徐云程，胡 華寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院，寧夏銀川750021

0 引言

隨著復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)這門新興學(xué)科的迅速興起及無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的提出［1］，人們發(fā)現(xiàn)生活中大量的復(fù)雜系統(tǒng)均表現(xiàn)出無標(biāo)度性（度分布為P(k)=Ck-γ(2＜γ≤3)），如萬維網(wǎng)、交通網(wǎng)、接觸網(wǎng)等［2，3］。于是利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究傳染病的動(dòng)力學(xué)行為引起了許多學(xué)者的廣泛關(guān)注［4～7］，其中最為經(jīng)典的是文獻(xiàn)［6］，它在研究無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的SIS模型時(shí)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模趨于無窮大時(shí)，傳播閾值趨于零，這很好地解釋了計(jì)算機(jī)病毒長期存在而不能絕跡的原因。隔離措施在控制傳染病的傳播中發(fā)揮著舉足輕重的作用，為探究隔離措施對控制疾病傳播的影響，文獻(xiàn)［7］提出了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上帶有隔離項(xiàng)及疫苗接種的SIQRS傳染病模型

其中，Sk(t)，Ik(t)，Qk(t)，Rk(t)分別表示t時(shí)刻度為k(=1，2，…，n)的易感者、感染者、隔離者、恢復(fù)者的密度，Θ(t)=表示任意一條給定的邊與一個(gè)染病者相連的概率，k(=1，2，…，n)表示節(jié)點(diǎn)的度（即一個(gè)人在單位時(shí)間內(nèi)接觸的人數(shù)），β表示傳播率系數(shù)，α是易感者的疫苗接種率，δ是恢復(fù)者的失去免疫率，σ是感染者的隔離率，γ是感染者的治愈率，ε是隔離者的治愈率。

事實(shí)上，許多傳染病在傳播過程均表現(xiàn)出時(shí)滯性，主要有潛伏期時(shí)滯、免疫期時(shí)滯、感染期時(shí)滯［8，9］等。文獻(xiàn)［10］分析了時(shí)滯、非線性發(fā)病率等因素對無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的SIS模型動(dòng)力學(xué)行為的影響。文獻(xiàn)［11］研究了無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上具有時(shí)滯的SEIRS傳染病模型，表明時(shí)滯對基本再生數(shù)無影響。文獻(xiàn)［12］通過選取時(shí)滯作為分支參數(shù)，得到了具有非線性發(fā)病率的時(shí)滯SEIS模型Hopf分支存在的條件。文獻(xiàn)［13］研究了預(yù)警意識、延遲提供預(yù)警資金對經(jīng)典SEIR模型動(dòng)力學(xué)行為的影響。這些研究在建立模型時(shí)均假設(shè)時(shí)滯為單值，然而許多病原體的感染期和潛伏期等會隨著環(huán)境的變化而發(fā)生變化，不同的感染者由于自身健康狀況的差異性，恢復(fù)期也會有所不同，為更好地揭示這種時(shí)滯現(xiàn)象，文獻(xiàn)［14］通過將t時(shí)刻的發(fā)病率假設(shè)為提出了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上具有分布時(shí)滯的SIR模型，其中表示感染個(gè)體在潛伏期的存活概率，可積函數(shù)f(τ)用來描述感染性隨時(shí)間變化的情況，滿足f(τ)≥0，τ∈[0，∞)且

由于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳染病模型維數(shù)較高，分析其動(dòng)力學(xué)行為較為困難，所以文獻(xiàn)［7］未討論地方病平衡態(tài)的穩(wěn)定性；文獻(xiàn)［14］所構(gòu)建的SIR模型未考慮疫苗注射、隔離措施等因素的影響，所以模型耦合度較低，故作者將模型解耦后利用基爾霍夫矩陣樹定理分析了模型的全局動(dòng)力學(xué)行為。本文綜合考慮了文獻(xiàn)［7］中的隔離措施、疫苗注射及文獻(xiàn)［14］中的時(shí)滯因素，提出了無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上帶有隔離項(xiàng)的時(shí)滯SIQRS模型

1 平衡態(tài)的存在性

顯然，模型（2）的初值滿足

定理1令(S1(t)，I1(t)，Q1(t)，R1(t)…，Sn(t)，In(t)，Qn(t)，Rn(t))為模型（2）滿足初值條件（3）的解，則當(dāng)t＞0時(shí)，有0＜Sk(t)，Ik(t)，Qk(t)，Rk(t)＜1(k=1，2，…，n)且0＜Θ(t)＜1。

證首先證明當(dāng)t＞0時(shí)，有Ik(t)＜1(k=1，2，…，n)。因?yàn)镮k(t)連續(xù)，所以存在一個(gè)ξ＞0，使得當(dāng)t∈(0，ξ)有Ik(t)＜1。假設(shè)當(dāng)t＞0時(shí)，Ik(t)=1(k=1，2，…，n)，則存在一個(gè)t0≥ξ＞0，使得Ik(t0)=1，且當(dāng)t∈(0，t0)有Ik(t)＜1。

接著證明當(dāng)t＞0時(shí)，有Ik(t)＞0(k=1，2，…，n)。對模型（2）的第二個(gè)式子兩邊從0到t積分可得

假設(shè)當(dāng)t＞0時(shí)，有Ik(t)=0(k=1，2，…，n)，則存在一個(gè)t1＞0，使得Ik(t1)=0。而由（4）式可知

與假設(shè)矛盾，所以當(dāng)t＞0時(shí)，有Ik(t)＞0(k=1，2，…，n)。

綜上可得，當(dāng)t＞0時(shí)，有0＜Ik(t)＜1(k=1，2，…，n)。

顯然，當(dāng)t＞0時(shí)，有0＜Θ(t)＜1。同理可證，當(dāng)t＞0時(shí)，有0＜，Qk(t)，Rk(t)＜1(k=1,2,…,n)。

使用歸一化條件，有

將（5）式代入Θ得

2 平衡態(tài)的全局穩(wěn)定性

2.1 無病平衡態(tài)的穩(wěn)定性

為書寫方便，這里將“～”省略。接著探究線性模型（8）的穩(wěn)定性，不妨假設(shè)其有如下形式的指數(shù)解

其中Sk0，Ik0，Qk0，Rk0(k=1，2，…，n)表示模型（8）的初值，將（9）式代入模型（8）得

其中，ρ為模型（8）的特征值。令

通過計(jì)算得：矩陣A有n重特征值-μ，n重特征值-(μ+δ+α)及n重特征值-(μ+ε)，為得到矩陣A的其余特征值，定義

通過相似變換，可得矩陣Λ的相似矩陣

顯然，矩陣Λ*有n-1重特征值-(σ+γ+μ)及特征值

假設(shè)η=a+bi，則有

分離實(shí)部和虛部得

接著，考慮無病平衡態(tài)的全局穩(wěn)定性。

接著，構(gòu)造一個(gè)滿足Mk(0)=Ik(0)≥0的等價(jià)系統(tǒng)如下

由比較原則得

令ε2→0有

2.2 地方病平衡態(tài)的穩(wěn)定性

定理5定義

定義李雅普諾夫函數(shù)

定的。對任意給定的ε＞0，定義

注1由

3 數(shù)值模擬

首先，利用BA算法［1］生成一個(gè)含有800個(gè)節(jié)點(diǎn)的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)Q，生成參數(shù)為m0=5，m=1，下面的數(shù)值模擬基于網(wǎng)絡(luò)Q進(jìn)行。

例1選取參數(shù)μ=0.5，δ=0.7，σ=0.8，γ=0.5，α=0.9，β=0.6，ε=0.9，f(τ)=0.5e-0.5τ，0≤τ≤∞，得R0=易感者、感染者、隔離者、恢復(fù)者隨時(shí)間變化的軌跡如圖1。從圖1可以看出無病平衡態(tài)全局漸近穩(wěn)定，這說明了定理3的有效性。當(dāng)τ分別取3、4、5，感染者的密度隨時(shí)間的變化軌跡如圖2，疾病最終消失。

圖1 R0＜1時(shí)的時(shí)間序列圖Fig.1 The time series with R0＜1

圖2 R0＜1時(shí)具有不同τ的時(shí)間序列圖Fig.2 The time series with differentτwhen R0＜1

例2選取參β=0.6，μ=0.05，δ=0.08，σ=0.06，γ=0.15，α=0.1，ε=0.1，f(τ)=0.5e-0.5τ，0≤τ≤易感者、感染者、隔離者、恢復(fù)者隨時(shí)間變化的軌跡如圖3。從圖3可看出地方病平衡態(tài)全局漸近穩(wěn)定，這說明了定理4的有效性。當(dāng)τ分別取3、4、5，感染者的密度隨時(shí)間的變化軌跡如圖4，疾病永久存在?！?，得

圖3 R0＞1時(shí)的時(shí)間序列圖Fig.3 The time series with R0＞1

圖4 R0＞1時(shí)具有不同τ的時(shí)間序列圖Fig.4 The time series with differentτwhen R0＞1

4 結(jié)語

本文綜合考慮了接觸異質(zhì)性、隔離措施、疫苗注射、時(shí)滯等因素，建立了更加符合實(shí)際的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上帶有隔離項(xiàng)的時(shí)滯SIQRS模型。分析了網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、時(shí)滯、隔離措施等因素對基本再生數(shù)R0大小的影響，發(fā)現(xiàn)基本再生數(shù)R0與網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性呈正相關(guān)、與隔離率σ呈負(fù)相關(guān)、與疾病的感染性f(τ)呈正相關(guān)。通過構(gòu)造合適的李雅普諾夫函數(shù)證明了平衡態(tài)的全局穩(wěn)定性，結(jié)果表明：當(dāng)R0≤1時(shí)，無病平衡態(tài)全局漸近穩(wěn)定，即疾病最終消失；否則地方病平衡態(tài)全局漸近穩(wěn)定，即疾病永久存在。利用MATLAB軟件對分析結(jié)果進(jìn)行了數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)當(dāng)R0＜1時(shí)，時(shí)滯減緩了疾病的傳播；當(dāng)R0＞1時(shí)，時(shí)滯促進(jìn)了疾病的傳播。

雖然隔離措施可以降低基本再生數(shù)，但由于隔離措施會對經(jīng)濟(jì)發(fā)展產(chǎn)生消極的影響，且當(dāng)基本再生數(shù)R0≤1時(shí)，隔離措施無法起到控制疾病傳播的作用，只有當(dāng)基本再生數(shù)R0＞1時(shí)，隔離措施可以在一定程度控制疾病的傳播。因此，選擇恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)實(shí)施隔離措施既能有效地控制疾病的傳播，也不會對經(jīng)濟(jì)發(fā)展產(chǎn)生太大的影響。

由于本文所建模型耦合度較高，所以如何構(gòu)造合適的李雅普諾夫函數(shù)來分析其動(dòng)力學(xué)行為有一定的挑戰(zhàn)性，故本文利用歸一化條件和線性變換將模型進(jìn)行降維及線性化處理。其次，由于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳染病模型維度較高，因此如何從理論上給出復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的時(shí)滯傳染病模型Hopf分支存在的條件是一個(gè)值得研究的課題。事實(shí)上，由于生物系統(tǒng)中環(huán)境的變化，疾病在傳播過程中或多或少都會受到隨機(jī)噪聲的影響，所以將隨機(jī)干擾引入到模型中是隨后的一個(gè)研究方向。