張 瑜，張 峰，郭 芮，蘇 瑛，張云龍，許增奇，王阜超

（西安應(yīng)用光學(xué)研究所，陜西 西安 710065）

引言

非球面光學(xué)元件能夠以較少的光學(xué)元件有效校正像差、改善像質(zhì)、擴大視場、增大作用距離、減少光能損失，進而獲得高品質(zhì)的圖像效果和光學(xué)特性，同時可縮短系統(tǒng)總體長度，并減小系統(tǒng)質(zhì)量，因而在航空航天、國防軍工以及高科技民用領(lǐng)域的應(yīng)用需求日益增長[1-4]。其中二次非球面由于加工工藝穩(wěn)定，檢測手段成熟，能夠滿足各種型號任務(wù)的工程化應(yīng)用需求[5-7]。磁流變拋光作為一種確定性加工方法，具有去除函數(shù)穩(wěn)定、加工精度高、加工表面質(zhì)量高和表面修形能力強等優(yōu)勢，能夠加工玻璃、熔石英、藍寶石和硒化鋅等材質(zhì)的光學(xué)元件，近年來在高精度非球面光學(xué)元件加工領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[8-12]。

使用磁流變拋光技術(shù)加工高精度非球面光學(xué)元件，理想情況下工件完成定位夾緊后，機床坐標系下拋光輪最低點在工件特征點的正上方，因此工件必須精確定位。磁流變拋光加工工件位姿的精確確定由對刀工藝實現(xiàn)，包括調(diào)平、找正和對刀3個環(huán)節(jié)。傳統(tǒng)的定位方式利用百分表或千分表及工裝對工件手動進行精確調(diào)平及找正，之后使用高精度位移傳感器或精密測頭測量工件位姿，計算工件幾何特征點坐標，進而建立加工工件坐標系[13-15]。使用高精度位移傳感器和精密測頭對刀時需要轉(zhuǎn)換拋光輪最低點和測頭的位置關(guān)系，本文以二次回轉(zhuǎn)對稱拋物面為例，研究使用“刀具”即拋光輪對刀找正工件位姿的簡易方法。

1 對刀原理

二次曲線一般方程如下式所示[16]：

式中：c 為頂點曲率； K 為二次曲線常數(shù)。當K=-1時，曲線為拋物線，方程如下：

理想情況下，建立的二次回轉(zhuǎn)對稱非球面工件特征點的工件坐標系與機床坐標系在原點位置XOY平面平行，XOZ、YOZ平面重合。機床坐標系下工件二次回轉(zhuǎn)對稱拋物面方程為

實際使用手動方式對工件精確調(diào)平及找正后，工件位置相比理想位置在X方向和Y方向均有一定的偏置量，如圖1(a)所示。圖1(a)中虛線為工件理想位置，實線為工件實際位置，一般認為非球面的頂點為特征點。該位姿時在機床坐標系下工件非球面方程為

式中：a 為工件X方向偏置量；b 為工件Y方向偏置量。

機床坐標系下取y=0平面與(4)式二次回轉(zhuǎn)對稱拋物面相交，見圖1(a)所示，截面曲線如圖1(b)所示。

圖1 工件偏置分析Fig.1 Analysis of workpiece offset

下面分析工件X方向偏置。實際工件位置截面曲線方程為

本文使用拋光輪對刀校正工件位置。機床的拋光輪可在Z軸升降、Y軸平移、A軸和B軸旋轉(zhuǎn)運動，工件可在X軸平移和C軸旋轉(zhuǎn)運動。假設(shè)工件到達理想位置后（如圖2中虛線），生成磁流變拋光加工程序，在加工程序中任取y=0截面上一點，在保證拋光輪Z方向安全距離前提下，驅(qū)動機床運行達到該點，滿足除Z坐標之外的其余坐標值，工件沿X軸運動距離為 d1。圖2中實線為工件實際位置，工件截面曲線方程為

圖2 對刀取點位置1Fig.2 Tooling setting position 1

數(shù)控加工時，拋光輪連桿方向為拋光輪與工件表面接觸點法向方向，接觸點為圖2中點1(X1，Z1)。由于工件實際位置發(fā)生偏置，拋光輪仍與工件表面相切，切點在拋光輪上發(fā)生變化，實際接觸點為圖2中點3(X3，Z3)，且點3法向與拋光輪連桿方向產(chǎn)生偏轉(zhuǎn)。圖2中點2(X2，Z2)為X=X1時工件截面曲線上的點。

手動驅(qū)動拋光輪沿Z軸運動到工件表面，見圖2所示，通過厚度均勻的柔性塞尺判斷拋光輪是否剛好接觸工件表面。記錄該點在機床坐標系下Z坐標值 Z3，拋光輪連桿長度為L，拋光輪半徑為r，拋光輪連桿與Z軸夾角為 β1，該點在機床坐標系下X坐標值為 X1=(L+r)sinβ1。分析圖2中點3與點2的坐標關(guān)系，則(6)式的全微分方程如下：

圖2中點2與點1的X坐標值相同，即 X2=X1。當工件截面曲線上點2發(fā)生變化，即 ΔX2移動至點3時，Z坐標產(chǎn)生的變化近似值為

分析拋光輪位于圖2中虛線所在位置時的圓方程，如下式所示：

式中：m=Lsinβ1。由于工件的偏置引起拋光輪沿Z方向平移變化，移動到圖2中實線所示位置，此時圓方程為

式中 p 為圓心沿Z軸的移動量。方程（10）的全微分方程為

由于表示拋光輪的圓和工件截面曲線在點3相切，則兩曲線在該點切線相同。將該點坐標(X3，Z3)代入(7)式和(11)式，可得：

將(12)式代入(10)式，并整理可得：

通過(13)式可得 X3與 偏置量 a的關(guān)系，進一步可得 ΔX2=X3-X1。由于點3在工件截面曲線上，滿足(6)式關(guān)系，則有：

同理，在加工程序中另取一點，驅(qū)動機床運動至指定位置，如圖3所示。工件沿X軸運動距離為d2，工件截面曲線方程如下所示：

圖3 對刀取點位置2Fig.3 Tooling setting position 2

手動驅(qū)動拋光輪沿Z軸運動到工件表面，記錄該點機床坐標系下Z坐標，則該點機床坐標系下X坐標=-(L+r)sinβ2。

經(jīng)過與對刀位置1相同的分析，可得到 X3′與偏置量 a 的關(guān)系，如(16)式所示，進而可得ΔX2′=。

由于點3'在工件截面曲線上，滿足(15)式關(guān)系，則有：

當工件X方向偏置 a =0時，(14)式和(17)式中ΔX2和 Δ X2′均為0。實際工件經(jīng)過調(diào)平和找正后，偏置量a 在0.1 mm級別且通常 a ＜1mm?？紤](13)式和(16)式求解復(fù)雜且存在多個解，通過選定工件并設(shè)定對刀位置，分別給定 a值，如表1所示。使用代入的方法可分別求出對應(yīng)的 X3，進而求出對應(yīng)的ΔX2。

由表1可看出，當| a|≤1時 ，Δ X2與a近乎為等比例關(guān)系，比例因子 κ值恒定。則(14)式中Δ X2可表示為

表1 Δ X2與a的關(guān)系Table 1 Relationship between Δ X2 and a

對于指定的非球面工件，當選定其對刀位置后，可通過令 a=1，將其他對刀位置相關(guān)數(shù)據(jù)代入(13)式中求出 X3，再結(jié)合 ΔX2=X3-X1與(18)式，即可求出κ 值。

若對刀取點位置1和2為對稱位置，則滿足：

同時也滿足(14)式和(17)式中Δ X2=ΔX2′=κa，再結(jié)合(19)式和(20）式可求得偏置量a，如下式所示：

使用同樣的方法可求出Y方向的偏置量b ，如下式所示：

式中：M 為Y方向連桿長度； α1為拋光輪連桿與Z軸夾角；f1為 工件沿Y軸運動距離；ε為Y方向偏置量 b引 起的 Δ Y2與 b的比例因子。

使用拋光輪校正工件位置的對刀方法，定位精度主要受工件調(diào)平找正誤差、測量誤差以及非球面幾何誤差影響。本文采用常用的找正和調(diào)平方式定位工件，控制了工件的傾斜誤差。機床運動軸帶動拋光輪與工件表面剛好接觸時，機床的定位誤差以及接觸狀態(tài)的判定形成的隨機測量誤差，可通過重復(fù)測量的方式降低誤差影響。在對刀理論的實際應(yīng)用中，發(fā)現(xiàn)同一工件在完成一次調(diào)平、找正和對刀后，經(jīng)過離線檢測再次加工時，只需要進行調(diào)平和找正便可完成定位。證明了非球面的幾何誤差為固有誤差，通過精密銑磨成形、研磨和三坐標測量等加工和檢測手段可降低該誤差影響，也可通過偏置量計算方法的優(yōu)化進一步提高本工藝方法精度。

2 實驗驗證

針對一塊Φ230 mm的回轉(zhuǎn)對稱二次非球面展開磁流變拋光驗證實驗。非球面曲面方程見(1)式，其中 c=0.0024888，K 為二次項系數(shù)，K=-1。工件具體參數(shù)如表2所示。

表2 Φ230 mm非球面鏡參數(shù)表Table 2 Parameters of Φ 230 mm aspheric mirror

實驗所用設(shè)備為國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)自主研發(fā)的KDUP系列磁流變拋光機，拋光輪直徑為Φ200 mm，如圖4所示。

圖4 非球面磁流變對刀驗證Fig.4 Experimental verification of aspheric magnetorheological polishing tooling

工件精確調(diào)平、找正后，實施對刀驗證。以某工件位置對刀校正為例，所取對刀點在機床坐標系下除Z坐標和C坐標外的坐標值如表3所示。

表3 對刀點坐標值Table 3 Coordinate values of tooling setting position

取X、Y方向?qū)Φ饵cZ坐標如表4所示。(21)式中 κ值計算結(jié)果見表1所示，按照(21)式計算得到工件在X方向相對理想位置的偏置量a，判斷偏置方向后，將 a設(shè)置到工件坐標系中，再次測量2個對刀點的Z坐標，見表4所示。經(jīng)過一次調(diào)整后，工件在X方向的偏置量降低至0.004 mm。使用同樣的方法校正工件在Y方向的偏置，使工件位姿接近理想狀態(tài)，然后建立加工工件坐標系。

表4 偏置量計算Table 4 Offset calculation

3 結(jié)果討論

工件坐標系建立完成后，開始磁流變拋光加工，所選工件加工前的面形精度為RMS＞λ/7，如圖5(a)所示。應(yīng)用磁流變拋光的非球面修形是一個確定性加工過程，可根據(jù)工件面形檢測結(jié)果進行。因此，一次修形結(jié)束后必須準確測得工件的面形結(jié)果，然后再進行下一次修形，實驗中多次驗證了上述對刀方法校正工件位置的有效性。經(jīng)過3次磁流變修形后工件的面形精度達到RMS≤λ/40，如圖5(b)所示。對比加工前與加工后工件面形的誤差分布可見，磁流變拋光加工消除了指定區(qū)域的面形誤差，工件面形精度收斂至較高水平。由此可見，校正后的工件位置達到或接近理想位置，很好地起到了對正檢測數(shù)據(jù)與磁流變?nèi)コ瘮?shù)駐留時間分布的作用。

圖5 工件加工前、后的面形精度Fig.5 Surface shape accuracy of workpiece before and after magneto-rheological polishing

4 結(jié)論

本文以工程應(yīng)用中回轉(zhuǎn)對稱二次拋物面為例，運用理論分析的方法研究了工件定位偏置的簡易消除方法，在對刀階段使用拋光輪校正工件位置，并在Φ230 mm熔石英樣件上成功驗證了對刀理論。分別在X方向和Y方向以小于3次的調(diào)整次數(shù)校正工件達到或接近理想位置，實現(xiàn)了2個方向偏置量均低于0.009 mm，然后通過磁流變拋光實驗進一步驗證，加工后工件面形得到有效收斂。后續(xù)將進一步完善該方法，提高工程應(yīng)用中非球面磁流變拋光的加工精度及效率。