x,y,z)=0，g(x,y,z)=0}.

實際上，上述定義之S，恰好為M上的一條曲線，稱之為超慢臨界曲線.

層系統(tǒng)(12)可視為單參數(shù)平面系統(tǒng)(z為參數(shù))，即

(14)

超慢流形S上的所有點，均為系統(tǒng)(14)/(12)的平衡點.若ε充分小，那么超慢流形S上滿足

H={h|(x,y,z)∈S：fx+εgy=0，ε(fxgy-fygx)>0}

的點，稱為時延Hopf分支的點，記為DHB. DHB點把一維的超慢流形S分成吸引和排斥部分，分別記為Sa和Sr.

在DHB點處，由于在系統(tǒng)(14)的線性化矩陣的特征值是一對純虛根，軌線圍繞著慢流旋轉(zhuǎn)，從而產(chǎn)生SAOs，如圖2.因此，時延Hopf分支是具有2快變量和1慢變量的奇異攝動系統(tǒng)產(chǎn)生SAOs的一種機(jī)制；它與具有1個快變量和2個慢變量的奇異攝動系統(tǒng)產(chǎn)生SAOs的奇異Hopf分支不同，時延Hopf分支與整個系統(tǒng)的平衡點無關(guān)，而奇異Hopf 分支是由落在折曲線上的系統(tǒng)的平衡點產(chǎn)生的，與整個系統(tǒng)的平衡點有關(guān).

圖2 由時延Hopf分支導(dǎo)致的局部小振幅振蕩示意圖Fig.2 Schematic of local small amplitude oscillation generated by delayed Hopf bifurcation

關(guān)于時延Hopf分支的延遲的大小，可用entry-exit函數(shù)來刻畫. 假設(shè)(x0,y0,z0)∈Sa，λ=λ(z)是系統(tǒng)(12)/(14) 雅可比矩陣在點(x0,y0,z0) 處的特征值，φ(z0)是時延Hopf分支逃離時的z坐標(biāo)，由如下entry-exit函數(shù)來控制:

這里，Reλ(z)表示λ(z)的實部.

|DHB-QCHD|=O(ε).

1.3 當(dāng)0<δ=O(ε)?1時引起小振幅振蕩的CDH機(jī)制

圖3 系統(tǒng)(5)的局部小振幅振蕩示意圖Fig.3 Schematic of local small amplitude oscillation of system (5)

2 一類三尺度食物鏈模型的周期振蕩

考慮如下三尺度食物鏈模型

(15)

其中x，y和z分別表示食餌、捕食者和頂級捕食者的種群密度，x和y之間的捕食與被捕食關(guān)系為Lotka-Volterra型,y和z之間的捕食與被捕食關(guān)系是Leslie-Gower型的相互作用,r2z2表示頂級捕食者的交配頻率與種群z的雄性和雌性的數(shù)量成正比，m<0表示弱Allee效應(yīng),0<ε，δ?1為雙攝動參數(shù).

系統(tǒng)(15)是一類具有3個時間尺度的食物鏈模型(三維奇異攝動系統(tǒng))，其中相對地說,x是快變量，y是慢變量，z是超慢變量.

(1)若固定δ，視ε為攝動參數(shù)，即當(dāng)ε=o(δ)時,系統(tǒng)(15)的臨界流形是二維的，即

M={(x,y,z)∈R3|x=0}∪{(x,y,z)∈R3|y=

其中，M1為平面，M2為曲面，其上的一維折曲線為

M1和M2上分別有直線

S1={(y,z)∈R2|y=0},

以及直線和曲線

S2={(x,z)∈R2|x=K}∪{(x,z)∈R2|z=

實際上，S1和S2即為超慢臨界曲線.

系統(tǒng)(15)位于折曲線Fc上的折奇點為

經(jīng)過計算，系統(tǒng)(15)的正平衡點x坐標(biāo)為

(2) 若固定ε，視δ為攝動參數(shù)，即當(dāng)δ=o(ε)時,層系統(tǒng)為

(16)

系統(tǒng)(16)可視為單參數(shù)平面系統(tǒng)(z為參數(shù))，即

(17)

其超慢臨界曲線為

沿著S22，系統(tǒng)(17)的雅可比矩陣為

于是可得

顯然，當(dāng)

有TrJ=0.而

detJ=εxy(O(ε)+a1b1)>0.

因此，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)(15)混合模式振蕩(MMOs)中的小振幅振蕩是由時延Hopf分支引起，如圖4所示.圖4a和b分別顯示系統(tǒng)(17)有1個和2個正平衡點的情形.正平衡點的個數(shù)和位置，如圖4所示,將對系統(tǒng)的動力學(xué)產(chǎn)生很大的影響.具體的詳細(xì)分類和過程，略.

圖4 系統(tǒng)15由時延Hopf 分支引起的局部小振幅振蕩示意圖Fig.4 Local small amplitude oscillation of system 15 generated by delayed Hopf bifurcation