黃岸毅，羅亞中，李恒年

(1. 西安衛(wèi)星測控中心宇航動力學(xué)國家重點實驗室，西安 710043；2. 國防科技大學(xué)空天科學(xué)學(xué)院，長沙 410073；3. 空天任務(wù)智能規(guī)劃與仿真湖南省重點實驗室，長沙 410073)

0 引 言

隨著互聯(lián)網(wǎng)星座等大型星座的發(fā)展，低軌空間在軌服務(wù)技術(shù)的重要性越來越突出。通過在軌服務(wù)，可以對衛(wèi)星進行部件維修、燃料加注等操作，顯著提高衛(wèi)星壽命，降低發(fā)射成本。對于大型星座中多顆衛(wèi)星需要維護的情形，在軌服務(wù)航天器在任務(wù)實施前需要規(guī)劃出合理的交會次序和飛行時長，以實現(xiàn)任務(wù)收益最大化。因此，規(guī)劃算法要能夠盡可能以高效率收斂到接近全局最優(yōu)解。

當(dāng)前這類包含整數(shù)規(guī)劃和實數(shù)規(guī)劃的混合規(guī)劃問題求解存在的主要困難是計算目標(biāo)函數(shù)的效率不高，導(dǎo)致優(yōu)化算法收斂緩慢。目標(biāo)函數(shù)一般設(shè)計為速度增量最小(或者等價指標(biāo)燃料消耗最小)，當(dāng)考慮近地軌道攝動時，預(yù)估軌道交會所需的速度增量較為困難。如果采用軌道根數(shù)差分形式，將升交點赤經(jīng)差對應(yīng)的法向脈沖和相位差對應(yīng)的切向脈沖直接疊加，或采用二體解析模型獲得多脈沖交會的近似解，由于未考慮攝動，誤差會很大，且需要對脈沖位置進行尋優(yōu)，效率偏低。數(shù)值優(yōu)化方法需要建立包含每個脈沖大小和時刻的優(yōu)化模型，調(diào)用進化算法求解，計算耗時難以滿足混合整數(shù)規(guī)劃期間大量調(diào)用計算的需求。因此合理的交會速度增量解析估計方法是解決這類規(guī)劃問題的關(guān)鍵。

對于近地長時間軌道交會問題，利用攝動影響升交點赤經(jīng)長期漂移的規(guī)律，可以通過漂移率間接控制實現(xiàn)軌道面的重合。文獻[13]將該原理應(yīng)用于星座部署的優(yōu)化設(shè)計，對漂移軌道的參數(shù)進行離散化和遍歷尋優(yōu)。這些研究沒有完全揭示漂移率控制和瞬時直接控制在速度增量消耗上的規(guī)律，無法解析得到最優(yōu)的機動策略，準(zhǔn)確度不夠高。Huang等利用半解析的等式約束優(yōu)化方法建立了升交點赤經(jīng)直接控制和漂移率控制混合策略的最優(yōu)交會近似估計模型，總速度增量估計精度較高，但其中四脈沖的計算都使用了圓軌道假設(shè)，在機動量較大時每個脈沖的大小存在一定偏差。

本文根據(jù)星座中衛(wèi)星之間軌道高度和傾角相同的特性，將文獻[14]提出的方法簡化為僅考慮升交點赤經(jīng)差和相位差，通過兩次雙脈沖霍曼變軌實現(xiàn)從初始軌道至漂移軌道以及從漂移軌道至目標(biāo)軌道的轉(zhuǎn)移，代替了文獻[14]中根據(jù)軌道根數(shù)差和圓軌道近似計算脈沖大小的過程，使得四個脈沖的計算更精確。在此基礎(chǔ)上，建立了多星交會混合整數(shù)規(guī)劃模型，并應(yīng)用混合編碼遺傳算法求解，整體規(guī)劃效率較高。采用文獻[4]中算例進行分析對比，本文算法獲得指標(biāo)有顯著提高。

1 LEO星座服務(wù)遍歷交會軌道優(yōu)化問題

本文面向的星座類型為近地Walker星座，特點為所有衛(wèi)星的軌道參數(shù)中僅升交點赤經(jīng)和相位互不相同，且僅考慮軌道傾角不為0、偏心率近似為0的情形。假設(shè)星座中部分衛(wèi)星發(fā)生故障或燃料消耗殆盡，需要由在軌服務(wù)航天器依次交會這些衛(wèi)星并開展維護作業(yè)，此時就要尋找一條最優(yōu)交會序列及路徑，使得服務(wù)航天器在給定的任務(wù)約束下，以最少的燃料消耗完成任務(wù)，如圖1所示。

圖1 多軌道面星座遍歷交會路徑

服務(wù)航天器采用脈沖推進方式，交會一顆衛(wèi)星后消耗一定時間進行服務(wù)操作，然后離開并開始與下一顆衛(wèi)星交會。任務(wù)約束一般包括任務(wù)總時長約束、交會停留最小時長約束、總?cè)剂献畲笾导s束等。

該問題需要求解每次交會目標(biāo)的順序和交會時刻(等同于交會轉(zhuǎn)移時長)。對于這個混合整數(shù)規(guī)劃問題，關(guān)鍵是快速準(zhǔn)確地計算服務(wù)航天器從一個目標(biāo)交會下一目標(biāo)的速度增量。解決了這一問題，任務(wù)代價也即目標(biāo)函數(shù)就可以快速評價，從而應(yīng)用各類通用的混合整數(shù)規(guī)劃算法進行全局優(yōu)化。

2 圓軌道同傾角攝動交會脈沖快速計算

目標(biāo)到目標(biāo)之間的脈沖交會問題可以描述為：已知出發(fā)軌道和目標(biāo)軌道半長軸、傾角相同，分別為和，初始升交點赤經(jīng)和緯度幅角為和，目標(biāo)升交點赤經(jīng)和緯度幅角為和，給定交會飛行時間Δ，求解軌道交會所需的最優(yōu)速度增量。

2.1 漂移軌道組合策略

方法基本思想如下，根據(jù)攝動一階分析理論，攝動引起圓軌道半長軸、傾角、升交點赤經(jīng)和緯度幅角的長期變化率為：

(1)

圖2 漂移軌道和霍曼轉(zhuǎn)移示意圖

2.2 滿足Ω約束的脈沖近似最優(yōu)解

設(shè)終端時刻轉(zhuǎn)移航天器軌道根數(shù)和目標(biāo)軌道根數(shù)有升交點赤經(jīng)差Δ=-。設(shè)漂移軌道的半長軸和傾角相對圓軌道偏差為未知量Δ和Δ，則轉(zhuǎn)移到漂移軌道的兩脈沖霍曼變軌前后的速度大小為：

(2)

式中：為初始圓軌道速度大小，為第一個脈沖后的速度(橢圓軌道近地點)，為第二個脈沖前的速度(橢圓軌道遠(yuǎn)地點)，為第二個脈沖后的速度。設(shè)起漂階段對升交點赤經(jīng)的直接改變量為Δ，則起漂階段對軌道面法向量的角度改變?yōu)?/p>

(3)

將Δ等分為和作為法向脈沖加入霍曼變軌中，由圖3的幾何關(guān)系可得，霍曼變軌的兩個脈沖Δ和Δ(,,與Δ的關(guān)系類似)分別為：

圖3 脈沖前后速度矢量

(4)

由漂移軌道控回初始軌道半長軸及傾角時，將升交點赤經(jīng)直接改變量同樣置為Δ，即總的脈沖對軌道半長軸及傾角的改變量為0，對升交點赤經(jīng)的改變量為2Δ。則對于給定Δ, Δ和Δ，建立漂移軌道和恢復(fù)初始軌道所需的總速度增量為

Δ=2(Δ+Δ)

(5)

漂移軌道需要滿足升交點赤經(jīng)約束：

(6)

(7)

(8)

令=+，則根據(jù)極小值原理，最優(yōu)解應(yīng)滿足：

(9)

展開得方程組：

(10)

式中：

利用文獻[14]中的近似解作為初值：

(12)

使用一種非線性方程求解工具包Minpack簡單迭代即可得到最優(yōu)解，記為Δ,Δ和Δ。

2.3 滿足u約束的脈沖修正解

(13)

式中：Δ′應(yīng)歸一化到[-π,π]。為了滿足交會約束，需要修正Δ。根據(jù)相位漂移率與半長軸的關(guān)系可得修正量Δ為：

(14)

(15)

綜上，根據(jù)初始軌道和目標(biāo)軌道的升交點赤經(jīng)差Δ和相位差Δ，即可通過先后求解式(10)、式(14)和式(15)得到速度增量的近似估計值以及漂移軌道相對初始軌道的半長軸差、傾角差和升交點赤經(jīng)差。

3 混合整數(shù)規(guī)劃模型與求解

本文的軌道交會優(yōu)化問題需要求解的變量為：使得總速度增量最小的交會次序(整數(shù)規(guī)劃)以及在目標(biāo)兩兩之間的轉(zhuǎn)移飛行時長(實數(shù)規(guī)劃)。這是一個混合整數(shù)規(guī)劃問題即時間依賴旅行商問題，可使用混合編碼的遺傳算法(GA)進行優(yōu)化。

設(shè)目標(biāo)個數(shù)為，則優(yōu)化變量={}的維數(shù)設(shè)置為2。其中前個值用來編碼目標(biāo)兩兩之間的轉(zhuǎn)移時間(取值為0到1的實數(shù))，后個值用來編碼目標(biāo)的順序(取值為1到的整數(shù))。航天器在目標(biāo)兩兩之間的轉(zhuǎn)移時間表示為：

Δ=Δ+(Δ-Δ)

(16)

式中：Δ,Δ分別為任務(wù)約束的最短和最長轉(zhuǎn)移飛行時間。交會時刻表示為：

(17)

據(jù)五建公司副總工程師王永科介紹，無軌導(dǎo)全位置爬行焊接機器人能實現(xiàn)焊接過程中對焊縫的實時掃描及跟蹤，運動過程中無需軌導(dǎo)引，利用磁性吸附和電機驅(qū)動功能能夠沿直線、弧線等曲面實現(xiàn)自動爬行，同時避免了有限空間和危險場所人工焊接不便和危險性，可以有效提高焊接質(zhì)量和效率。

設(shè)Δ為第段轉(zhuǎn)移的速度增量，目標(biāo)函數(shù)一般取為總速度增量：

(18)

利用GA求解，通過種群初始化和逐代進化，最后可得最優(yōu)的交會次序和交會轉(zhuǎn)移時長。具體流程此處不再贅述。

4 仿真算例

4.1 速度增量與交會時間和軌道根數(shù)差的關(guān)系

設(shè)軌道為半長軸7100 km、傾角98°的圓軌道。初始軌道和交會軌道只存在Δ為5°，轉(zhuǎn)移時長為7天時，本文計算得到的交會脈沖總和為440.3 m/s。每組霍曼變軌雙脈沖大小分別為111.1 m/s(近地點)和109.1 m/s(遠(yuǎn)地點)。作為對比，文獻[14]中估計結(jié)果為444.1 m/s，每個脈沖均為111.0 m/s。這是因為僅使用圓軌道假設(shè)時，近地點處脈沖估計值偏大，遠(yuǎn)地點處脈沖估計值偏小。文獻[14]針對的軌道需兼顧小偏心率情況，無法應(yīng)用霍曼變軌雙脈沖計算。而本文針對的是同圓軌道之間的轉(zhuǎn)移，霍曼變軌能夠提高單個脈沖估計精度。

利用估計方法對交會速度增量與Δ,Δ和Δ的關(guān)系進行定量分析。當(dāng)Δ為5°時，對應(yīng)不同轉(zhuǎn)移時長的Δ變化趨勢以及速度增量中用于改變半長軸、傾角、升交點赤經(jīng)的分量如圖4所示。初始軌道和交會軌道只存在Δ為180°時，對應(yīng)不同轉(zhuǎn)移時長的Δ變化趨勢以及各分量如圖5所示。

可見當(dāng)Δ較小時，改變升交點赤經(jīng)漂移率的累積時間較短，最優(yōu)策略更傾向于利用法向脈沖直接改變升交點赤經(jīng)的方式實現(xiàn)交會(圖4中虛線，隨著Δ增大顯著下降)；而當(dāng)Δ較大時，最優(yōu)策略更傾向于改變升交點漂移率的方式實現(xiàn)交會(圖4中點劃線和點線，隨著Δ的增大在速度增量中占比變大)，升交點赤經(jīng)的直接改變量占比非常小。

圖4 給定ΔΩ0時速度增量與轉(zhuǎn)移時長的關(guān)系

Δ所需的速度增量同樣隨著轉(zhuǎn)移時長增大而逐漸減小，且在相同轉(zhuǎn)移時長下，每度相位差所需的速度增量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于每度升交點赤經(jīng)差。這也證明了本文首先根據(jù)升交點赤經(jīng)差計算控制量(式(10))，然后在解附近根據(jù)相位約束進行修正(式(14)和式(15))的思路是正確的。此外還可以看到，由于攝動的影響，調(diào)相對半長軸的改變會引起升交點赤經(jīng)的耦合漂移，因此還是需要一部分面外機動量(圖5中點劃線和點線)抵消這部分?jǐn)z動漂移量。

圖5 給定Δu0時速度增量與轉(zhuǎn)移時長的關(guān)系

對比單純法向脈沖1°升交點赤經(jīng)需要約130 m/s速度增量，通過升交點赤經(jīng)漂移策略能夠顯著降低Δ。從圖4和圖5中各分量的變化趨勢來看，當(dāng)Δ較大且允許的轉(zhuǎn)移時間較短時，最優(yōu)交會速度增量Δ主要取決于Δ，相位差Δ的影響要小一個數(shù)量級，此時多星交會的最優(yōu)次序應(yīng)當(dāng)與升交點赤經(jīng)的排列順序一致；而當(dāng)Δ較小且轉(zhuǎn)移時間較長時，最優(yōu)交會速度增量Δ中Δ與Δ的影響量級接近，此時最優(yōu)交會路徑就需要全局優(yōu)化計算。下面用兩個多星交會算例進行驗證。

4.2 軌道面大幅度變化的交會序列優(yōu)化

目標(biāo)航天器分布在8個軌道面(半長軸7100 km，傾角98°，偏心率0)，有11顆星需要交會，軌道根數(shù)見表1。兩兩之間的最長轉(zhuǎn)移時間為60天，停留時間為0，脈沖推進比沖為407.9 s。追蹤航天器初始升交點赤經(jīng)和緯度幅角為0。

表1 目標(biāo)軌道參數(shù)

GA參數(shù)設(shè)置見表2，交會最優(yōu)序列和速度增量消耗見表3。

表2 GA參數(shù)

總速度增量為887.62 m/s，最優(yōu)交會序列沿著赤經(jīng)從小到大的路徑，且最優(yōu)交會時長均為容許最長時間，這也與4.1節(jié)的分析吻合。同時表3還列出了文獻[14]方法得到的速度增量以及使用文獻[19]基于進化算法的四脈沖優(yōu)化方法得到的最優(yōu)解，可見本文估計結(jié)果更接近進化算法，但差別較小。本文方法單次估計耗時0.18 ms(CPU：4.2 GHz)，小于文獻[14](1 ms)和進化算法(600 s以上)。

表3 最優(yōu)交會路徑

4.3 軌道面小幅度變化的交會與重構(gòu)路徑優(yōu)化

該算例來源于文獻[4]，1顆服務(wù)航天器交會8顆無剩余燃料的目標(biāo)衛(wèi)星。與4.1節(jié)交會任務(wù)略有不同的是，服務(wù)航天器最大轉(zhuǎn)移飛行時長為600(為標(biāo)稱軌道周期)，在交會每個目標(biāo)衛(wèi)星后需要停留一定時間(10到600之間)，且為目標(biāo)加注燃料(100 kg+自身重構(gòu)機動所需燃料)。自身重構(gòu)機動是指每個目標(biāo)衛(wèi)星在加注完成后即開始機動，將自身的軌道面和相位重新調(diào)整到預(yù)定的8個位置之一，最終使8顆衛(wèi)星形成完整星座構(gòu)型。

其設(shè)定的目標(biāo)互相之間升交點赤經(jīng)偏差較小，屬于共面星座長期攝動產(chǎn)生的偏差，此時軌道面調(diào)整和相位調(diào)整所需的控制量相近，交會路徑更需要進行全局優(yōu)化。因此，待優(yōu)化變量維數(shù)是4(目標(biāo)個數(shù)=8)。其中增加維變量以描述交會后停留的加注時長(實數(shù))，另外維變量描述每個目標(biāo)衛(wèi)星在完成加注后需要到達(dá)的星座軌位的序號(整數(shù))。任務(wù)優(yōu)化指標(biāo)為航天器初始質(zhì)量，可根據(jù)航天器結(jié)構(gòu)質(zhì)量、任務(wù)過程中消耗的燃料質(zhì)量以及為星座加注的燃料質(zhì)量遞推計算：

(19)

服務(wù)航天器軌道高度為7792.137 km，傾角52°，偏心率為0，初始升交點赤經(jīng)為100°，緯度幅角20°。目標(biāo)星初始軌道高度和傾角相同，其它根數(shù)見表4。

表4 目標(biāo)星軌道參數(shù)

對應(yīng)的優(yōu)化結(jié)果如表5～6和圖6所示。平均單次服務(wù)消耗燃料為4.432 kg，與文獻[4]中8.333 kg的結(jié)果對比，燃料消耗降低了約46.8%。文獻[4]中最優(yōu)交會路徑為1-7-4-5-8-2-3-6，本文最優(yōu)路徑為7-4-1-5-8-2-3-6。

圖6 服務(wù)路徑及重構(gòu)路徑

表5 文獻[4]的優(yōu)化結(jié)果

算法在普通電腦上運行約5 min即可收斂到最優(yōu)解。本文使用多脈沖估計模型替代了原文獻中的雙脈沖近似模型，且不需要對飛行圈數(shù)進行遍歷尋優(yōu)，因此優(yōu)化性能和效率得到很大提高。

表6 本文獲得的最優(yōu)解詳情

5 結(jié) 論

本文設(shè)計了一種軌道高度和傾角相同時基于升交點赤經(jīng)漂移軌道的異面交會組合機動策略，通過等式約束優(yōu)化方法獲得最優(yōu)四脈沖解。利用這種快速脈沖求解方法建立了多星交會序列的混合整數(shù)規(guī)劃模型，通過遺傳算法獲得交會次序、交會時刻的最優(yōu)解。仿真算例證明本方法規(guī)劃求解耗時短，且結(jié)果更優(yōu)?？蛇m用于近地在軌服務(wù)、星座構(gòu)型重建等任務(wù)的快速優(yōu)化設(shè)計和分析。