陳鑫悅

（中國(guó)人民解放軍戰(zhàn)略支援部隊(duì)信息工程大學(xué)密碼工程學(xué)院，河南 鄭州 450000）

0 引言

隨著工業(yè)化的發(fā)展，人們的生活已經(jīng)離不開(kāi)各種機(jī)械。而每種機(jī)械都需要工業(yè)潤(rùn)滑油對(duì)其進(jìn)行防銹、潤(rùn)滑、緩沖的保護(hù)，這是機(jī)械運(yùn)作中不可或缺的一部分。

潤(rùn)滑油是用兩種或多種不同指標(biāo)的基礎(chǔ)油按照不用的比例進(jìn)行混合產(chǎn)生的。潤(rùn)滑油的調(diào)和過(guò)程中理化性質(zhì)會(huì)發(fā)生改變，它的性質(zhì)變化與各基礎(chǔ)油的指標(biāo)可能是線性或非線性關(guān)系，所以工業(yè)潤(rùn)滑油的調(diào)和是一個(gè)復(fù)雜的工藝問(wèn)題。衡量潤(rùn)滑油的性能指標(biāo)主要包括黏度、凝點(diǎn)（傾點(diǎn)）、酸值、閃點(diǎn)、氧化安定性、殘?zhí)?，等等，本文主要針?duì)這6個(gè)指標(biāo)（Y，Y，…，Y）進(jìn)行調(diào)優(yōu)方案的設(shè)計(jì)。

現(xiàn)有文獻(xiàn)中大部分都從潤(rùn)滑油的黏度屬性方面或者潤(rùn)滑油各屬性之間的相互影響進(jìn)行研究，一般只得到定性結(jié)果，很少見(jiàn)到定量具體分析，不利于對(duì)潤(rùn)滑油調(diào)和方案的制定與提高。為簡(jiǎn)化問(wèn)題，本文忽略潤(rùn)滑油的生產(chǎn)技術(shù)和過(guò)程，且不考慮添加劑問(wèn)題，僅僅從數(shù)學(xué)角度研究潤(rùn)滑油的調(diào)和優(yōu)化問(wèn)題。同時(shí)，假設(shè)潤(rùn)滑油的某一指標(biāo)i只與基礎(chǔ)油的相應(yīng)指標(biāo)i有關(guān)，i=1，2，…，6。針對(duì)不同的需求，本文建立了兩種非線性約束目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，使用改進(jìn)粒子群算法（Improved Particle Swarm Optimization,IPSO）進(jìn)行求解。本文接下來(lái)的工作安排：首先介紹潤(rùn)滑油的配比模型以及兩種調(diào)和方案的數(shù)學(xué)模型；其次介紹改進(jìn)粒子群算法；再次進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)試；最后總結(jié)。

1 潤(rùn)滑油調(diào)和的數(shù)學(xué)模型

1.1 配比模型

10種基礎(chǔ)油的配量分別為x，x，…，x，10種基礎(chǔ)油有6個(gè)性能指標(biāo)分別定義為a，…，a，潤(rùn)滑油的六項(xiàng)性能指標(biāo)為Y，Y，…，Y。從混合濃度公式角度出發(fā)，如式（1）所示，認(rèn)為不同基礎(chǔ)油的配比與潤(rùn)滑油的各指標(biāo)分別存在一個(gè)關(guān)系式。

針對(duì)式（1），筆者對(duì)其中每個(gè)變量添加相應(yīng)參數(shù)β，變?yōu)槭剑?）。

然后通過(guò)20批次生產(chǎn)數(shù)據(jù)，使用最小二乘法對(duì)式（2）進(jìn)行非線性曲線擬合，求解參數(shù)。最終結(jié)果如表1所示。其中最大的均方誤差為0.3×10，說(shuō)明擬合效果優(yōu)秀。

表1 配比模型權(quán)重系數(shù)

1.2 非線性約束目標(biāo)優(yōu)化模型

質(zhì)量需求：在不考慮成本的情況下要求最大限度地符合潤(rùn)滑油的指標(biāo)要求，各指標(biāo)的相對(duì)誤差最大不超過(guò)5%。通過(guò)各指標(biāo)擬合值f與指標(biāo)要求值y的相對(duì)誤差以及懲罰函數(shù)來(lái)構(gòu)建目標(biāo)規(guī)劃模型，如式（3，4）。

式中，P為懲罰函數(shù)，用于控制約束條件；η為調(diào)節(jié)系數(shù)。

成本需求：在要求成本最低的情況下，滿足各指標(biāo)的相對(duì)誤差最大不超過(guò)5%。構(gòu)建成本需求數(shù)學(xué)模型如式（5）所示。

其中總成本C的公式如式（6）所示。

式中，c為基礎(chǔ)油i的價(jià)格。

2 改進(jìn)粒子群算法

粒子群算法，又稱粒子群優(yōu)化算法（Partical Swarm Optimization），由Eberhart博士和Kennedy博士于1995年提出，屬于群智能算法的一種。它源于對(duì)鳥(niǎo)群捕食行為的研究。假設(shè)區(qū)域里就只有一塊食物（即通常優(yōu)化問(wèn)題中所講的最優(yōu)解），鳥(niǎo)群的任務(wù)是找到這個(gè)食物源。鳥(niǎo)群在整個(gè)搜尋的過(guò)程中，通過(guò)相互傳遞各自的信息，讓其他的鳥(niǎo)知道自己的位置。通過(guò)這樣的協(xié)作，來(lái)判斷自己找到的是不是最優(yōu)解，同時(shí)也將最優(yōu)解的信息傳遞給整個(gè)鳥(niǎo)群。最終，整個(gè)鳥(niǎo)群都能聚集在食物源周?chē)?，即上文所說(shuō)的找到了最優(yōu)解，也就是問(wèn)題收斂。

針對(duì)粒子群算法容易陷入局部最優(yōu)解的缺點(diǎn)，本文改進(jìn)慣性權(quán)重的更新方式，使用隨機(jī)的慣性權(quán)重函數(shù)，如式（7）所示。

式中，w和w分別為最大和最小的慣性權(quán)重值；rand為[0，1]上的均勻分布。這樣就使得粒子種群代與代之間以及同代之間的不同個(gè)體都具有一定的隨機(jī)性，增強(qiáng)了粒子多樣性，一定程度上緩解了粒子群算法易陷入局部最優(yōu)解的缺點(diǎn)。

IPSO算法流程圖如圖1所示。

圖1 IPSO算法流程圖

3 實(shí)驗(yàn)測(cè)試

本節(jié)將對(duì)兩種不同需求設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行測(cè)試，使用的十種基礎(chǔ)油的價(jià)格如表2所示。調(diào)和的潤(rùn)滑油需要滿足的指標(biāo)如表3所示，總共需要70 000噸。本文的實(shí)驗(yàn)均在筆記本電腦上運(yùn)行，CPU是i5-4200M，內(nèi)存8G，顯卡GT820。所有算法在MATLAB2019a平臺(tái)實(shí)現(xiàn)。粒子群算法和改進(jìn)粒子群算法的種群數(shù)為50，迭代30次。

表2 基礎(chǔ)油價(jià)格表

表3 潤(rùn)滑油性能指標(biāo)要求

3.1 質(zhì)量需求數(shù)學(xué)模型測(cè)試

首先將本文提出的IPSO與PSO的尋優(yōu)過(guò)程進(jìn)行對(duì)比，從圖2中可以看出IPSO具有較快的收斂速度和尋優(yōu)能力。

圖2 IPSO與PSO迭代變化圖

得到的各基礎(chǔ)油用量如表4所示。從表5中可以看出，得到的優(yōu)化方案潤(rùn)滑油性能指標(biāo)與要求值的最大誤差為1.2%。各指標(biāo)誤差很小，但是總的成本達(dá)到了218 744 814元。

表4 質(zhì)量需求優(yōu)化方案的基礎(chǔ)油用量

表5 質(zhì)量需求優(yōu)化方案的潤(rùn)滑油性能指標(biāo)

3.2 成本需求數(shù)學(xué)模型測(cè)試

同樣的使用IPSO算法對(duì)成本需求數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，表6中顯示的數(shù)據(jù)是需求二優(yōu)化方案的基礎(chǔ)油用量及比例，優(yōu)化后計(jì)算出總成本為191 910 000元，2 741.6元/噸，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于需求一中的總成本218 744 814元，大大減少了成本。同時(shí)，只追求成本最小，導(dǎo)致最大的指標(biāo)誤差為4.98%，如表7所示。

表6 成本需求優(yōu)化方案的基礎(chǔ)油用量

表7 成本需求優(yōu)化方案的潤(rùn)滑油性能指標(biāo)

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)工業(yè)潤(rùn)滑油調(diào)和的復(fù)雜問(wèn)題，本文提出了兩種非線性約束目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。為了能夠迅速、準(zhǔn)確地尋找最優(yōu)的調(diào)和方案，本文提出了改進(jìn)粒子群算法，使用隨機(jī)慣性權(quán)重，增加每個(gè)粒子的多樣性，從而降低進(jìn)入局部最優(yōu)解的概率。另外，本文設(shè)計(jì)了兩組實(shí)驗(yàn)，對(duì)本文提出的數(shù)學(xué)模型和算法進(jìn)行測(cè)試。第一組實(shí)驗(yàn)的優(yōu)化方案得到的潤(rùn)滑油指標(biāo)最大誤差僅為1.2%，符合質(zhì)量設(shè)計(jì)需求。第二組實(shí)驗(yàn)的優(yōu)化方案得到的潤(rùn)滑油成本總成本為191 910 000元，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于需求一中的總成本218 744 814元，大大減少了成本，符合成本設(shè)計(jì)需求。因此，本文提出的方法對(duì)于工業(yè)潤(rùn)滑油調(diào)和方案設(shè)計(jì)具有一定的參考價(jià)值。未來(lái)的工作中，可考慮將影響潤(rùn)滑油調(diào)和的更多因素（如溫度、添加劑等）添加到優(yōu)化方案中。