商 越，張 昱，馮 新，任顯祺，張浩杰

(大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024)

在大壩等大型水工結(jié)構(gòu)的動(dòng)力模型試驗(yàn)中，模型與原型的比尺通常高達(dá)幾十分之一到幾百分之一，為了使模型結(jié)構(gòu)能夠滿足全過(guò)程結(jié)構(gòu)模型動(dòng)力相似的試驗(yàn)要求，模型材料須具有較低的彈性模量和合適的密度，且脆性和斷裂特性應(yīng)與原型材料相近。經(jīng)過(guò)多年的發(fā)展，逐漸出現(xiàn)了一種以水泥、重晶砂、重晶石粉、礦石粉、速凝劑等材料配合產(chǎn)生的混凝土仿真材料，稱作仿真混凝土[1]。仿真混凝土材料與普通混凝土的動(dòng)態(tài)拉伸性能相似[2]，但比后者具有更高的密度、更低的彈性模量和抗拉、抗壓強(qiáng)度。

在結(jié)構(gòu)動(dòng)力模型試驗(yàn)的設(shè)計(jì)階段，掌握模型材料的動(dòng)態(tài)彈性模量至關(guān)重要。這一方面是因?yàn)樵秃湍Ｐ筒牧系膭?dòng)彈模之間的比尺對(duì)確定其相似關(guān)系非常關(guān)鍵，是決定模型設(shè)計(jì)最終結(jié)果的要素之一；另一方面對(duì)于模型試驗(yàn)中諸如數(shù)值仿真等其它工作，動(dòng)彈模也是必要的信息之一。

混凝土材料動(dòng)彈模的測(cè)定通常通過(guò)超聲脈沖法和共振法等非破壞性試驗(yàn)方法實(shí)現(xiàn)。仿真混凝土散料較為干松，振搗后表面易形成氣孔。超聲脈沖法對(duì)試件表面的平整度有較為嚴(yán)格的要求，因此這種方法對(duì)仿真混凝土并不適用。共振法按照支承方式的不同分為自由梁共振法和懸臂梁共振法。自由梁法有成熟的規(guī)范作為依據(jù)[3-6]，因此在普通混凝土動(dòng)彈模測(cè)定中有較好的應(yīng)用。然而自由梁法不適用于仿真混凝土材料動(dòng)彈模的測(cè)定，因?yàn)檫@種材料強(qiáng)度較低且密度較大，在測(cè)定過(guò)程中的移動(dòng)、敲擊可能在較大的自重影響下，導(dǎo)致試件表面的損壞和整體斷裂。在這種情況下，通過(guò)懸臂梁法測(cè)定仿真混凝土材料的動(dòng)彈性模量是較為可行的方案。

懸臂梁法在木材、金屬等韌性較好的材料的動(dòng)彈性模量測(cè)量中均有較廣的應(yīng)用[7-9]，也有學(xué)者將其應(yīng)用于混凝土材料動(dòng)彈模的測(cè)量中[10-11]。文獻(xiàn)[12-15]將仿真混凝土試件與普通混凝土基座澆筑實(shí)現(xiàn)了懸臂梁，并使用懸臂梁法測(cè)定了仿真混凝土的動(dòng)彈性模量。然而懸臂梁法沒(méi)有統(tǒng)一的規(guī)范作為依據(jù)，通過(guò)該方法測(cè)量仿真混凝土的動(dòng)彈性模量的準(zhǔn)確性和適用性仍然存疑。

本文將通過(guò)自由梁法測(cè)得的仿真混凝土動(dòng)彈模結(jié)果作為基準(zhǔn)值，對(duì)仿真混凝土懸臂梁的彎曲共振進(jìn)行了分析。通過(guò)對(duì)比自由梁、懸臂梁試驗(yàn)數(shù)據(jù)和數(shù)值模擬數(shù)據(jù)得到了規(guī)律性的結(jié)果，并在懸臂梁試驗(yàn)中基于鐵木辛柯梁與歐拉-伯努利梁的模型差異和非完全固支效應(yīng)的影響，對(duì)其結(jié)果進(jìn)行了修正，提高了計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。

1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

1.1 試件制備

在自由梁試驗(yàn)中，本文參考規(guī)范ASTM C215—19[6]，制備尺寸為100 mm×100 mm×400 mm的仿真混凝土標(biāo)準(zhǔn)試件，通過(guò)自由梁的沖擊共振法測(cè)量動(dòng)態(tài)彈性模量Ed和動(dòng)態(tài)剪切剛度模量Gd，并將其作為參考值和數(shù)值模擬的預(yù)設(shè)參數(shù)。在懸臂梁試驗(yàn)中，為了研究懸臂梁法測(cè)量仿真混凝土材料動(dòng)彈性模量的實(shí)用性，探討試件尺寸對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，試驗(yàn)設(shè)計(jì)了3組懸臂梁試件、1組自由梁，共4個(gè)工況分組，如表 1所示。

表1 自由梁、懸臂梁試驗(yàn)工況設(shè)置

在普通混凝土基座上預(yù)留了深度為200 mm的槽，澆筑仿真混凝土以形成懸臂梁，如圖1所示。

圖1 懸臂梁試件

仿真混凝土材料由重晶砂、重晶石粉、礦石粉、水泥、水和外加劑按照表 2的配比配制。其中，重晶砂的粒徑范圍為1.0 mm～2.5 mm，重晶石粉的粒徑范圍為0.0 mm～0.6 mm，礦石粉為325目石灰石粉，水泥為P.C 42.5復(fù)合硅酸鹽水泥。試件自澆筑后在模具中養(yǎng)護(hù)24 h后拆模，并繼續(xù)在平均溫度10℃、平均濕度60%的空氣中養(yǎng)護(hù)24 h。制備的仿真混凝土試件密度為2 950 kg/m3。

表2 仿真混凝土材料配比

1.2 試驗(yàn)方案

1.2.1 自由梁試驗(yàn)

自由梁試驗(yàn)過(guò)程參考美國(guó)規(guī)范ASTM C215—19中的沖擊共振法，彎曲共振試驗(yàn)的流程為：(1) 將尺寸b×h×l為100 mm×100 mm×400 mm的標(biāo)準(zhǔn)試件在下表面的0.224l和0.776l處(1階彎曲共振節(jié)點(diǎn))支承; (2) 在上表面距離一端5 mm處固定加速度傳感器，拾振方向與彎曲共振方向一致，并將傳感器、采集盒、電腦連接并保證測(cè)量系統(tǒng)處于工作狀態(tài); (3) 敲擊試件上表面中部，激起其1階彎曲共振模態(tài)，采集振動(dòng)的加速度時(shí)程。

扭轉(zhuǎn)共振試驗(yàn)的流程為：(1) 在標(biāo)準(zhǔn)試件底部，沿橫向的中心位置(1階扭轉(zhuǎn)共振節(jié)點(diǎn))固定試件; (2) 在距離試件一端0.224l長(zhǎng)，距離上表面h/6處固定加速度傳感器，并將傳感器、采集盒、電腦連接并保證測(cè)量系統(tǒng)處于工作狀態(tài); (3) 在距離試件另一端0.13±0.01l，距離底面h/6處敲擊試件，激起其1階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)，并采集振動(dòng)的加速度時(shí)程。

1.2.2 懸臂梁試驗(yàn)

懸臂梁法測(cè)點(diǎn)布設(shè)示意圖如圖2所示。懸臂梁試驗(yàn)的流程為：(1) 在從固定端到自由端長(zhǎng)度分別為0.5l、0.7l處和距自由端5 mm處(分別為2階、3階和1階橫振的振幅較大處)固定加速度傳感器; (2) 將傳感器、采集盒、電腦連接并保證測(cè)試系統(tǒng)處于工作狀態(tài); (3)分別使用木槌敲擊試件的0.5l、0.7l和距自由端5 mm處，激起試件前三階彎曲振動(dòng)模態(tài)。

圖2 懸臂梁法測(cè)點(diǎn)布設(shè)示意圖

1.3 數(shù)據(jù)處理

基于歐拉-伯努利(Euler-Bernoulli)梁的振動(dòng)微分方程，有懸臂條件下動(dòng)彈性模量的計(jì)算公式：

( 1 )

歐拉-伯努利梁模型過(guò)于理想化，忽略了剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，因此式( 1 )僅適用于細(xì)長(zhǎng)梁[8,16-17]，對(duì)于短而粗的梁或高階模態(tài)，該公式會(huì)帶來(lái)相當(dāng)大的誤差[17]。美籍俄裔科學(xué)家鐵木辛柯于1921年[19]提出了考慮了剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的鐵木辛柯梁模型。Sutherland等[20]基于鐵木辛柯梁振動(dòng)微分方程提出了關(guān)于歐拉-伯努利梁的頻率系數(shù)βnl的修正系數(shù)Dn，該修正系數(shù)是細(xì)長(zhǎng)比r/L、彈性模量和剪切模量比E/λG和模態(tài)階數(shù)n的函數(shù)，其中λ是切變系數(shù)，對(duì)于矩形截面取5/6。

通過(guò)式( 2 )便可計(jì)算頻率修正系數(shù)和修正的頻率：

(2)

式中:fn,Tim，fn,E-B，Cn,f分別為第n階的鐵木辛柯梁頻率，歐拉-伯努利梁頻率和頻率修正系數(shù)。

由試驗(yàn)測(cè)得的懸臂梁固有頻率fe和數(shù)值模擬的結(jié)果fs都更接近于鐵木辛柯梁頻率fTim，因此通過(guò)試驗(yàn)測(cè)得懸臂梁彎曲振動(dòng)的固有頻率fe后便可以通過(guò)式(3)計(jì)算修正后的動(dòng)彈性模量。

(3)

2 試驗(yàn)結(jié)果與分析

2.1 自由梁法與修正系數(shù)

通過(guò)自由梁法測(cè)得試件的彎曲共振頻率和扭轉(zhuǎn)共振頻率，并計(jì)算動(dòng)態(tài)彈性模量和動(dòng)態(tài)剪切剛度模量的基準(zhǔn)值如表3所示。將試驗(yàn)結(jié)果取均值得到動(dòng)彈性模量Ed的基準(zhǔn)值為1 181.67 MPa；動(dòng)剪切剛度模量Gd的基準(zhǔn)值為445.67 MPa；動(dòng)泊松比μd為0.326。根據(jù)自由梁法測(cè)得的基準(zhǔn)值繪制修正系數(shù)關(guān)于細(xì)長(zhǎng)比r/L和模態(tài)階數(shù)n的曲線，如圖3所示?？梢钥吹诫S著振動(dòng)階次的增加和試件細(xì)長(zhǎng)比的增大，修正系數(shù)隨之減小。

表3 自由梁法測(cè)定結(jié)果

圖3 懸臂梁法的頻率修正系數(shù)

2.2 等效懸臂長(zhǎng)度

理想的懸臂條件是難以實(shí)現(xiàn)的，由于混凝土基座的剛性并不是無(wú)限大的，因此基座與試件協(xié)同振動(dòng)造成的非完全固支效應(yīng)則不可忽視。

為了研究試驗(yàn)所采用的懸臂條件與理想懸臂條件間存在的差異，在有限元軟件中分別模擬了兩種固支條件如圖4所示。

圖4 數(shù)值分析模型示意圖

根據(jù)動(dòng)彈性模量的計(jì)算公式(1)得知，假設(shè)試件彈性模量、截面尺寸不變時(shí)，有如下的關(guān)系式：

(4)

其中:lb是實(shí)際固支條件下的試件等效懸臂長(zhǎng)度，la是理想固支條件下的試件長(zhǎng)度，而fa、fb分別為理想和實(shí)際懸臂條件下數(shù)值模擬的頻率。通常情況下lb的值大于la，當(dāng)以lb取代la作為計(jì)算長(zhǎng)度時(shí)，相當(dāng)于對(duì)動(dòng)彈模計(jì)算值的放大，放大系數(shù)Cl可以寫為Cl=(lb/la)4。計(jì)算各工況下各長(zhǎng)度的放大系數(shù)值，列為表4?？梢钥吹?，隨著試件長(zhǎng)度的增加或振型階次的增大，放大系數(shù)Cl隨之降低。放大系數(shù)Cl越大則意味著非完全固支效應(yīng)越明顯。

表4 不同工況與試件長(zhǎng)度等效懸臂長(zhǎng)度放大系數(shù)Cl

2.3 懸臂梁試驗(yàn)

在懸臂梁試驗(yàn)中，用木槌多次敲擊測(cè)量點(diǎn)，取波形時(shí)程中一個(gè)單脈沖，計(jì)算自功率譜如圖5所示，并拾取前3階共振頻率。

圖5 C1工況400 mm試件彎曲共振功率譜

將試驗(yàn)測(cè)得的試驗(yàn)頻率修正至歐拉-伯努利頻率后，將等效懸臂長(zhǎng)度作為計(jì)算長(zhǎng)度，計(jì)算了各工況下前三階頻率對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)彈性模量。

2.4 懸臂梁試驗(yàn)結(jié)果討論與分析

將試驗(yàn)測(cè)得的前三階固有頻率與數(shù)值分析的結(jié)果作對(duì)比，如圖6所示。

圖6 試驗(yàn)頻率和數(shù)值分析頻率的對(duì)比

盡管數(shù)值分析中實(shí)體梁的振動(dòng)和物理試驗(yàn)中試件振動(dòng)狀態(tài)都更接近于鐵木辛柯梁模型，但試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值結(jié)果仍然存在一定的差異。通過(guò)對(duì)比懸臂梁的試驗(yàn)頻率與數(shù)值模擬頻率，發(fā)現(xiàn)通過(guò)試驗(yàn)得到的2階、3階共振頻率略高于通過(guò)數(shù)值分析得到的結(jié)果，與馬良筠等[21]的試驗(yàn)結(jié)果反映的趨勢(shì)一致。關(guān)于其成因，有學(xué)者在動(dòng)態(tài)加載試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)仿真混凝土的動(dòng)態(tài)彈性模量隨著應(yīng)變速率的增加而增大[2]；而另有學(xué)者發(fā)現(xiàn)黏彈性會(huì)導(dǎo)致懸臂梁固有頻率的降低[22]，因此造成這種現(xiàn)象的原因尚未有統(tǒng)一的結(jié)論。

通過(guò)試驗(yàn)得到的1階共振頻率則普遍低于通過(guò)數(shù)值分析得到的結(jié)果，根據(jù)圖6(b)和圖6(d)發(fā)現(xiàn)，二者的差異隨長(zhǎng)高比或長(zhǎng)細(xì)比的增大而減小，這與Dawson等[23]在預(yù)扭轉(zhuǎn)的矩形截面懸臂梁試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)的趨勢(shì)吻合。Dawson等[23]認(rèn)為雖然鐵木辛柯梁理論考慮了剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，但仍然存在未知的次級(jí)效應(yīng)，因此會(huì)存在這樣的差異。在試件長(zhǎng)高比增大到7～8(長(zhǎng)細(xì)比為24.2～27.7)時(shí)，可以忽略試驗(yàn)與數(shù)值分析的結(jié)果之間的差異。

對(duì)比C1工況、C2工況和C3-b工況的試驗(yàn)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)截面尺寸的差異對(duì)結(jié)果的影響較小，而試件長(zhǎng)高比或長(zhǎng)細(xì)比對(duì)結(jié)果的影響較大：1階～3階固有頻率對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)彈性模量均隨著長(zhǎng)高比的增加而增加。綜合試驗(yàn)結(jié)果，可以得到2階和3階固有頻率對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)彈性模量Ed,2、Ed,3分別比1階固有頻率對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)彈性模量Ed高55.16%和56.06%。各工況下試件動(dòng)彈模隨長(zhǎng)高比變化的關(guān)系如圖7所示。

圖7 試件長(zhǎng)高比對(duì)動(dòng)彈模測(cè)定結(jié)果的影響

從圖7中可以看到，當(dāng)試件長(zhǎng)高比為8時(shí)截面尺寸對(duì)測(cè)定結(jié)果的影響較為顯著，這可能是因?yàn)樵跀?shù)據(jù)處理中，C1工況組(100 mm×100 mm)長(zhǎng)試件的功率譜譜線密度較小導(dǎo)致了最終測(cè)定結(jié)果的偏大；而C2工況組(50 mm×50 mm)長(zhǎng)試件因振搗難度大，密實(shí)后內(nèi)部空腔累積造成最終測(cè)定結(jié)果偏小。綜合考慮試驗(yàn)測(cè)得的動(dòng)彈性模量，通過(guò)最小二乘擬合，得到1階～3階動(dòng)彈性模量隨長(zhǎng)高比變化的線性擬合方程。對(duì)于1階頻率對(duì)應(yīng)的動(dòng)彈性模量，當(dāng)忽略長(zhǎng)高比為3的異常值時(shí)，Pearson相關(guān)系數(shù)R最高，達(dá)到了0.95。1階～3階頻率對(duì)應(yīng)的動(dòng)彈性模量隨長(zhǎng)高比變化的經(jīng)驗(yàn)公式如下所示：

Ed,1=94.5l/h+479.6

(5)

Ed,2=113.7l/h+952.4

(6)

Ed,3=24.9l/h+1508.1

(7)

式(5)—式(7)表現(xiàn)出了動(dòng)彈性模量的測(cè)定值與試件長(zhǎng)高比的相關(guān)關(guān)系。顯然，長(zhǎng)高比l/h對(duì)2階共振頻率對(duì)應(yīng)的動(dòng)彈模測(cè)定結(jié)果影響最顯著，對(duì)3階共振頻率對(duì)應(yīng)的動(dòng)彈模測(cè)定結(jié)果影響最小，而對(duì)于1階頻率對(duì)應(yīng)的動(dòng)彈性模量與長(zhǎng)高比間的線性關(guān)系最明顯。

3 結(jié) 論

(1) 數(shù)值分析的結(jié)果表明，非完全固支效應(yīng)隨著試件長(zhǎng)度的降低和模態(tài)階數(shù)的增加而減小。

(2) 通過(guò)試驗(yàn)手段與通過(guò)數(shù)值分析得到的懸臂梁共振頻率結(jié)果存在差異。通過(guò)試驗(yàn)得到的2階、3階共振頻率略大于數(shù)值分析的結(jié)果；而1階共振頻率則相反，差異的大小隨試件長(zhǎng)高比的增大而減小，至長(zhǎng)高比為7～8時(shí)趨于零。

(3) 基于懸臂梁法測(cè)定仿真混凝土的動(dòng)態(tài)彈性模量，測(cè)量結(jié)果主要受試件長(zhǎng)高比的影響，其他尺寸參數(shù)的影響不顯著。

(4) 采用懸臂梁法測(cè)定仿真混凝土的動(dòng)彈性模量，試驗(yàn)結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)值存在差異，即使考慮了傳統(tǒng)梁模型的修正和非完全固支效應(yīng)的修正后，差異依然存在。當(dāng)通過(guò)1階頻率計(jì)算動(dòng)彈模Ed時(shí)，與標(biāo)準(zhǔn)值的差異與試件的長(zhǎng)高比有明顯的相關(guān)性，隨著試件長(zhǎng)高比增大至7～8，差異趨于零；通過(guò)2階、3階頻率計(jì)算得到的動(dòng)彈模則分別高于1階55.16%和56.06%。

以上結(jié)論表明，在懸臂梁試驗(yàn)中當(dāng)試件的長(zhǎng)高比至少為7時(shí)可通過(guò)1階共振頻率較為準(zhǔn)確地計(jì)算動(dòng)彈性模量，為懸臂法測(cè)定仿真混凝土動(dòng)彈模提供了依據(jù)。試件制備難度隨著長(zhǎng)高比的增大而加劇，因此通過(guò)短試件和動(dòng)彈模隨長(zhǎng)高比變化的經(jīng)驗(yàn)公式預(yù)測(cè)長(zhǎng)試件的測(cè)定結(jié)果將會(huì)帶來(lái)較大的便利，這就要求通過(guò)大量的試驗(yàn)去擬合更準(zhǔn)確的經(jīng)驗(yàn)公式。