王海青 吳有昌

(1.惠州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 516007；2.廣東省教育科學(xué)研究院 510035)

1 研究的背景與理論依據(jù)

正如康德的觀點(diǎn)：“知識(shí)在本質(zhì)上是一個(gè)整體，正確使用人的理性可以指導(dǎo)主體將支離破碎的、不完整的知識(shí)統(tǒng)整上升到更高原則的整體知識(shí)．”[1]隨著基礎(chǔ)教育課程改革的推進(jìn)，強(qiáng)調(diào)知識(shí)的整體性和單元整體作用的教學(xué)觀愈加受到重視．“單元設(shè)計(jì)不僅僅是對(duì)知識(shí)點(diǎn)與技能訓(xùn)練的課時(shí)安排及單元重難點(diǎn)知識(shí)的分析”[2]，教師應(yīng)該學(xué)會(huì)有機(jī)地、模塊化地處理教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行“單元設(shè)計(jì)”，它是“撬動(dòng)課堂轉(zhuǎn)型的一個(gè)支點(diǎn)”[3]．以單元為主體進(jìn)行整體教學(xué)設(shè)計(jì)，可以解決由“課時(shí)主義”造成的教學(xué)內(nèi)容碎片化、知識(shí)技能訓(xùn)練過(guò)度化等問(wèn)題，“整體化有序設(shè)計(jì)單元教學(xué)”[4]還可以改變重細(xì)節(jié)輕整體的教學(xué)思維．整體教學(xué)理論強(qiáng)調(diào)遵循“整體→部分→整體”[5-8]的步驟開(kāi)展單元教學(xué)，重視單元整體的功能與作用，突出單元與具體課時(shí)之間的融會(huì)貫通．它要求對(duì)任何一門學(xué)科的教學(xué),應(yīng)使學(xué)生不僅要理解各部分的內(nèi)容,而且要理解各部分內(nèi)容間的關(guān)系；不僅要掌握該學(xué)科知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，而且要掌握該學(xué)科與相鄰學(xué)科的外在聯(lián)系．

近年來(lái)，關(guān)于單元教學(xué)設(shè)計(jì)或整體教學(xué)設(shè)計(jì)的研究與實(shí)踐日趨增多[2-4，9]．由于基礎(chǔ)教育教材編寫遵循“螺旋式上升”原則以及知識(shí)結(jié)構(gòu)的整體性特征，以單元為主體強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)內(nèi)容相互聯(lián)系的整體教學(xué)設(shè)計(jì)是提升課堂教學(xué)質(zhì)量的有效選擇．基礎(chǔ)教育各學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)也特別強(qiáng)調(diào)教材與教學(xué)內(nèi)容的整體實(shí)現(xiàn)，如《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》[10]與《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》[11]在“實(shí)施建議”中指出“教材編寫應(yīng)體現(xiàn)整體性”，注重教材的整體結(jié)構(gòu)與內(nèi)容間的有機(jī)銜接；教學(xué)活動(dòng)要整體把握教學(xué)內(nèi)容，注重課程目標(biāo)的整體實(shí)現(xiàn)．同時(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)也具有自身的學(xué)科特性．美國(guó)數(shù)學(xué)家Halmos曾直言：?jiǎn)栴}是數(shù)學(xué)的心臟，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一的方法就是做數(shù)學(xué)．基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)“從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的問(wèn)題情境”[10]，“教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合適的數(shù)學(xué)問(wèn)題……教學(xué)情境包括：現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境”[11]．這也凸顯了問(wèn)題與情境對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要性，教師需通過(guò)問(wèn)題與情境引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的生成過(guò)程、揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)并學(xué)會(huì)思考．

科學(xué)研究始于問(wèn)題，問(wèn)題是促進(jìn)學(xué)科發(fā)展的原始動(dòng)力．?dāng)?shù)學(xué)也不例外，美國(guó)數(shù)學(xué)史家M. Kline就曾指出“每一個(gè)數(shù)學(xué)分支均是為攻克一類問(wèn)題而發(fā)展起來(lái)的”[12]．因此，合乎情理和邏輯的數(shù)學(xué)教學(xué)也應(yīng)圍繞問(wèn)題展開(kāi)，以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)讓學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程中揭示數(shù)學(xué)思想、生成“形式化”的數(shù)學(xué)概念與原理，并“教學(xué)生學(xué)會(huì)思考”[13]．《問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)·理論與實(shí)踐卷》[14]則系統(tǒng)地探討了問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)理論以及相應(yīng)的教學(xué)案例分析．那么，怎樣的問(wèn)題才是適當(dāng)?shù)模砍醯葦?shù)學(xué)中的概念或原理的形成大都源于現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題或是數(shù)學(xué)內(nèi)部的問(wèn)題，只要是“具有啟發(fā)性的、本原性的、觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)、能夠在教學(xué)中起統(tǒng)帥作用的”[15]問(wèn)題都是好問(wèn)題．這也就要求教師需依據(jù)對(duì)歷史和數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)的整體理解挖掘知識(shí)產(chǎn)生的背景與價(jià)值，再結(jié)合學(xué)生的實(shí)際創(chuàng)設(shè)真實(shí)有效的問(wèn)題及相應(yīng)的情境．

可見(jiàn)，就數(shù)學(xué)教學(xué)而言，適當(dāng)?shù)膯?wèn)題與情境是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)的重要支點(diǎn)，以數(shù)學(xué)單元為主體的整體教學(xué)設(shè)計(jì)需重視問(wèn)題驅(qū)動(dòng)課堂的教學(xué)方式，整體教學(xué)觀與問(wèn)題驅(qū)動(dòng)理論是指導(dǎo)數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)的重要理論依據(jù)．教師需根據(jù)數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展脈絡(luò)與學(xué)科架構(gòu)，發(fā)現(xiàn)知識(shí)產(chǎn)生的本原性問(wèn)題、挖掘教學(xué)內(nèi)容的價(jià)值與揭示學(xué)習(xí)內(nèi)容相互之間的聯(lián)系，然后依據(jù)學(xué)生的現(xiàn)實(shí)創(chuàng)設(shè)合適的問(wèn)題與情境以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)，教給學(xué)生豐富的充滿聯(lián)系的整體知識(shí)結(jié)構(gòu)，并促進(jìn)學(xué)習(xí)的遷移．以單元為單位圍繞核心數(shù)學(xué)問(wèn)題展開(kāi)整體教學(xué)設(shè)計(jì)，有助于實(shí)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容在學(xué)科內(nèi)部的融合與學(xué)科間的整合，有助于實(shí)現(xiàn)抽象知識(shí)與具體現(xiàn)實(shí)的有效連接，有助于實(shí)現(xiàn)既面向全體又考慮差異的彈性教學(xué)．

2 中學(xué)數(shù)學(xué)單元的知識(shí)結(jié)構(gòu)

準(zhǔn)確剖析中學(xué)數(shù)學(xué)單元的整體結(jié)構(gòu)，涉及到對(duì)數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)、教學(xué)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)三個(gè)概念的辨析，三者之間既有密切聯(lián)系又有嚴(yán)格區(qū)別．?dāng)?shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)就是教材內(nèi)容的邏輯結(jié)構(gòu)；認(rèn)知結(jié)構(gòu)就是經(jīng)過(guò)學(xué)生主觀改造后頭腦里獲得的知識(shí)結(jié)構(gòu)．[16]而教學(xué)結(jié)構(gòu)是教師基于對(duì)教材邏輯結(jié)構(gòu)和學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)形成的教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)與組織形式，它是實(shí)現(xiàn)由知識(shí)結(jié)構(gòu)向認(rèn)知結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化的橋梁．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)的目的之一是幫助學(xué)生形成可利用的、可辨別的和穩(wěn)定的認(rèn)知結(jié)構(gòu)[17]以促進(jìn)學(xué)習(xí)的遷移．即要求教師在教學(xué)中應(yīng)使知識(shí)間盡可能多地建立相互聯(lián)系，且新知識(shí)的學(xué)習(xí)應(yīng)在原有的基礎(chǔ)上建立意義聯(lián)系，使之有機(jī)嵌入已有的知識(shí)體系并得以保持．顯然，良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成有賴于教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的整體認(rèn)知以組織合理的教學(xué)結(jié)構(gòu)．

為便于討論，下面以“平面向量”單元為例，剖析單元知識(shí)結(jié)構(gòu)及其對(duì)具體教學(xué)的指導(dǎo)作用．

2.1 中學(xué)數(shù)學(xué)單元知識(shí)結(jié)構(gòu)的四個(gè)層次

中學(xué)數(shù)學(xué)單元的知識(shí)結(jié)構(gòu)可從宏觀到微觀四個(gè)層次進(jìn)行剖析，即：數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部之間及其與相鄰學(xué)科的聯(lián)系、高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系、中學(xué)數(shù)學(xué)單元之間的聯(lián)系、單元內(nèi)部各個(gè)課時(shí)之間的聯(lián)系．

2.1.1 數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部之間及其與相鄰學(xué)科的聯(lián)系

數(shù)學(xué)的概念、原理或規(guī)則大都是為解決某個(gè)實(shí)際問(wèn)題而慢慢形成，有些則演變?yōu)橐粋€(gè)數(shù)學(xué)分支．它們的起源與物理、天文、軍事和經(jīng)濟(jì)生活等密切相關(guān)，所以數(shù)學(xué)與其它學(xué)科及數(shù)學(xué)內(nèi)部之間的聯(lián)系形成了一個(gè)宏觀的整體結(jié)構(gòu)．M. Kline認(rèn)為“數(shù)學(xué)史是教學(xué)的指南”，它記載著數(shù)學(xué)思想的形成過(guò)程．因此，數(shù)學(xué)史有助于認(rèn)識(shí)這一宏觀的知識(shí)結(jié)構(gòu)，由此深入理解相關(guān)內(nèi)容產(chǎn)生的背景及應(yīng)用價(jià)值，明確教學(xué)內(nèi)容的重要性．

向量是一個(gè)可以表示力、速度或加速度的大小和方向的有向線段的概念．向量的概念及平行四邊形運(yùn)算法則，早在亞里士多德時(shí)期就已經(jīng)知道．1830年左右德國(guó)數(shù)學(xué)家Gauss指出復(fù)數(shù)能用來(lái)表示平面上的向量，于是復(fù)數(shù)就提供了表示向量及其運(yùn)算的一個(gè)代數(shù)形式．復(fù)數(shù)的加法與減法就表示向量的加法與減法，定量的代數(shù)形式運(yùn)算代替了平行四邊形法則或三角形法則的定性幾何描述，大大簡(jiǎn)化了向量的計(jì)算．復(fù)數(shù)的加法和乘法運(yùn)算可以表示平面上物體的平移、旋轉(zhuǎn)和伸縮運(yùn)動(dòng)，這給物理研究帶來(lái)極大的便利，也是復(fù)數(shù)最終被廣泛接受的直接原因．代數(shù)上為了處理空間中的物體運(yùn)動(dòng)需要一個(gè)復(fù)數(shù)的三維類似物，愛(ài)爾蘭的數(shù)學(xué)與物理學(xué)家Hamilton于1843年在復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)明了四元數(shù)，并試圖將之系統(tǒng)化應(yīng)用于數(shù)學(xué)和物理學(xué)科．

四元數(shù)因?yàn)槊撾x了空間直角坐標(biāo)系而受到物理學(xué)家的忽視，也未像復(fù)數(shù)那樣應(yīng)用廣泛．人們?cè)u(píng)價(jià)四元數(shù)的發(fā)現(xiàn)是“愛(ài)爾蘭的悲劇”[18-19]，但它的發(fā)明間接推動(dòng)了向量代數(shù)和向量分析的建立．四元數(shù)啟發(fā)物理學(xué)家Gibbs和Heaviside提出了三維向量的概念并定義了數(shù)量積和向量積兩類乘法，它們都有直接的物理背景，可以表示空間中物體的運(yùn)動(dòng)情況．比如，向量的數(shù)量積運(yùn)算的物理意義[20]為：如圖1，設(shè)v1是一個(gè)方向和大小由O到P1的線段表示的力，則這個(gè)力推動(dòng)O點(diǎn)的物體在OP方向上的作用(OP代表向量v)是OP1在OP上的投影OP1·cos∠P1OP．當(dāng)OP是單位長(zhǎng)度時(shí)，OP1的投影正好是乘積v·v1的值．

圖1 向量數(shù)量積的物理意義

數(shù)學(xué)史展現(xiàn)了向量與數(shù)學(xué)及物理學(xué)科間的脈絡(luò)關(guān)系，相應(yīng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)如圖2．

圖2 向量與數(shù)學(xué)及物理學(xué)科的聯(lián)系

2.1.2 高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系

事實(shí)上，初等數(shù)學(xué)的許多知識(shí)是高等數(shù)學(xué)的特殊情形，而高等數(shù)學(xué)則是初等數(shù)學(xué)的進(jìn)一步延伸和一般化，它們之間在數(shù)學(xué)內(nèi)部構(gòu)成了有機(jī)整體．德國(guó)數(shù)學(xué)家F. Klein認(rèn)為，只有觀點(diǎn)高了，事物才顯得明了而簡(jiǎn)單．[21]許多初等數(shù)學(xué)現(xiàn)象的本質(zhì)只有在非初等的理論結(jié)構(gòu)內(nèi)才能被清晰地揭示．高觀點(diǎn)的數(shù)學(xué)思想對(duì)初等數(shù)學(xué)教學(xué)具有高屋建瓴的指導(dǎo)作用，教師能從更高的視角審視初等數(shù)學(xué)知識(shí)的整體架構(gòu)，有助于整體設(shè)計(jì)教學(xué)和對(duì)問(wèn)題的變式與引申．

結(jié)合圖2和中學(xué)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容可描繪出以“向量”為紐帶的高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)之間的關(guān)系脈絡(luò)，如圖3．可見(jiàn)，線性代數(shù)與空間解析幾何的許多結(jié)論特殊化后就是平面與空間向量的性質(zhì)定理，體現(xiàn)了“一般與特殊”的數(shù)學(xué)思想．為便于后面的說(shuō)明，這里給出“n維向量”的部分知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，如圖4．

圖3 向量與高等數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系

圖4 n維向量的部分知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

2.1.3 中學(xué)數(shù)學(xué)單元之間的聯(lián)系

數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部之間的聯(lián)系有助于建立中學(xué)數(shù)學(xué)各單元間的聯(lián)系．中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容涉及數(shù)學(xué)學(xué)科的許多重要分支，這些分支在初等數(shù)學(xué)的框架下構(gòu)成相互聯(lián)系的整體結(jié)構(gòu)．如代數(shù)、幾何與三角之間通過(guò)坐標(biāo)系建立起密切聯(lián)系，向量也成為溝通幾何、代數(shù)與三角函數(shù)的橋梁．其中蘊(yùn)含著數(shù)與形、類比、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等重要的數(shù)學(xué)思想．“平面向量”與中學(xué)數(shù)學(xué)其它單元的聯(lián)系如圖5．

圖5 平面向量與中學(xué)數(shù)學(xué)其它單元之間的聯(lián)系

2.1.4 單元內(nèi)部各個(gè)課時(shí)之間的聯(lián)系

數(shù)學(xué)教材每個(gè)單元內(nèi)部各個(gè)課時(shí)的內(nèi)容相互聯(lián)系構(gòu)成一個(gè)整體，是教師和學(xué)生最為熟悉的一個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)．這里整體表現(xiàn)為一個(gè)單元，部分則是具體的課時(shí)內(nèi)容．備課時(shí)教師通常以單元為整體思考知識(shí)產(chǎn)生的背景、知識(shí)點(diǎn)間的關(guān)系、分析教學(xué)目標(biāo)和重難點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上分配課時(shí)內(nèi)容并選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)．“平面向量”單元知識(shí)結(jié)構(gòu)如圖6．

圖6 平面向量單元知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

2.2 四個(gè)層次知識(shí)結(jié)構(gòu)的相互關(guān)系與功能

整體由部分構(gòu)成，部分依附于整體．要深刻理解部分，需對(duì)整體有完善的認(rèn)知；要掌握整體，則需了解部分與部分之間的有機(jī)聯(lián)系．各個(gè)課時(shí)內(nèi)容是最細(xì)微的部分，每個(gè)單元是最小的整體．單元作為部分構(gòu)成中學(xué)數(shù)學(xué)的整體知識(shí)結(jié)構(gòu)，中學(xué)數(shù)學(xué)作為部分與高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)內(nèi)部構(gòu)成有機(jī)整體，而數(shù)學(xué)學(xué)科分支與其它學(xué)科間的互動(dòng)聯(lián)系形成一個(gè)更寬廣的整體．

對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的剖析有利于理清知識(shí)的本原及相互間的聯(lián)系．就功能而言，四個(gè)層次的知識(shí)結(jié)構(gòu)都是為了服務(wù)最細(xì)微的部分——具體課時(shí)的教學(xué)．前兩個(gè)層次即數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部之間及其與相鄰學(xué)科的聯(lián)系、高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系能揭示數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的本質(zhì)問(wèn)題與其重要價(jià)值，解決了“為什么教”的困惑，也部分回答了“如何教”，能從宏觀上指導(dǎo)教師的教學(xué)．中學(xué)數(shù)學(xué)單元之間的聯(lián)系、單元內(nèi)部各個(gè)課時(shí)之間的聯(lián)系這兩個(gè)層次則是要通過(guò)教學(xué)呈現(xiàn)給學(xué)生并使之掌握的知識(shí)結(jié)構(gòu)．從表現(xiàn)形式看，后兩個(gè)層次的知識(shí)結(jié)構(gòu)能在教材中體現(xiàn)出來(lái)，可稱之為外顯的結(jié)構(gòu)．前兩個(gè)層次的知識(shí)結(jié)構(gòu)則可稱為內(nèi)隱的結(jié)構(gòu)，它無(wú)法通過(guò)教材直接獲得，需要教師對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科有整體的理解和認(rèn)識(shí)，是教師個(gè)人數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)的有力體現(xiàn)．教師對(duì)內(nèi)隱結(jié)構(gòu)的把握直接影響著對(duì)外顯結(jié)構(gòu)和具體知識(shí)的理解，進(jìn)而影響教學(xué)設(shè)計(jì)．

3 基于問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的中學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)模式

根據(jù)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)的把握和中學(xué)數(shù)學(xué)單元結(jié)構(gòu)的分析，教師只有圍繞數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)教材內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)、學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)四個(gè)方面整體理解單元內(nèi)容，才能真正實(shí)現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)單元的整體教學(xué)設(shè)計(jì)，做到以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)．強(qiáng)調(diào)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的中學(xué)數(shù)學(xué)單元教學(xué)更多地關(guān)注教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)剖析，而不僅僅是停留在教學(xué)法層面的教學(xué)組織．它或多或少可以改變?cè)诨A(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程改革中產(chǎn)生的“有時(shí)候過(guò)多地強(qiáng)調(diào)了教學(xué)法，對(duì)教學(xué)內(nèi)容有關(guān)注不夠的地方”[22]的現(xiàn)象．結(jié)合整體教學(xué)法遵循的教學(xué)步驟，可以構(gòu)建出具有學(xué)科特點(diǎn)的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)中學(xué)數(shù)學(xué)單元的整體教學(xué)設(shè)計(jì)模式，基本框架如圖7[23]．

圖7 基于問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的中學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)模式

要落實(shí)基于問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的中學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)模式，教師須從數(shù)學(xué)史與教材內(nèi)容兩方面剖析教學(xué)內(nèi)容，以整體把握數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生過(guò)程與內(nèi)在聯(lián)系、數(shù)學(xué)規(guī)律的形成與思想方法的提煉過(guò)程．進(jìn)而從教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)兩個(gè)方面組織單元內(nèi)容和實(shí)施具體課時(shí)教學(xué)，主要按以下三個(gè)步驟組織和呈現(xiàn)單元教學(xué)設(shè)計(jì)．

第一步，單元起始課的教學(xué)設(shè)計(jì)．在具體講授新課之前通過(guò)開(kāi)篇課對(duì)單元作整體性的介紹，讓學(xué)生對(duì)將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容有大致了解．這恰是美國(guó)數(shù)學(xué)教育家Ausubel所提倡的“先行組織者”教學(xué)策略，其核心是指在學(xué)生正式學(xué)習(xí)新知識(shí)前，介紹他們熟悉的、要比新知識(shí)本身具有更高的抽象、概括和綜合水平的，并且能使學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新知識(shí)相關(guān)聯(lián)的引導(dǎo)性材料，為新舊知識(shí)的連接做準(zhǔn)備．[17]因此，單元起始課主要介紹單元知識(shí)產(chǎn)生的背景、應(yīng)用與價(jià)值，它們與舊知的聯(lián)系等．目的是為新的學(xué)習(xí)內(nèi)容提供觀念上的固著點(diǎn)以促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)，也為后面具體教學(xué)的問(wèn)題情境創(chuàng)設(shè)提供預(yù)設(shè)和鋪墊．起始課也能化解學(xué)生“為什么要學(xué)”的困惑，在情感上獲得意義學(xué)習(xí)的心向．

第二步，具體課時(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)．?dāng)?shù)學(xué)本身就是由許許多多的問(wèn)題及其解決過(guò)程構(gòu)成，以“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)”的方式有利于激發(fā)學(xué)生的探索精神并獲得相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法．?dāng)?shù)學(xué)史強(qiáng)調(diào)知識(shí)產(chǎn)生的背景、關(guān)注問(wèn)題出現(xiàn)的序列及重視數(shù)學(xué)思想的形成過(guò)程，能為問(wèn)題情境創(chuàng)設(shè)提供幫助．比如“向量的數(shù)量積”不同于學(xué)生之前所掌握的乘法意義，可以結(jié)合它的物理意義來(lái)引入新課，幫助學(xué)生直觀理解．此外，從高等數(shù)學(xué)的框架下解讀初等數(shù)學(xué)知識(shí)，有助于對(duì)具體教學(xué)內(nèi)容的深刻認(rèn)識(shí)和直觀理解，有效突破重點(diǎn)和化解難點(diǎn)．

比如，“平面向量基本定理”的內(nèi)容為：“如果e1,e2是平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量,那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)的任一向量α,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2，使得α=λ1e1+λ2e2．不共線的向量e1,e2叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．”這種高度抽象和形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言使學(xué)生難以從本質(zhì)上真正理解定理．結(jié)合圖4從n維向量的知識(shí)體系看，“平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量”表明e1,e2是二維向量空間的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，即為一組基．n維向量空間的任一向量都能由它的一組基線性表出，且表示法唯一．當(dāng)n=2時(shí)就表述為“平面向量基本定理”的內(nèi)容．

顯然，基相當(dāng)于一組“代表”，起到坐標(biāo)系的作用，其它的向量由這組“代表”線性刻畫實(shí)現(xiàn)定量研究．所以，“平面向量基本定理”將平面中看似繁雜無(wú)章的向量及其相互關(guān)系變得簡(jiǎn)潔有序，化繁為簡(jiǎn)實(shí)現(xiàn)定量計(jì)算；對(duì)無(wú)窮多平面向量的研究轉(zhuǎn)為對(duì)有限部分的討論，實(shí)現(xiàn)了無(wú)限向有限的轉(zhuǎn)化．[24]這恰是定理的重要價(jià)值．在了解定理重要性的基礎(chǔ)上利用平行四邊形法則或三角形法則能使學(xué)生直觀理解向量α的“任意性”、實(shí)數(shù)λ1,λ2的“存在性”與“唯一性”及e1,e2的“不唯一性”問(wèn)題，利用“數(shù)形結(jié)合”化解教學(xué)難點(diǎn)．平面內(nèi)基底的選擇不唯一，為便于計(jì)算通常選取與平面直角坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)的一組基．這自然為下一節(jié)內(nèi)容“平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示”的教學(xué)埋下伏筆．由此可以給出“平面向量基本定理”的教學(xué)流程圖，如圖8．

圖8 “平面向量基本定理”課時(shí)教學(xué)流程

第三步，復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)．一個(gè)單元講授完畢，復(fù)習(xí)課教學(xué)的作用不可小覷．教師在引導(dǎo)學(xué)生回顧具體知識(shí)時(shí)應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)相互間的聯(lián)系和相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法，最終也形成一個(gè)與開(kāi)篇課中相似的整體知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖．但此時(shí)的圖不再是一個(gè)大致的、模糊不清的框架，而是具體的、部分間相互聯(lián)系的、有血有肉的網(wǎng)絡(luò)圖．復(fù)習(xí)課中的拓展訓(xùn)練則是為了培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力和發(fā)散思維能力，同時(shí)也為學(xué)有余力的學(xué)生提供深入學(xué)習(xí)的方向，學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地”思考．如若教師了解數(shù)學(xué)知識(shí)與其它學(xué)科、高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)及其單元知識(shí)之間的聯(lián)系，自然能基于教材對(duì)問(wèn)題進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖兪揭辏瑢?duì)綜合題的編制與拿捏也成竹在胸、游刃有余．

4 整體把握數(shù)學(xué)單元知識(shí)結(jié)構(gòu)的困難與對(duì)策

我國(guó)傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有許多亮點(diǎn)．比如，著重于對(duì)具體教學(xué)內(nèi)容的剖析，關(guān)注課堂的教學(xué)模式及強(qiáng)調(diào)對(duì)課堂組織、提問(wèn)、語(yǔ)言表達(dá)等的細(xì)致探察．但少有對(duì)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容作整體考量．這會(huì)導(dǎo)致學(xué)生獲得的知識(shí)“碎片化”，造成“只見(jiàn)樹(shù)木不見(jiàn)森林”的缺陷，以致缺乏綜合運(yùn)用知識(shí)處理問(wèn)題的能力．教師的專業(yè)知識(shí)結(jié)構(gòu)也會(huì)偏重于學(xué)科教學(xué)知識(shí)，而忽視學(xué)科內(nèi)容知識(shí)的重要性．基于問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的中學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)內(nèi)部及學(xué)科間的相互聯(lián)系，使數(shù)學(xué)知識(shí)形成緊密的整體結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生能“既見(jiàn)樹(shù)木又見(jiàn)森林”并運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題．此外，問(wèn)題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)就是結(jié)合學(xué)生的實(shí)際對(duì)教學(xué)內(nèi)容再創(chuàng)造，創(chuàng)設(shè)真實(shí)有效的問(wèn)題情境驅(qū)動(dòng)教學(xué)，注重?cái)?shù)學(xué)的本質(zhì)探求和知識(shí)的直觀解釋，有助于學(xué)生體驗(yàn)“做數(shù)學(xué)”和“發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)”過(guò)程．

“單元教學(xué)的核心思想是系統(tǒng)思維”[25]，教師需對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)及其本質(zhì)有深刻的認(rèn)識(shí)，從整體視角剖析單元內(nèi)容研究單元目標(biāo)與任務(wù)，才能實(shí)現(xiàn)以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)促成學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的整體認(rèn)知并實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)的正遷移．但要基于數(shù)學(xué)單元整體設(shè)計(jì)并創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)摹皢?wèn)題”驅(qū)動(dòng)教學(xué)，對(duì)教師也提出了很高的要求，需從宏觀到微觀四個(gè)層次對(duì)單元知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行解構(gòu)．掌握內(nèi)隱的知識(shí)結(jié)構(gòu)能更好地揭示數(shù)學(xué)知識(shí)背后的問(wèn)題起源及價(jià)值，以便更深入理解中學(xué)數(shù)學(xué)單元之間的聯(lián)系、單元內(nèi)部各個(gè)課時(shí)之間的聯(lián)系這兩個(gè)外顯的知識(shí)結(jié)構(gòu)．而要整體理解和把握數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部之間及其與相鄰學(xué)科的聯(lián)系、高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系這兩個(gè)內(nèi)隱的宏觀知識(shí)結(jié)構(gòu)，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教師來(lái)說(shuō)有一定的困難和挑戰(zhàn)．這需要教師具備較豐富的數(shù)學(xué)史知識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的整體架構(gòu)包括高等數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)科分支有一定的了解．在把握數(shù)學(xué)單元知識(shí)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，教師還應(yīng)具有將數(shù)學(xué)史中知識(shí)的原始形態(tài)和數(shù)學(xué)教材中知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生容易接受的教育形態(tài)的能力，才能創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題與情境驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)．為突破對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)單元知識(shí)結(jié)構(gòu)四個(gè)層面的理解困難，更準(zhǔn)確地整體把握數(shù)學(xué)單元內(nèi)容及其教育形態(tài)進(jìn)行有效的教學(xué)設(shè)計(jì)，教師可從以下四個(gè)方面加強(qiáng)思考．

第一，掌握一定程度的數(shù)學(xué)學(xué)科整體結(jié)構(gòu)以及一定量的數(shù)學(xué)史知識(shí)和高等數(shù)學(xué)知識(shí)．教師所需的與學(xué)生所要掌握的整體知識(shí)結(jié)構(gòu)不完全相同．正如F. Klein所言，教師掌握的知識(shí)要比他所教的多得多，才能引導(dǎo)學(xué)生繞過(guò)懸?guī)r，渡過(guò)險(xiǎn)灘．[18]數(shù)學(xué)教師既要掌握外顯的知識(shí)結(jié)構(gòu)，更要具備前兩個(gè)宏觀的內(nèi)隱知識(shí)結(jié)構(gòu)，才能從更高的視角直觀理解教學(xué)內(nèi)容和把握數(shù)學(xué)的思想方法．倘若教師也僅囿于對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)單元之間的聯(lián)系與單元內(nèi)部各個(gè)課時(shí)之間的聯(lián)系這兩個(gè)層次知識(shí)結(jié)構(gòu)的思考，教學(xué)就很難揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)．?dāng)?shù)學(xué)史知識(shí)和高等數(shù)學(xué)觀念有助于教師了解數(shù)學(xué)的整體架構(gòu)和揭示本質(zhì)，深刻理解教學(xué)內(nèi)容的地位、作用和價(jià)值．第二，整體把握中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容與目標(biāo)．教師要熟悉不同學(xué)段數(shù)學(xué)教科書的內(nèi)容分布，從課程標(biāo)準(zhǔn)的總體目標(biāo)確定具體課時(shí)目標(biāo)．并要思考如何通過(guò)短期的課時(shí)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)遠(yuǎn)的課程目標(biāo)，以真正發(fā)展和養(yǎng)成學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．第三，恰當(dāng)把握學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)．新知在舊知的基礎(chǔ)上生成，并將成為后面新知的鋪墊．只有了解學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)才能判斷創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題與情境是否有效以及“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程是否恰當(dāng)，才能實(shí)現(xiàn)有效乃至高效教學(xué)．第四，恰當(dāng)使用教材．教材的編寫立足于中國(guó)全部地區(qū)全體學(xué)生的共同需要，考慮學(xué)生和教學(xué)環(huán)境的共性．而教師面對(duì)的是不同地區(qū)不同學(xué)生的情況，更要重視其特性．所以，對(duì)于教材的使用應(yīng)堅(jiān)持“‘用好教材’，而不是‘按教材去教’”[26]的原則，結(jié)合學(xué)生實(shí)際“再創(chuàng)造”教材，對(duì)教學(xué)內(nèi)容問(wèn)題化，以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)．