于 曉 劉 慧 林毓秀 張彩明

1(山東財(cái)經(jīng)大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 濟(jì)南 250014) 2(山東省數(shù)字媒體技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(山東財(cái)經(jīng)大學(xué)) 濟(jì)南 250014) 3(山東大學(xué)軟件學(xué)院 濟(jì)南 250014)

聚類是數(shù)據(jù)挖掘中的一項(xiàng)重要任務(wù)，將相似的點(diǎn)劃分到同一簇中，相異點(diǎn)劃分到不同簇中.聚類在信息檢索[1]、醫(yī)療診斷[2]、社交網(wǎng)絡(luò)分析[3]、圖像分割[4]等領(lǐng)域都發(fā)揮著重要作用.傳統(tǒng)的單視圖聚類算法已遇到瓶頸，在過去的幾年中，多視圖聚類成為前沿研究.

多視圖聚類利用多視圖數(shù)據(jù)中的信息來進(jìn)行聚類.多視圖數(shù)據(jù)從多個(gè)角度來描述同一事物，隨著技術(shù)的進(jìn)步，近年來這類數(shù)據(jù)日益增多.例如，可以同時(shí)使用多個(gè)設(shè)備對(duì)同一事物進(jìn)行拍攝，得到的多個(gè)圖像屬于多視圖數(shù)據(jù).再者，同一張圖像可以使用不同的特征來表示，多種特征形成的數(shù)據(jù)即為多視圖數(shù)據(jù).通過使用多視圖數(shù)據(jù)，多視圖聚類能夠利用不同視圖之間的互補(bǔ)信息，從而可能提高聚類的效果.

迄今為止，研究人員已提出大量的多視圖聚類算法，大致包括基于多核學(xué)習(xí)的算法[5-7]、基于矩陣分解的算法[8]、基于圖學(xué)習(xí)的算法[9-10]、基于譜聚類的算法等.其中，基于譜聚類的多視圖聚類算法也可稱為多視圖譜聚類算法，該類算法將譜聚類的思想應(yīng)用到了多視圖數(shù)據(jù)的聚類中，通?？梢苑譃?類:第1類是為所有視圖的數(shù)據(jù)生成一個(gè)一致的相似度矩陣，然后利用譜聚類算法得到聚類結(jié)果.有些算法[11-13]直接從原始數(shù)據(jù)中為所有視圖學(xué)習(xí)統(tǒng)一的相似度矩陣，還有一些算法利用核函數(shù)[14]或k近鄰圖[15-16]等方式先為每個(gè)視圖構(gòu)造相應(yīng)的初始相似度矩陣，然后從中學(xué)習(xí)一致性相似度矩陣.第2類是為各個(gè)視圖的數(shù)據(jù)生成相應(yīng)的相似度矩陣，再利用各視圖的相似度矩陣生成一致的拉普拉斯矩陣[17]，從拉普拉斯矩陣中生成劃分矩陣，使用k均值聚類算法得到聚類結(jié)果.第3類是為每個(gè)視圖構(gòu)造好相似度矩陣后，直接利用譜聚類的思想，為所有視圖學(xué)習(xí)統(tǒng)一的劃分矩陣[18]，然后使用k均值算法進(jìn)行聚類.第4類是基于協(xié)同訓(xùn)練的思想[19]，利用視圖間的互補(bǔ)信息進(jìn)行聚類.盡管該領(lǐng)域已有大量研究成果，但仍然存在不少挑戰(zhàn).首先，原始數(shù)據(jù)通常包含冗余信息和噪聲，很多算法忽略了這一問題.其次，在聚類過程中，每個(gè)視圖扮演的角色是不同的，不少算法將各個(gè)視圖同等對(duì)待.為了解決這些問題，本文提出了一種基于Markov鏈的多視圖譜聚類算法——一致性引導(dǎo)的自適應(yīng)加權(quán)多視圖聚類(consensus guided auto-weighted multi-view clustering, CAMC)，主要思想如圖1所示.由圖1可知，該算法首先為原始數(shù)據(jù)的各個(gè)視圖構(gòu)建轉(zhuǎn)移概率矩陣，然后為所有視圖學(xué)習(xí)一致性轉(zhuǎn)移概率矩陣，最后執(zhí)行譜聚類算法.目標(biāo)是為各視圖學(xué)習(xí)不同權(quán)重，并得到所有視圖的一致性鄰接矩陣.

Fig. 1 The framework of CAMC圖1 CAMC的整體框架

本文的主要貢獻(xiàn)有3個(gè)方面:

1) 為每個(gè)視圖構(gòu)造一個(gè)轉(zhuǎn)移概率矩陣，以減小原始數(shù)據(jù)中的冗余信息和噪聲對(duì)聚類性能的影響.

2) 以自適應(yīng)加權(quán)的方式獲得一致性轉(zhuǎn)移概率矩陣，并對(duì)一致性轉(zhuǎn)移概率矩陣的拉普拉斯矩陣進(jìn)行秩約束，以確保拉普拉斯圖中連通分量的數(shù)目與聚類的數(shù)目完全相等.

3) 在人造數(shù)據(jù)集上證明了CAMC是有效的；在7個(gè)真實(shí)數(shù)據(jù)集上的大量實(shí)驗(yàn)表明，CAMC算法在聚類性能方面優(yōu)于其他單視圖和多視圖聚類基準(zhǔn)算法.

1 相關(guān)工作

為了更加方便地介紹后面的內(nèi)容，本文在表1中對(duì)文中的符號(hào)進(jìn)行了說明.由于本文提出的算法屬于基于Markov鏈的譜聚類算法，故在本節(jié)對(duì)該類算法的相關(guān)工作進(jìn)行介紹.

Table 1 The Meaning of Notations表1 符號(hào)及含義

目前，已有研究[20-21]在聚類和Markov鏈之間建立了聯(lián)系.給定n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的單視圖數(shù)據(jù)矩陣X∈d×n，X的相似度矩陣用S表示.計(jì)算S的一種常見方式是其中，i,j∈(1,n)，xi,xj分別表示第i、第j個(gè)向量，σ是標(biāo)準(zhǔn)差.之后構(gòu)建圖G=(V,EG,S)，其中V是頂點(diǎn)集，EG是邊集，S用來表示邊的權(quán)值.轉(zhuǎn)移概率矩陣定義為P=D-1S，其中D為對(duì)角矩陣，從Markov鏈的角度來看，pij是從節(jié)點(diǎn)Nodei一步到達(dá)節(jié)點(diǎn)Nodej的隨機(jī)行走概率，圖G存在平穩(wěn)分布π，其中譜聚類就是對(duì)圖G進(jìn)行劃分，使Markov隨機(jī)行走盡量在同一簇內(nèi)進(jìn)行.關(guān)于基于Markov鏈聚類的詳細(xì)信息，請(qǐng)參考文獻(xiàn)[20-21].

在基于Markov鏈的多視圖聚類研究方面，Xia等人[22]提出了魯棒多視圖譜聚類法(robust multi-view spectral clustering, RMSC).RMSC通過低秩和稀疏分解從所有視圖的數(shù)據(jù)中恢復(fù)了潛在的轉(zhuǎn)移概率矩陣，并將其作為相似度矩陣，使用譜聚類得到最終的結(jié)果.RMSC的目標(biāo)函數(shù)為:

(1)

其中，P(v)表示第v個(gè)視圖構(gòu)造的轉(zhuǎn)移概率矩陣，P*是學(xué)到的轉(zhuǎn)移概率矩陣，E(v)是第v個(gè)視圖中學(xué)到的轉(zhuǎn)移概率矩陣和構(gòu)造矩陣之間的誤差.

Wu等人[23]提出了多視圖譜聚類的本質(zhì)張量學(xué)習(xí)法(essential tensor learning for multi-view spectral clustering, ETLMSC).ETLMSC將各個(gè)視圖得到的轉(zhuǎn)移概率矩陣疊成張量，對(duì)張量施加核范數(shù)的約束，確保張量的低秩性質(zhì)，并對(duì)張量進(jìn)行旋轉(zhuǎn)來探索不同視圖之間的關(guān)系.ETLMSC的目標(biāo)函數(shù)為:

(2)

盡管這些方法取得了不錯(cuò)的結(jié)果，但仍有很多方面需要改進(jìn).從式(1)中可以得知，RMSC將各視圖平等對(duì)待，忽視了視圖所起作用的多樣性.ETLMSC使用張量來探索各視圖之間的關(guān)系，但是當(dāng)計(jì)算最終的相似度矩陣時(shí)，直接將張量切片進(jìn)行平均，忽略了各視圖之間的差異.由于我們提出的算法CAMC更為接近RMSC，故在實(shí)驗(yàn)部分使用RMSC與CAMC進(jìn)行對(duì)比.

2 一致性引導(dǎo)的自適應(yīng)加權(quán)多視圖聚類

2.1 算法思想

基于Markov鏈的譜聚類算法很關(guān)鍵的一個(gè)環(huán)節(jié)是獲得最終轉(zhuǎn)移概率矩陣.本文使用文獻(xiàn)[24]中的算法為每個(gè)視圖學(xué)習(xí)相應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率矩陣，在RMSC的啟發(fā)下，利用核范數(shù)確保學(xué)到的一致性轉(zhuǎn)移概率矩陣P*是低秩的.該方案的表達(dá)式為:

(3)

其中,i,j∈(1,n).但是，這種方式忽略了各視圖之間的差異性，故為每個(gè)視圖分配了權(quán)重，即

(4)

其中，w(v)是第v個(gè)視圖的權(quán)值.

受到自動(dòng)分配權(quán)值策略[9,25]的啟發(fā)，本文提出了一種自適應(yīng)加權(quán)的策略來學(xué)習(xí)一致性的轉(zhuǎn)移概率矩陣.令w(v)為

(5)

則式(4)等價(jià)于

(6)

式(6)所學(xué)到的轉(zhuǎn)移概率矩陣中相連部分的數(shù)量是不確定的.假設(shè)簇的數(shù)量是c，為了使P*恰好有c個(gè)相連部分，對(duì)P*的拉普拉斯矩陣的秩進(jìn)行約束.目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式設(shè)計(jì)為:

(7)

其中，LP*表示P*的拉普拉斯矩陣.

(8)

如圖1所示，CAMC先為原始數(shù)據(jù)的各個(gè)視圖構(gòu)建轉(zhuǎn)移概率矩陣；然后，利用式(8)為全部視圖學(xué)習(xí)一致性轉(zhuǎn)移概率矩陣；最后，將其作為輸入執(zhí)行譜聚類算法，得到聚類結(jié)果.所學(xué)的一致性轉(zhuǎn)移概率矩陣如圖2所示，同一簇內(nèi)的點(diǎn)之間存在轉(zhuǎn)移概率，不同簇之間轉(zhuǎn)移概率值為0，一致性轉(zhuǎn)移概率矩陣的秩等于簇的數(shù)目.

Fig. 2 An example of the consensus transition probability matrix P*圖2 對(duì)一致性轉(zhuǎn)移概率矩陣P*的示例

2.2 優(yōu) 化

CAMC的目標(biāo)函數(shù)為式(8)，其等價(jià)于

(9)

其中，w(v)的值見式(5).

為了求解式(9)，本文采用交替方向乘子法(alternating direction method of multiplier, ADMM)[27]設(shè)計(jì)優(yōu)化策略.將矩陣變量Q作為輔助變量來替代核范數(shù)中的P*.式(9)可轉(zhuǎn)化為:

(10)

式(10)的求解可以轉(zhuǎn)換為求解5個(gè)子問題.

1) 求解w(v)，將其他變量固定，w(v)的值見式(5).

2) 求解P*，固定其他變量，關(guān)于P*的目標(biāo)函數(shù)變?yōu)?/p>

(11)

其中，Y是拉格朗日乘子，μ是懲罰項(xiàng)參數(shù).對(duì)于不同的i，該問題是獨(dú)立的，故而有

(12)

(13)

式(13)可以通過投影算法[28]求解.

3) 求解F，固定w(v)，Q,P*時(shí),F的值可以通過求解問題得出:

(14)

找出LP*的c個(gè)最小特征值，對(duì)應(yīng)特征向量為F的解.

4) 求解Q，當(dāng)w(v),P*,F固定不變時(shí)，式(9)變?yōu)?/p>

(15)

式(15)等價(jià)于

(16)

式(16)可通過奇異值閾值法[29]進(jìn)行求解.

5) 更新乘子Y和懲罰項(xiàng)參數(shù)μ:

(17)

上述5個(gè)子問題是求解目標(biāo)函數(shù)式(9)的核心內(nèi)容.CAMC的算法流程如算法1所示:

算法1.CAMC.

輸入:多視圖數(shù)據(jù)集X，超參λ1和λ2;

輸出:聚類結(jié)果.

② 為每個(gè)視圖構(gòu)建轉(zhuǎn)移概率矩陣；

③ whileiter

④iter=iter+1;

⑤ forvfrom 1 tomdo

⑥ 根據(jù)式(5)更新w(v);

⑦ end for

⑧ 根據(jù)式(13)更新P*;

⑨ 根據(jù)式(14)更新F;

⑩ 根據(jù)式(16)更新Q;

2.3 算法復(fù)雜度和收斂性

算法CAMC的求解涉及5個(gè)子問題.求解w的復(fù)雜度為O(mn)；求解P*時(shí)使用了矩陣的加法，復(fù)雜度為O(n2)；求解F時(shí)涉及了特征向量分解，復(fù)雜度為O(n3)；求解Q時(shí)使用了奇異值分解，復(fù)雜度為O(n3)；更新乘子Y的復(fù)雜度為O(n2)，所以整個(gè)算法的復(fù)雜度為O(n3+n2).

根據(jù)文獻(xiàn)[10]，式(14)是凸函數(shù)，由于F范數(shù)和核范數(shù)均是凸函數(shù)，根據(jù)文獻(xiàn)[30]，式(9)是凸的.

本文提出的優(yōu)化算法在每次迭代時(shí)，需要求解式(10)(13)(14)(16)(17).根據(jù)已有文獻(xiàn)[10,25]，這幾個(gè)問題都是凸的，這確保了算法1能夠收斂到問題的最優(yōu)解.

3 實(shí) 驗(yàn)

為了對(duì)算法進(jìn)行評(píng)估，在人造數(shù)據(jù)集和真實(shí)數(shù)據(jù)集兩大類數(shù)據(jù)集上進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，采用了7個(gè)常用的聚類指標(biāo)：標(biāo)準(zhǔn)化互信息(normalized mutual information,NMI)、準(zhǔn)確率(accuracy,ACC)、F分?jǐn)?shù)(F)、調(diào)整后的蘭德指數(shù)(adjusted rand index,ARI)、精度(precision,P)、召回率(recall,R)、純度(Purity).這些指標(biāo)的定義參見文獻(xiàn)[31]，它們的值越高，聚類效果越好.

3.1 人造數(shù)據(jù)集實(shí)驗(yàn)分析

在文獻(xiàn)[32]提供的人造數(shù)據(jù)集雙月(Two-Moon)上進(jìn)行了實(shí)驗(yàn).如圖3(a),3(b)所示，該數(shù)據(jù)集包含了2個(gè)視圖，每個(gè)視圖里的點(diǎn)都是2個(gè)月亮的形狀，對(duì)應(yīng)著2個(gè)簇，每個(gè)簇中有100個(gè)點(diǎn)，每個(gè)視圖中都加上了0.12%的高斯噪聲.CAMC在此數(shù)據(jù)集上聚類得到的標(biāo)簽和數(shù)據(jù)集中的標(biāo)簽是完全一致的.為了直觀地對(duì)結(jié)果進(jìn)行說明，進(jìn)行了可視化展示.選取了距離較近但屬于2個(gè)不同簇的40個(gè)點(diǎn)，在一致性轉(zhuǎn)移概率矩陣中提取出來了相應(yīng)的部分，對(duì)這40個(gè)點(diǎn)在2個(gè)視圖中使用學(xué)到的一致性轉(zhuǎn)移概率矩陣進(jìn)行可視化，結(jié)果如圖3(c),3(d)所示.盡管這些點(diǎn)距離較近，在聚類時(shí)容易出錯(cuò)，但CAMC能將它們分開，這表明了基于Markov鏈的方法是有效的.另外，該復(fù)雜圖形中存在噪聲，CAMC能有效將點(diǎn)分開證實(shí)了間接學(xué)習(xí)相似度矩陣和使用低秩正則化能夠減弱噪聲對(duì)聚類的影響.此外，圖4展示了為各視圖構(gòu)造的轉(zhuǎn)移概率矩陣和學(xué)習(xí)到的一致性轉(zhuǎn)移概率矩陣，明顯可以看出，學(xué)習(xí)到的一致性轉(zhuǎn)移概率矩陣具有更好的塊結(jié)構(gòu)，更適合聚類.基于自動(dòng)加權(quán)機(jī)制進(jìn)行聚類，能夠更有效地利用不同視圖之間的互補(bǔ)信息，因而能提升聚類性能.

Fig. 3 Two-Moon dataset analysis圖3 Two-Moon數(shù)據(jù)集分析

Fig. 4 The transition probability matrix visualization圖4 轉(zhuǎn)移概率矩陣的可視化

3.2 真實(shí)數(shù)據(jù)集簡(jiǎn)介

本文選取了7個(gè)真實(shí)數(shù)據(jù)集進(jìn)行實(shí)驗(yàn).數(shù)據(jù)集包括：英國(guó)廣播公司體育新聞數(shù)據(jù)集(BBCSport)[33]、三新聞源文本數(shù)據(jù)集(3Sources)[34]、微軟逐像素標(biāo)記的圖像數(shù)據(jù)集v1(MSRC)[35]、Citeseer科學(xué)出版物引用網(wǎng)絡(luò)文本數(shù)據(jù)集(Citeseer)[36]、Mfeat手寫體識(shí)別數(shù)據(jù)集(Mfeat)[37]、新聞組數(shù)據(jù)集(NGs)[38]、100種植物葉子數(shù)據(jù)集(100leaves)[39].這些數(shù)據(jù)集的詳細(xì)信息如表2所示.

Table 2 Statistic Information of Datasets表2 數(shù)據(jù)集的相關(guān)信息

3.3 參數(shù)敏感性分析和算法收斂性驗(yàn)證

CAMC中有2個(gè)超參λ1和λ2，用來平衡目標(biāo)函數(shù)中3項(xiàng)之間的關(guān)系.這2個(gè)超參的值域?yàn)閧0.000 1,0.01,0.1,1,10,100,1 000}.在3Sources和Mfeat數(shù)據(jù)集上，使用了網(wǎng)格化調(diào)參法對(duì)CAMC進(jìn)行參數(shù)敏感性實(shí)驗(yàn)，記錄聚類結(jié)果的準(zhǔn)確率值和標(biāo)準(zhǔn)化互信息值，結(jié)果如圖5所示.

Fig. 5 Parameter sensitivity analysis on different datasets圖5 在不同數(shù)據(jù)集上的參數(shù)敏感性分析

Fig. 6 Convergence analysis on different datasets圖6 在不同數(shù)據(jù)集上的算法收斂性分析

從圖5中可以看出，當(dāng)λ1>100時(shí)對(duì)結(jié)果較為敏感，當(dāng)λ1<100時(shí)性能較為穩(wěn)定；參數(shù)λ2的變化對(duì)性能影響不大，但當(dāng)λ2<1時(shí)聚類效果要更好一些.總的來說，CAMC的性能是比較穩(wěn)定的.

Fig. 7 The t-SNE visualization on NGs dataset圖7 在NGs數(shù)據(jù)集上的t-SNE可視化

3.4 性能可視化

為了進(jìn)一步說明CAMC性能上的優(yōu)勢(shì)，在NGs數(shù)據(jù)集上，對(duì)每個(gè)視圖的原始數(shù)據(jù)和最終學(xué)習(xí)到的一致性轉(zhuǎn)移概率矩陣都通過t分布隨機(jī)鄰居嵌入(t-SNE)[40]進(jìn)行可視化表示，如圖7所示.使用各種顏色區(qū)分不同的簇.相同顏色的點(diǎn)越近、不同顏色的點(diǎn)越遠(yuǎn)表示簇的可分離性越好.從圖7中可以看出，學(xué)習(xí)到的一致性轉(zhuǎn)移概率矩陣的聚類效果明顯優(yōu)于原始數(shù)據(jù).主要原因在于CAMC能夠利用不同視圖之間的互補(bǔ)信息，為不同視圖學(xué)習(xí)最優(yōu)的權(quán)重.

3.5 對(duì)比算法

為了驗(yàn)證CAMC的有效性，本文將CAMC與8種基準(zhǔn)算法進(jìn)行了比較.其中譜聚類(SC)[41]、低秩表示子空間聚類(LRR)[42]是單視圖聚類算法，基于共同正則化的聚類(CoReg)[43]、魯棒多視圖譜聚類(RMSC)[22]是經(jīng)典多視圖聚類算法，基于圖學(xué)習(xí)的多視圖聚類(MVGL,2017Transactions)[10]、基于圖的自加權(quán)多視圖聚類(SWMC,2017IJCAI)[44]、自適應(yīng)加權(quán)法(AWP,2018KDD)[45]、稀疏多視圖譜聚類(SMVSC,2020Nerocomputing)[15]是最新多視圖聚類算法.對(duì)于每一種算法，都根據(jù)該算法所在的文獻(xiàn)在所有的數(shù)據(jù)集上調(diào)參.

3.6 真實(shí)數(shù)據(jù)集的實(shí)驗(yàn)分析

本文選取了7個(gè)真實(shí)數(shù)據(jù)集來驗(yàn)證CAMC的性能.在每個(gè)數(shù)據(jù)集上，先找出結(jié)果最好的參數(shù)，然后使用該參數(shù)的值重復(fù)進(jìn)行30次實(shí)驗(yàn)，記錄平均值和均值.結(jié)果如表3～9所示，每個(gè)數(shù)據(jù)集上每個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)中最好的2個(gè)結(jié)果加粗顯示.

Table 3 Clustering Results (Mean±Standard Deviation) on the BBCSport Dataset表3 在BBCSport數(shù)據(jù)集上的聚類結(jié)果(平均值±標(biāo)準(zhǔn)差)

Table 4 Clustering Results (Mean±Standard Deviation) on the 3Sources Dataset表4 在3Sources數(shù)據(jù)集上的聚類結(jié)果(平均值±標(biāo)準(zhǔn)差)

Table 5 Clustering Results (Mean±Standard Deviation) on the MSRC Dataset表5 在MSRC數(shù)據(jù)集上的聚類結(jié)果(平均值±標(biāo)準(zhǔn)差)

Table 6 Clustering Results (Mean±Standard Deviation) on the Citeseer Dataset表6 在Citeseer數(shù)據(jù)集上的聚類結(jié)果(平均值±標(biāo)準(zhǔn)差)

Table 7 Clustering Results (Mean±Standard Deviation) on the Mfeat Dataset表7 在Mfeat數(shù)據(jù)集上的聚類結(jié)果(平均值±標(biāo)準(zhǔn)差)

Table 8 Clustering Results (Mean±Standard Deviation) on the NGs Dataset表8 在NGs數(shù)據(jù)集上的聚類結(jié)果(平均值±標(biāo)準(zhǔn)差)

Table 9 Clustering Results (Mean±Standard Deviation) on the 100leaves Dataset表9 在100leaves數(shù)據(jù)集上的聚類結(jié)果(平均值±標(biāo)準(zhǔn)差)

由表3～9可知，在這9種算法中CAMC結(jié)果最好，它在BBCSport,3Sources,Citeseer,NGs,100leaves數(shù)據(jù)集上的評(píng)價(jià)指標(biāo)結(jié)果基本上都是最優(yōu)的.特別是在BBCSport數(shù)據(jù)集上，在NMI,ACC,F,ARI,P等評(píng)價(jià)指標(biāo)上，CAMC分別以10.9%,7.7%,11.5%,15.2%,13.4%的優(yōu)勢(shì)拉開了與第2名之間的距離.

從結(jié)果中，本文有4方面的思考:

1) 總的來說，多視圖算法的聚類性能要優(yōu)于單視圖算法.和單視圖算法相比，多視圖算法能夠利用來自不同視圖的多種互補(bǔ)信息，從而提高聚類的能力.

2) CAMC在多種類型的圖像和文本數(shù)據(jù)集上均表現(xiàn)優(yōu)異，這說明CAMC對(duì)各類型的數(shù)據(jù)集具有魯棒性.

3) CAMC的聚類性能遠(yuǎn)優(yōu)于RMSC.這2種方法都是基于Markov鏈的多視圖譜聚類算法，RMSC將各個(gè)視圖同等對(duì)待，而CAMC則考慮了不同視圖之間的差異，為各個(gè)視圖學(xué)習(xí)最優(yōu)的權(quán)值，這表明為每個(gè)視圖學(xué)習(xí)相應(yīng)的權(quán)值能提高聚類的準(zhǔn)確性.

4) 在對(duì)比算法中，SWMC和AWP均考慮了不同視圖的差異性，但它們和CAMC仍然存在差距，這表明了基于Markov鏈聚類算法的有效性.

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于Markov鏈的多視圖譜聚類算法，利用了多個(gè)視圖之間的互補(bǔ)信息，并考慮了各視圖在聚類中發(fā)揮的不同作用，為各視圖學(xué)到最優(yōu)權(quán)值.此外，該算法對(duì)一致性轉(zhuǎn)移概率矩陣的拉普拉斯矩陣進(jìn)行了秩約束，以確保拉普拉斯圖中連通分量的數(shù)目與聚類的數(shù)目完全相等.基于ADMM，提出了一種優(yōu)化策略來對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解.在人造數(shù)據(jù)集和真實(shí)數(shù)據(jù)集上進(jìn)行了大量實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明了CAMC是有效的.將來，我們會(huì)基于錨點(diǎn)等策略將CAMC擴(kuò)展到大規(guī)模數(shù)據(jù)集上.

作者貢獻(xiàn)聲明：于曉負(fù)責(zé)研究方案設(shè)計(jì)和實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn), 以及論文設(shè)計(jì)、撰寫和修改; 劉慧設(shè)計(jì)研究方案，指導(dǎo)并參與論文修訂; 林毓秀負(fù)責(zé)數(shù)據(jù)的整理和校對(duì); 張彩明參與論文修訂.