陳紅波

(北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 吉林 132013)

0 引 言

有限元方法廣泛應(yīng)用于偏微分方程支配的最優(yōu)控制問(wèn)題中[1-6].國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究了最優(yōu)控制問(wèn)題有限元方法逼近的先驗(yàn)誤差估計(jì)、超收斂性和后驗(yàn)誤差估計(jì)，如標(biāo)準(zhǔn)有限元方法[1-2]、混合有限元方法[3-6]，文獻(xiàn)[7]系統(tǒng)闡述了最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)學(xué)理論.

兩網(wǎng)格算法是求解非對(duì)稱、非定和非線性偏微分方程的一種高效離散方法.WU I和ALLEN M B[8]針對(duì)半線性反應(yīng)擴(kuò)散方程提出兩網(wǎng)格擴(kuò)張混合有限元算法；DAWSON C N等[9]應(yīng)用兩網(wǎng)格有限差分方法求解非線性拋物方程；BI C和GINTING V[10]給出兩網(wǎng)格有限體積方法來(lái)求解線性和非線性橢圓方程，此外，他們還研究了擬線性橢圓問(wèn)題[11].據(jù)我們所知，LIU H和WANG S[2]首次將兩網(wǎng)格算法應(yīng)用到最優(yōu)控制問(wèn)題；HOU T和LENG H[6]討論了Stokes方程最優(yōu)控制問(wèn)題的偽應(yīng)力-速度混合有限元方法的超收斂性并給出了兩網(wǎng)格格式.

本文考慮下面的半線性橢圓最優(yōu)控制問(wèn)題

(1)

divp+φ(y)=f+u，p=-A(x)grady，x∈Ω，

(2)

y=0，x∈?Ω，

(3)

.

(4)

假設(shè)對(duì)任意的R>0都有函數(shù)φ(·)∈W2，∞(-R，R)∩H3(-R，R)，對(duì)任意的y∈H1(Ω)滿足φ′(y)∈L2(Ω)且φ′>0.系數(shù)矩陣A(x)=(aij(x))是一個(gè)對(duì)稱的矩陣函數(shù)，其中aij(x)∈W1，∞(Ω)，并滿足

1 最優(yōu)控制問(wèn)題的混合有限元方法

令V=H(div；Ω)={v∈(L2(Ω))2，divv∈L2(Ω)}，W=L2(Ω).問(wèn)題(1)～(3)的弱形式為：找到(p，y，u)∈V×W×Uad，使得

(5)

(A-1p，v)-(y，divv)=0， ?v∈V，

(6)

(divp，w)+(φ(y)，w)=(f+u，w)， ?w∈W，

(7)

這里(·，·)表示L2(Ω)空間中的內(nèi)積.

由文獻(xiàn)[7]可知問(wèn)題(5)～(7)有局部唯一解(p，y，u)，同時(shí)存在對(duì)偶狀態(tài)(q，z)∈V×W使得(p，y，q，z，u)滿足如下的最優(yōu)性條件：

(A-1p，v)-(y，divv)=0， ?v∈V，

(8)

(divp，w)+(φ(y)，w)=(f+u，w)， ?w∈W，

(9)

(A-1q，v)-(z，divv)=-(p-pd，v)， ?v∈V，

(10)

(divq，w)+(φ′(y)z，w)=(y-yd，w)， ?w∈W，

(11)

(12)

由文獻(xiàn)[5]可知，控制變量的表達(dá)式為

(13)

假設(shè)f、yd∈L2(Ω)，pd∈(H1(Ω))2，我們有u∈L∞(Ω).

令Th表示區(qū)域Ω上的擬一致三角剖分，hT表示單元T的直徑且記h=maxhT.令Vh×Wh?V×W表示最低階的Raviart-Thomas混合有限元空間(見(jiàn)文獻(xiàn)[12])，定義為

這里Pm(T)表示單元T上次數(shù)不超過(guò)m的多項(xiàng)式集合，x=(x1，x2)表示一個(gè)向量，

給出混合有限元格式之前，我們先介紹兩個(gè)算子.

定義標(biāo)準(zhǔn)的L2(Ω)正交投影Ph：W→Wh，對(duì)任意的φ∈W都滿足

(Phφ-φ，Wh)=0， ?wh∈Wh，

(14)

.

(15)

Fortin投影[12]Πh：V→Vh，對(duì)任意的q∈V都滿足

(div(Πhq-q)，wh)=0， ?wh∈Wh，

(16)

(17)

.

(18)

于是問(wèn)題(5)～(7)的混合有限元離散格式如下：找到(ph，yh，uh)∈Vh×Wh×Uh使得

(19)

(A-1ph，vh)-(yh，divvh)=0， ?vh∈Vh，

(20)

(divph，wh)+(φ(yh)，wh)=(f+uh，wh)， ?wh∈Wh

.

(21)

類似地，如果(ph，yh，uh)為問(wèn)題(19)～(21)的一個(gè)解，則存在離散對(duì)偶狀態(tài)(qh，zh)∈Vh×Wh使得(ph，yh，qh，zh，uh)滿足下面最優(yōu)性條件：

(A-1ph，vh)-(yh，divvh)=0， ?vh∈Vh，

(22)

(divph，wh)+(φ(yh)，wh)=(f+uh，wh)， ?wh∈Wh，

(23)

(A-1qh，vh)-(zh，divvh)=-(ph-pd，vh)， ?vh∈Vh，

(24)

(divqh，wh)+(φ′(yh)zh，wh)=(yh-yd，wh)， ?wh∈Wh，

(25)

(26)

本文中，真解和數(shù)值解可以表示為

(p，y，q，z)=(p(u)，y(u)，q(u)，z(u))，

(ph，yh，qh，zh)=(ph(uh)，yh(uh)，qh(uh)，zh(Uh)).

下面，給出一個(gè)重要結(jié)果(文獻(xiàn)[5]).

引理1令(p，y，q，z，u)∈(V×W)2×Uad和(ph，yh，qh，zh，uh)∈(Vh×Wh)2×Uh分別表示問(wèn)題(8)～(12)和(22)～(26)的解.假設(shè)p、q∈(H2(Ω))2和u∈W1，∞(Ω)∩H2(Ω)，于是有

(27)

(28)

這里Gh表示修復(fù)算子，具體定義可見(jiàn)文獻(xiàn)[1].

2 最優(yōu)控制問(wèn)題的兩網(wǎng)格算法離散

兩步兩網(wǎng)格算法：

步1.找到(pH，yH，qH，zH，uH)∈(VH×WH)2×Uh滿足

(A-1pH，vH)-(yH，divvH)=0， ?vH∈VH，

(29)

(divpH，wH)+(φ(yH)，wH)=(f+uH，wH)， ?wH∈WH

.

(30)

(A-1qH，vH)-(zH，divvH)=-(pH-pd，vH)， ?vH∈VH，

(31)

(divqH，wH)+(φ′(yH)zH，wH)=(yH-yd，wH)， ?wH∈WH，

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

下面分析收斂性.

.

(39)

證明：由式(8)～(11)和式(34)～(37)，可得誤差方程

(40)

(41)

(42)

(43)

將函數(shù)φ(y)在yh處泰勒展開得

(44)

結(jié)合式(14)、(16)和(44)，將式(40)～(43)整理為

其中

φ1(vh)=-(A-1(p-Πhp)，vh)，

因?yàn)棣?(vh)、φ2(vh)、ψ1(wh)和ψ2(wh)可以看作分別是定義在空間Vh和Wh上關(guān)于vh和wh的線性泛函，由文獻(xiàn)[13]中的穩(wěn)定性結(jié)果可知

(45)

.

(46)

利用逆估計(jì)、式(27)～(28)和式(15)，可推出

(47)

這里PH的定義與Ph類似.

根據(jù)Cauchy不等式、式(17)和關(guān)于矩陣A的假設(shè)，可知

(48)

.

(49)

(50)

結(jié)合式(50)、Cauchy不等式、式(15)和函數(shù)φ的假設(shè)，可證

(51)

.

(52)

將式(48)～(49)和(51)～(52)代入到式(45)～(46)中并結(jié)合式(15)、(17)～(18)、(28)、(47)和三角不等式，即可完成定理證明.證畢.

.

(53)

(54)

利用式(54)、(13)～(14)和Young’s不等式得

(55)

結(jié)合式(55)和(39)，可證式(53)成立.證畢.