彭月，蘇芷玄，楊杰，姜橋

(1.江西理工大學(xué) 永磁磁浮技術(shù)與軌道交通研究院，江西 贛州 341000；2.江西省磁懸浮技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 贛州 341000；3.中鐵高新工業(yè)股份有限公司，北京 100000)

目前，發(fā)展磁浮交通行業(yè)不僅能夠促進(jìn)交通技術(shù)進(jìn)步、優(yōu)化交通結(jié)構(gòu)、解決城市交通運(yùn)輸?shù)膯栴}，還對(duì)我國(guó)現(xiàn)代化進(jìn)程產(chǎn)生巨大的推動(dòng)作用[1]。磁懸浮列車可以簡(jiǎn)要分為電磁懸浮[2]、電動(dòng)懸浮[3]、釘扎懸浮[4]和永磁懸浮[5]四大類。其中常導(dǎo)電磁懸浮(EMS)以德國(guó)TR系列和日本的HSST[6]為代表。而國(guó)內(nèi)對(duì)于磁懸浮技術(shù)的相關(guān)研究起步較晚，但發(fā)展迅速，2016年長(zhǎng)沙磁浮快線正式通車[7]，2017年北京S1磁浮專線[8]也已正式運(yùn)營(yíng)。2019年，時(shí)速600 km的高速磁浮實(shí)驗(yàn)樣車在青島順利下線[9]，體現(xiàn)了中國(guó)磁懸浮技術(shù)的不斷發(fā)展與進(jìn)步。通過(guò)結(jié)合電磁與永磁的混合懸浮方式，能夠發(fā)揮永磁體材料的懸浮性能優(yōu)勢(shì)來(lái)解決電磁懸浮存在的懸浮能耗大和運(yùn)行成本高等缺點(diǎn)。國(guó)外早在1989年，MORISHITA等[10]就證明了引入永磁結(jié)構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)懸浮零耗能的可行性，而永磁體的引入也增加了系統(tǒng)的控制難度，對(duì)于混合懸浮的控制方法上的研究變得尤為重要[11]。就單點(diǎn)電磁懸浮結(jié)構(gòu)而言，國(guó)內(nèi)外研究者已經(jīng)對(duì)其構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了算法仿真驗(yàn)證和研究，得出了多種不同的控制策略：KUO等[12]在傳統(tǒng)滑模模糊控制基礎(chǔ)上針對(duì)該模型設(shè)計(jì)了一種新型控制策略；鄭安榮[13]設(shè)計(jì)了一套復(fù)合自抗擾控制器用于改善非線性系統(tǒng)的控制性能；SHAO等[14]設(shè)計(jì)了指數(shù)趨近律滑?？刂破鳎沟每刂葡到y(tǒng)具備良好的跟蹤性能；龍?chǎng)瘟值萚15]引入電磁阻尼器，用于非線性反饋控制方法，避免了混合懸浮系統(tǒng)出現(xiàn)磁軌撞擊等風(fēng)險(xiǎn)；陳樹文[16]提出一種新型滑?？刂期吔蓪?duì)混合系統(tǒng)進(jìn)行控制仿真實(shí)驗(yàn)，證明了該算法具有收斂速度快、無(wú)電流抖振的優(yōu)點(diǎn)。粒子群優(yōu)化算法自提出以來(lái)經(jīng)歷了許多的變化和改進(jìn)，國(guó)內(nèi)外在關(guān)于優(yōu)化BP-PID算法并應(yīng)用在非線性的復(fù)雜系統(tǒng)上也有不少研究：CLERC等[17]對(duì)PSO的粒子迭代公式進(jìn)行了分析，得出獨(dú)立粒子的收斂條件；TRELEA[18]對(duì)PSO算法的粒子動(dòng)態(tài)表現(xiàn)和收斂條件進(jìn)行了分析，并提供了相關(guān)參數(shù)的設(shè)置知道規(guī)則；JIAO等[19]提出了一種動(dòng)態(tài)變化的權(quán)重調(diào)節(jié)方法；歐青立等[20]利用粒子群算法對(duì)BP-PID算法進(jìn)行優(yōu)化后應(yīng)用于注塑機(jī)液壓系統(tǒng)的控制，可以有效提高該系統(tǒng)的控制精度和響應(yīng)速度；李強(qiáng)等[21]提出基于粒子群算法優(yōu)化BP-PID控制的碾米機(jī)組控制系統(tǒng)，試驗(yàn)表明經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的控制系統(tǒng)響應(yīng)速度更快，穩(wěn)態(tài)精度有所提高；龔事引等 采用粒子群算法對(duì)模糊控制器量化因子優(yōu)化并在電磁懸浮球系統(tǒng)進(jìn)行控制研究，驗(yàn)證該算法有效提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度。本文以江西理工大學(xué)自主研發(fā)的新型永磁磁浮軌道交通系統(tǒng)——“紅軌”[23?25]為背景，研究一種融合PSO與BP-PID的混合型控制算法，該算法利用PSO算法優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值問題，來(lái)提升算法的收斂速度和精度，填補(bǔ)了傳統(tǒng)PID算法響應(yīng)速度慢以及BP-PID算法收斂速度慢、易陷入局部極值的不足。單點(diǎn)混合懸浮球系統(tǒng)作為混合懸浮列車?yán)硐牖蟮暮?jiǎn)化模型，對(duì)其模型的控制算法的研究可作為磁懸浮列車應(yīng)用的理論基礎(chǔ)，且對(duì)于混合磁懸浮技術(shù)的學(xué)術(shù)研究及工程應(yīng)用提供一定的參考和借鑒意義。

1 單點(diǎn)混合懸浮球系統(tǒng)數(shù)學(xué)建模

磁懸浮球系統(tǒng)作為研究磁懸浮技術(shù)的一種典型單自由度系統(tǒng)，只需要對(duì)通入電磁鐵的電流施加控制即可實(shí)現(xiàn)磁懸浮球的穩(wěn)定懸浮。該系統(tǒng)借助永磁體的靜磁力來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)懸浮球自身重力的平衡，而電磁系統(tǒng)對(duì)懸浮球施加的電磁力發(fā)揮懸浮穩(wěn)定性的調(diào)節(jié)作用。

在構(gòu)建該混合系統(tǒng)的被控模型時(shí)，做出了如下的假設(shè)：

1)不考慮漏磁通，磁通全部通過(guò)懸浮球；

2)懸浮球與電磁鐵芯材料的磁導(dǎo)率為無(wú)窮大，系統(tǒng)的磁場(chǎng)勢(shì)能均勻的分布在系統(tǒng)的懸浮間隙和永磁體上，即忽略邊緣效應(yīng)；

3)懸浮球受力分析時(shí)忽略其他的干擾力。

圖2所示物理模型的各符號(hào)參數(shù)定義如下：電磁鐵中的線圈匝數(shù)為N，線圈電壓為u(t)，電流為i(t)，鐵芯半徑為r；永磁體的厚度為hpm，半徑為rpm，矯頑力為Hc，磁導(dǎo)率為μ；懸浮間隙為x(t)，懸浮球質(zhì)量為m，重力加速度為g；且可得鐵芯的截面積為Spm，永磁體的截面積為S。在上述假設(shè)條件下，可得懸浮球的動(dòng)力學(xué)方程為：

圖2 混合磁懸浮球系統(tǒng)模型Fig.2 Hybrid magnetic levitation ball system

式中：x(t)為懸浮間隙，以磁極面為零點(diǎn)；F(i,x)為電磁吸力；fd(t)為小球所受干擾力。

圖3混合懸浮球系統(tǒng)的等效磁路模型中，各符號(hào)所代表的含義如下：

圖3 混合磁懸浮球系統(tǒng)的磁路模型Fig.3 Magnetic circuit model of hybrid magnetic levitation ball system

氣隙磁阻為Rc=2x(t)μ0S，鐵芯磁阻為Rl=L/μS，永磁體磁阻為Rpm=hpm/μ0μrSpm，電磁鐵的磁動(dòng)勢(shì)為u=Ni(t)，永磁體的磁動(dòng)勢(shì)為upm=Hchpm。其中，μ0為空氣的磁導(dǎo)率，μr為永磁體的相對(duì)磁導(dǎo)率，μ為鐵芯的磁導(dǎo)率。

由系統(tǒng)的等效磁路模型，可根據(jù)磁路的基爾霍夫定律列出該模型的數(shù)學(xué)公式如下：

懸浮球受到的電磁吸力由電磁鐵與永磁體共同作用而產(chǎn)生的合力，在t時(shí)刻，瞬時(shí)電磁吸力的合力F(i,x)為：

對(duì)于電磁鐵來(lái)說(shuō)，由基爾霍夫電路定律可以得出電磁鐵繞組的電壓方程：

式中，Li是懸浮氣隙為x(t)時(shí)刻的線圈電感。

根據(jù)上述的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，可以得到混合磁懸浮球系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型如下所示：

當(dāng)系統(tǒng)處于平衡點(diǎn)處時(shí)，則設(shè)平衡時(shí)的電流與懸浮氣隙為(i0,x0)，那系統(tǒng)的邊界條件為：

那么原混合磁懸浮球的動(dòng)態(tài)模型經(jīng)過(guò)線性化處理后，可表示為：

而kx則是懸浮氣隙項(xiàng)系數(shù)為：

取(Δx,Δx?,Δi)T作為狀態(tài)變量，電磁鐵兩端電壓作為輸入變量，可將上述方程轉(zhuǎn)換為如下狀態(tài)空間方程組：

由狀態(tài)空間方程可得系統(tǒng)的特征方程為：

特征方程中的系數(shù)出現(xiàn)了負(fù)值，根據(jù)勞斯判據(jù)可以判定該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。進(jìn)一步分析可得系統(tǒng)的能控陣M和能觀陣N：

能控陣M和能觀陣N的秩均為滿秩，故系統(tǒng)本身是可控可觀的，因而可以通過(guò)狀態(tài)反饋控制使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定。

表1 混合磁懸浮球的物理參數(shù)Table 1 Physical parameters of hybrid magnetic levitation ball

以電壓作為輸入變量，利用拉普拉斯變化可求得上述狀態(tài)空間方程轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式：

圖片數(shù)據(jù)包pic_package封裝后先存放在PC內(nèi)存中,利用驅(qū)動(dòng)程序在系統(tǒng)內(nèi)存開辟兩個(gè)DMA緩沖區(qū)(上位機(jī)與硬件板卡直接通信的數(shù)據(jù)交互區(qū))pdata_buf1和pdata_buf2。

而由ki，kx，L0表達(dá)式可知有k2i=kx L0關(guān)系，而在一般的情況下，考慮Rm≥L0，那么傳遞函數(shù)模型可近似表示為：

綜上可得，混合磁懸浮球模型經(jīng)過(guò)線性化處理后可近似為一個(gè)2階系統(tǒng)。

將物理模型參數(shù)代入到傳遞函數(shù)模型中，可得：

2 PSO-BP-PID算法設(shè)計(jì)

2.1 PSO算法

PSO的原理是通過(guò)初始化一群沒有質(zhì)量與體積的粒子，并視每個(gè)粒子為優(yōu)化問題類型的一個(gè)可行解，借助設(shè)定的適應(yīng)度函數(shù)來(lái)評(píng)判粒子的好壞[23]。每個(gè)粒子設(shè)定一個(gè)速度變量，來(lái)決定粒子在可行解空間中運(yùn)動(dòng)的方向與位置，且每經(jīng)過(guò)一次迭代，比較出粒子群中粒子個(gè)體的極值與群體極值，并經(jīng)過(guò)不斷的迭代，最終得到問題的最優(yōu)解。粒子在可行解空間中的狀態(tài)屬性設(shè)置如下：

假設(shè)在一個(gè)D維的搜索空間中，存在由M個(gè)粒子組成的粒子群體以一定的速度進(jìn)行飛行，那么在t時(shí)刻，粒子群中的粒子i的狀態(tài)屬性設(shè)置如下。

Ud分別為搜索空間的下限和上限；

vmin，vmax分別為最小和最大速度；

且1≤d≤D，1≤i≤M。

那么粒子在t+1時(shí)刻的速度和位置可以通過(guò)下式進(jìn)行更新得到：

式中：r1和r2為均勻分布在(0,1)區(qū)間的隨機(jī)數(shù)；c1和c2為學(xué)習(xí)因子；ω為權(quán)重系數(shù)。

2.2 BP-PID算法結(jié)構(gòu)

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為一種使用廣泛的反饋網(wǎng)絡(luò)[26]，主要分為3層結(jié)構(gòu)：輸入層、隱含層和輸出層。BP-PID算法的基本思想是令輸出層的3個(gè)神經(jīng)元對(duì)應(yīng)于PID結(jié)構(gòu)中的比例、積分和微分3個(gè)參數(shù)，借助神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自學(xué)習(xí)能力，通過(guò)調(diào)整層與層之間的權(quán)重系數(shù)來(lái)控制PID系數(shù)輸出。其中BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.4 BP neural network structure

輸出層節(jié)點(diǎn)數(shù)目是由PID的控制變量參數(shù)設(shè)置為3個(gè)，分別對(duì)應(yīng)PID的3個(gè)控制變量。

PID的控制算法采用的是增量式數(shù)字PID：

式中：k為采樣次數(shù)，Kp，Ki和Kd分別是比例系數(shù)、積分系數(shù)和微分系數(shù)。

2.3 PSO-BP-PID算法設(shè)計(jì)

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)雖然具備自學(xué)能力，能夠通過(guò)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練來(lái)尋找到PID參數(shù)，但是容易受到初始權(quán)值矩陣的影響，造成網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練收斂速度慢，容易陷入局部最值的缺陷。而粒子群尋優(yōu)算法則具備能夠找到全局最優(yōu)和收斂速度快的特點(diǎn)，通過(guò)將BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID算法借助粒子群算法進(jìn)行優(yōu)化，那么可以彌補(bǔ)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的固有缺陷[27]。

算法流程如圖5所示。

圖5 粒子群優(yōu)化BPPID算法流程Fig.5 Particle swarm optimization BPPID algorithm flow chart

3 系統(tǒng)仿真結(jié)果分析

根據(jù)上述得出的被控函數(shù)模型，在MATLAB上利用M函數(shù)進(jìn)行仿真分析，由于該系統(tǒng)是一個(gè)非線性的復(fù)雜控制對(duì)象，將上述得出的被控對(duì)象模型進(jìn)行狀態(tài)負(fù)反饋校正處理后放入至PSO-BPPID算法的M函數(shù)中進(jìn)行離散化。并與傳統(tǒng)的PID及BP-PID控制效果進(jìn)行對(duì)比。算法控制器中的采樣時(shí)間設(shè)置為0.01 s，系統(tǒng)的設(shè)定懸浮間隙為15 mm；傳統(tǒng)PID控制器的3個(gè)參數(shù)的值選取為Kp=0.027，Ki=0.32，Kd=0.003 439。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID算法的學(xué)習(xí)率設(shè)定為0.5，慣性系數(shù)設(shè)定為0.03。

圖6為經(jīng)過(guò)50次迭代的PSO算法優(yōu)化后的極值適應(yīng)度變化曲線。

圖6 粒子群適應(yīng)度曲線Fig.6 Particle swarm fitness curve

經(jīng)過(guò)粒子群優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID算法的3個(gè)參數(shù)Kp，Ki和Kd的整定變化如圖7所示。

圖7 PSO-BP-PID的控制參數(shù)整定Fig.7 PSO-BP-PID control parameter tuning

從PID的3個(gè)參數(shù)的整定變化曲線中可以看出，經(jīng)過(guò)粒子群優(yōu)化后的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠使得控制參數(shù)快速穩(wěn)定。其中，在1 s時(shí)刻模擬系統(tǒng)可能出現(xiàn)的間隙擾動(dòng)引入脈沖信號(hào)，算法的控制參數(shù)在出現(xiàn)短暫的突變后便恢復(fù)到穩(wěn)定狀態(tài)，表現(xiàn)出PSO-BP-PID算法較好的動(dòng)態(tài)自調(diào)整能力。

依據(jù)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)的懸浮間隙為15 mm，在以幅值為15的階躍信號(hào)作為控制器的位置給定下，各算法控制的響應(yīng)曲線的結(jié)果如圖8所示。

從圖8可以看出，在超調(diào)量分析上，傳統(tǒng)的PID控制器超調(diào)量約7.63%，BP-PID控制器的超調(diào)量為0.87%，PSO-BP-PID控制器的超調(diào)量為2.28%；在響應(yīng)時(shí)間上，可以看出，PSO-BP-PID響應(yīng)速度最快，而BP-PID的響應(yīng)時(shí)間長(zhǎng)于傳統(tǒng)PID控制器。在預(yù)設(shè)擾動(dòng)作用下，傳統(tǒng)PID控制器出現(xiàn)了3.63%的超調(diào)值，而PSO-BP-PID和BP-PID均未出現(xiàn)超調(diào)量，且PSO-BP-PID控制下恢復(fù)穩(wěn)定時(shí)間比BP-PID算法要快。綜合而言，PSO-BP-PID算法在動(dòng)態(tài)性能上表現(xiàn)出了較好的控制效果，具備快速響應(yīng)與良好的抗擾能力。

圖8 不同控制器下的位置響應(yīng)Fig.8 Position response under different controllers

為了驗(yàn)證PSO-BP-PID控制器算法的優(yōu)越性，設(shè)計(jì)如下的仿真實(shí)驗(yàn)：1)控制信號(hào)擾動(dòng)。在1 s和1.5 s時(shí)刻分別施加1 mm和2.5 mm的信號(hào)脈沖擾動(dòng)，比較分析不同算法的抗擾動(dòng)能力；2)間隙擾動(dòng)。在1 s開始施加幅值為0.5 mm的非線性間隙擾動(dòng)，觀察控制器信號(hào)的跟蹤性能；3)負(fù)載擾動(dòng)。在1.5 s和2.5 s時(shí)施加0.5 s的方波信號(hào)模擬負(fù)載變化時(shí)間隙出現(xiàn)的變化，分析比較不同控制器在負(fù)載變化時(shí)的控制性能。

1)信號(hào)擾動(dòng)實(shí)驗(yàn)

對(duì)比圖9中控制器的響應(yīng)曲線，PSO-BP-PID仿真結(jié)果的響應(yīng)速度明顯優(yōu)于BP-PID和傳統(tǒng)PID，該算法從出現(xiàn)擾動(dòng)到恢復(fù)到穩(wěn)定的調(diào)節(jié)時(shí)間也少于其他控制器。分析可知，PSO-BP-PID在抗擾動(dòng)能力上優(yōu)于BP-PID和PID算法。

圖9 不同控制器下的信號(hào)擾動(dòng)響應(yīng)Fig.9 Signal disturbance response under different controllers

2)間隙擾動(dòng)實(shí)驗(yàn)

圖10的仿真結(jié)果表明，在1 s時(shí)開始施加非線性擾動(dòng)時(shí)，3種控制器均能夠跟蹤信號(hào)，但相比之下PSO-BP-PID算法可以更快速地跟蹤到信號(hào)，BP-PID的跟蹤性能也優(yōu)于PID算法，但其跟蹤信號(hào)的幅值小于信號(hào)幅值，說(shuō)明準(zhǔn)確性有所降低。經(jīng)過(guò)PSO優(yōu)化的BP-PID控制器的跟蹤性能相比其他2種更快更準(zhǔn)確。

圖1 江西理工大學(xué)自主研發(fā)的永磁懸浮軌道交通系統(tǒng)“紅軌”Fig.1“Red Rail”permanent magnet suspension rail transit system developed by Jiangxi University of Science and Technology

圖10 不同控制器下的間隙擾動(dòng)響應(yīng)Fig.10 Gap disturbance response under different controllers

3)負(fù)載擾動(dòng)實(shí)驗(yàn)

在該實(shí)驗(yàn)下，當(dāng)位置信號(hào)出現(xiàn)瞬時(shí)跳變時(shí)，各控制器均能夠做出相應(yīng)的信號(hào)調(diào)整。當(dāng)間隙減小到10 mm時(shí)，PSO-BP-PID算法控制器的響應(yīng)速度最快，且調(diào)節(jié)時(shí)間也最短，而相比PID算法在信號(hào)瞬變時(shí)出現(xiàn)了較大的超調(diào)量，PSO-BP-PID的超調(diào)量較小。而當(dāng)間隙信號(hào)增大到20 mm時(shí)，PSOBP-PID的各項(xiàng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)也優(yōu)于其他算法控制。通過(guò)對(duì)比分析可知，在負(fù)載出現(xiàn)擾動(dòng)而導(dǎo)致間隙出現(xiàn)變化時(shí)，PSO-BP-PID控制器在不同懸浮間隙下都穩(wěn)定的跟蹤信號(hào)，各項(xiàng)的性能指標(biāo)也優(yōu)于其他控制器。

圖11 不同控制器的負(fù)載擾動(dòng)響應(yīng)Fig.11 Load disturbance response of different controllers

4 結(jié)論

1)在控制算法上，通過(guò)引入PSO算法對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行優(yōu)化，加快了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)參數(shù)的尋優(yōu)速率。

2)相比傳統(tǒng)PID，PSO-BP-PID在保持較快響應(yīng)速度的同時(shí)；其超調(diào)量減少了約70%；在抗擾動(dòng)性能中，該算法在動(dòng)態(tài)性能上依然具備良好的收斂速率，具備較為明顯的控制優(yōu)勢(shì)。

3)本文所提控制方法對(duì)于磁懸浮軌道交通領(lǐng)域的控制性能提升和節(jié)能降耗具有很好的學(xué)術(shù)意義，也為磁懸浮技術(shù)的工程化推廣應(yīng)用提供了很好的基礎(chǔ)算法支撐作用。