董雅文 王鴻飛 張寶鋒 宋栓軍

（①西安工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，陜西 西安 710048；②西安理工大學(xué)機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，陜西 西安 710048）

摩擦現(xiàn)象存在于生活中的方方面面，在不同情況下，摩擦發(fā)揮的作用不同。在某些情況下，摩擦是有利的，如在路上高速行駛的汽車，正是因?yàn)槟Σ亮囕v才能向前走，在緊急情況下才能剎車。但在多數(shù)情況下，沒有摩擦，效果更好，如傳動(dòng)軸帶動(dòng)軸承高速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，滾珠和內(nèi)外圈的摩擦，使整個(gè)系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差，降低了整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)精度，如果沒有摩擦的影響，傳動(dòng)精度會(huì)更高并且系統(tǒng)壽命會(huì)更長(zhǎng)。當(dāng)今，工業(yè)機(jī)器人技術(shù)發(fā)展如火如荼，而摩擦是影響機(jī)器人關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)精度的主要原因，尤其在一些對(duì)機(jī)器人工作精度有一定要求的場(chǎng)合更是如此。對(duì)機(jī)器人關(guān)節(jié)準(zhǔn)確建?？梢蕴岣哌\(yùn)動(dòng)精度和平穩(wěn)性，并且可以延長(zhǎng)連續(xù)工作時(shí)間和壽命，因此，機(jī)器人關(guān)節(jié)摩擦引起了越來越多專家學(xué)者的關(guān)注。

為了研究關(guān)節(jié)摩擦對(duì)運(yùn)動(dòng)精度的影響，并對(duì)機(jī)器人進(jìn)行有效控制，學(xué)者們對(duì)機(jī)器人關(guān)節(jié)摩擦問題進(jìn)行了相關(guān)研究。Stribeck在1902年提出了Stribeck摩擦模型，LI C B等在1982提出了一個(gè)指數(shù)模型描述Stribeck現(xiàn)象[1]，該模型描述了低速時(shí)的摩擦情況，但缺乏對(duì)摩擦動(dòng)態(tài)特性的描述。Dahl Philip R等在1976年提出Dahl摩擦模型[2]，Dahl是最簡(jiǎn)單的動(dòng)態(tài)摩擦模型，該模型避免了在靜態(tài)狀況下兩階段間切換不連續(xù)的問題，但沒有描述低速時(shí)的摩擦現(xiàn)象。Armstrong-Helouvry B等在1994年提出七參數(shù)模型[3]，該模型描述了摩擦力在不同階段的摩擦，但該模型是一個(gè)離散的動(dòng)態(tài)摩擦模型，而且涉及到兩個(gè)階段之間轉(zhuǎn)換不合理的問題，故在具體應(yīng)用中受到了限制。Canudas-de-Wit C等在1995年提出了LuGre模型[4]，該模型可以描述摩擦力在不同階段的切換，更能符合實(shí)際摩擦現(xiàn)象，但由于其參數(shù)很難辨識(shí)，故在實(shí)際應(yīng)用中受到限制。王毅等建立了一個(gè)基于Simulink的仿真摩擦模型，分析摩擦對(duì)伺服系統(tǒng)的影響，得到了與理論分析一致的結(jié)果[5]。王霞等建立了動(dòng)態(tài)仿真摩擦模型，分析了摩擦力對(duì)高精度伺服控制系統(tǒng)的影響[6]。劉麗蘭等系統(tǒng)地介紹了常見的6種靜態(tài)摩擦模型和7種動(dòng)態(tài)摩擦模型，并對(duì)每種模型進(jìn)行了詳細(xì)的說明[7]。許宏等對(duì)Stribeck摩擦模型進(jìn)行了模糊PID控制，對(duì)無刷直流電機(jī)控制系統(tǒng)進(jìn)行了仿真，解決了控制系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行中存在摩擦負(fù)載的問題[8]。徐智浩等建立了一種自適應(yīng)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器，并建立了動(dòng)態(tài)LuGre摩擦的機(jī)械臂模型，解決了由于摩擦非線性導(dǎo)致機(jī)械臂控制精度低的問題[9]。朱松青等建立了一個(gè)混合摩擦模型來描述關(guān)節(jié)摩擦問題，以提高機(jī)器人動(dòng)力學(xué)建模精度和控制精度[10]。

考慮到單一的摩擦模型不足以解決復(fù)雜的關(guān)節(jié)摩擦問題，從而會(huì)影響動(dòng)力學(xué)建模精度，導(dǎo)致控制精度降低。為了更加準(zhǔn)確地描述機(jī)器人關(guān)節(jié)內(nèi)部的摩擦特性，本文采用混合摩擦模型對(duì)機(jī)械臂關(guān)節(jié)進(jìn)行建模，使用MATLAB/Simulink模塊對(duì)該摩擦模型進(jìn)行仿真分析。

1 機(jī)器人關(guān)節(jié)混合摩擦模型建立

機(jī)器人關(guān)節(jié)主要由伺服電機(jī)、減速器、力矩傳感器和編碼器組成，其模型如圖1所示。機(jī)器人關(guān)節(jié)作為連接兩機(jī)械臂和力矩傳輸?shù)闹匾考?，相?duì)于其他機(jī)械傳動(dòng)結(jié)構(gòu)，機(jī)器人關(guān)節(jié)的輸出端轉(zhuǎn)速較低，在一些特殊作業(yè)中換向頻繁，并且機(jī)器人關(guān)節(jié)內(nèi)部結(jié)構(gòu)復(fù)雜，摩擦副較多。摩擦對(duì)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)精度、穩(wěn)定性和可靠性有重要的影響，高速時(shí)關(guān)節(jié)內(nèi)部的摩擦不太明顯，但在低速高精度的情況下，摩擦的非線性影響較為明顯?？梢酝ㄟ^改善機(jī)械結(jié)構(gòu)或者對(duì)伺服系統(tǒng)進(jìn)行控制來降低摩擦對(duì)系統(tǒng)的影響，但第一種方法由于技術(shù)工藝和材料的限制，不容易實(shí)現(xiàn)，第二種方法對(duì)控制器進(jìn)行控制，相對(duì)第一種方法更經(jīng)濟(jì)有效，但第二種方法需要對(duì)關(guān)節(jié)摩擦進(jìn)行建模，因此，包含摩擦的關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)建模尤為重要。

圖1 機(jī)器人關(guān)節(jié)模型

對(duì)于機(jī)器人關(guān)節(jié)伺服系統(tǒng)，位置狀態(tài)方程表達(dá)如下。

式中：Ff(t)為摩擦項(xiàng)；Ku為功率放大器放大系數(shù)；R為電樞電阻；Km為電機(jī)力矩系數(shù)；Ce為電壓反饋系數(shù)；J為電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；θ˙(t)為轉(zhuǎn)速；u(t)為控制輸入。

1.1 機(jī)器人關(guān)節(jié)混合摩擦機(jī)理

針對(duì)機(jī)器人關(guān)節(jié)伺服系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的摩擦項(xiàng)為Ff(t)，本文在朱松青等[10]研究成果的基礎(chǔ)上，提出一種基于靜摩擦、庫倫摩擦和Lorentzian模型的機(jī)器人關(guān)節(jié)混合摩擦模型以準(zhǔn)確描述關(guān)節(jié)內(nèi)的摩擦特性，其中Lorentzian摩擦模型是對(duì)Stribeck摩擦模型的改進(jìn)，包含了粘性摩擦，該模型可以較好地描述機(jī)器人關(guān)節(jié)低速時(shí)的摩擦特性，并且可以以90%的準(zhǔn)確度來描述關(guān)節(jié)部位的實(shí)際摩擦現(xiàn)象[7]，其混合摩擦模型曲線如圖2所示。

圖2 混合摩擦模型曲線

1.2 機(jī)器人關(guān)節(jié)混合摩擦模型

當(dāng)機(jī)器人關(guān)節(jié)間有相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)而未轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)主要為靜摩擦，函數(shù)關(guān)系式表示如下[7]。

式中：Fj為關(guān)節(jié)靜摩擦力矩；Fe為外力矩；Fm為最大靜摩擦力矩；sign()為符號(hào)函數(shù)(Fe>0，sign(Fe)=1；Fe=0，sign(Fe)=0；Fe<0，sign(Fe)=?1)。

當(dāng)機(jī)器人關(guān)節(jié)低速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，關(guān)節(jié)內(nèi)的摩擦主要表現(xiàn)為滑動(dòng)邊界摩擦，函數(shù)關(guān)系式表示如下[7]。

式中：Fc為庫倫摩擦力矩；μ為摩擦系數(shù)；Fn為法向力矩。

當(dāng)機(jī)器人關(guān)節(jié)由靜摩擦轉(zhuǎn)換到滑動(dòng)摩擦?xí)r，摩擦并非是非連續(xù)的。摩擦力克服靜摩擦力后不斷下降，在低速時(shí)克服摩擦力使其隨著速度的增加而減小，此時(shí)摩擦為兩接觸面間相對(duì)速度的連續(xù)函數(shù)，這一現(xiàn)象稱為負(fù)斜率摩擦現(xiàn)象。為了充分表達(dá)這一轉(zhuǎn)換過程以及機(jī)械臂運(yùn)行時(shí)的黏滯摩擦，可應(yīng)用Lorentzian摩擦模型[7]。

式中：Fs為Stribeck摩擦力矩；kv為黏性摩擦系數(shù)；vs為Stribeck速度；v是相對(duì)滑動(dòng)速度。

由式（2）～（4），可得機(jī)器人關(guān)節(jié)的混合摩擦模型如式（5）所示。

從機(jī)器人關(guān)節(jié)摩擦模型關(guān)系式可以看出，混合摩擦模型為外力矩Fe、相對(duì)速度v和法向力Fn的函數(shù)?；旌夏Σ聊Ｐ偷哪Σ燎€如圖2所示，該曲線既表述了摩擦隨速度的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)特性，又體現(xiàn)了摩擦的靜態(tài)特性，且通過Stribeck效應(yīng)更真實(shí)地體現(xiàn)了關(guān)節(jié)在低速段的摩擦特性，提高了關(guān)節(jié)摩擦建模精度。將式（5）代入式（1）中，可得到含摩擦的關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)方程。

2 模型求解和仿真

為了驗(yàn)證本文建立的基于機(jī)器人關(guān)節(jié)混合摩擦模型的可靠性及準(zhǔn)確性，使用MATLAB/Simulink對(duì)該混合摩擦模型進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模仿真[11]，其仿真框圖如圖3所示。

圖3 MATLAB/Simulink仿真框圖

設(shè)該仿真系統(tǒng)參數(shù)：R=7.77Ω，Km=6N·m/A，Ce=1.2V/(rad/s)，J=0.6kg·m2，Ku=11；摩擦模型參數(shù)：取Fc=15N·m，F(xiàn)m=20N·m，a1=1.0，kv=2.0Nms/rad，Vs=0.05。

低速正弦跟蹤指令信號(hào)為y(t)=0.1sin(2πt)，仿真運(yùn)行時(shí)間為3 s，采用PD控制，取Kp=200，Kd=40，機(jī)器人關(guān)節(jié)角速度和摩擦力的仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 混合摩擦模型仿真結(jié)果

由圖4可以看出，在輸出關(guān)節(jié)角速度很小時(shí)，摩擦力為最大靜摩擦力，此時(shí)摩擦力的大小主要與外力Fe大小有關(guān)。當(dāng)角速度在0～0.05 rad/s時(shí)，摩擦力由靜摩擦向動(dòng)摩擦轉(zhuǎn)換，在兩接觸面剛產(chǎn)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)為邊界潤(rùn)滑狀態(tài)，由于速度很低，故在兩接觸面間潤(rùn)滑劑填充不完全，只能依靠邊界部分潤(rùn)滑以減小磨損。此時(shí)為邊界摩擦狀態(tài)，并且在低速下隨著速度的增大而減小，為速度的連續(xù)函數(shù)，這種現(xiàn)象稱為Stribeck現(xiàn)象。隨著速度的增加，部分潤(rùn)滑劑填充在兩接觸面間，此時(shí)為部分流體潤(rùn)滑階段，由于潤(rùn)滑劑的黏性，這個(gè)階段的摩擦力主要為黏性摩擦。由于該摩擦模型建模過程涉及到符號(hào)函數(shù)，根據(jù)式（5）可得速度變化時(shí)摩擦力的變化剛好相反，并且該仿真結(jié)果與圖2的結(jié)果基本一致，達(dá)到了預(yù)期的結(jié)果。

圖5為關(guān)節(jié)輸出角位移跟蹤仿真結(jié)果，從誤差曲線可以看出誤差隨時(shí)間周期性變化，且最大誤差為0.007 1 rad。雖然產(chǎn)生抖動(dòng)，但無平頂現(xiàn)象，位置偏移小。

圖5 關(guān)節(jié)輸出角位移仿真結(jié)果

圖6為關(guān)節(jié)輸出角速度跟蹤仿真結(jié)果，從誤差曲線可以看出，在關(guān)節(jié)由由靜態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閯?dòng)態(tài)的過程中，速度會(huì)有突變，隨著速度的增加，誤差變化趨于平穩(wěn)，精度較高。

圖6 關(guān)節(jié)輸出角速度仿真結(jié)果

圖7和圖8為3種常用的工業(yè)機(jī)器人摩擦模型對(duì)比分析，各個(gè)模型伺服參數(shù)的選取與混合摩擦模型相同，選取仿真穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。圖7中混合摩擦模型輸出角位移誤差范圍在?0.007 1～0.007 1 rad，LuGre摩擦模型輸出角位移誤差范圍在?0.013 1～0.013 1 rad，Stribeck摩擦模型輸出角位移誤差范圍在?0.012 9～0 rad。從數(shù)據(jù)結(jié)果可以看出，在參數(shù)設(shè)置相同的情況下，混合摩擦模型的精度要比其他兩種常用模型的精度高一個(gè)數(shù)量級(jí)。

圖7 三種摩擦模型位移誤差比較

圖8 三種摩擦模型速度誤差比較

圖8中混合摩擦模型角速度誤差范圍在?0.073 1～0.073 1 rad/s，LuGre摩擦模型角速度誤差范圍在?0.070 2～0.071 1 rad/s，Stribeck摩擦模型角速度誤差范圍在?0.070 2～0.071 0 rad/s。仿真結(jié)果表明，混合摩擦模型在加速減速切換時(shí)會(huì)有突變，其余時(shí)刻較為平穩(wěn)，故不適用于需要經(jīng)常切換速度的場(chǎng)合。

3 結(jié)語

本文提出一種基于靜摩擦、庫倫摩擦和Lorentzian摩擦混合表達(dá)的混合摩擦模型，建立了包含摩擦的關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)模型，使用MATLAB/Simulink進(jìn)行仿真，并對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。結(jié)果表明，仿真系統(tǒng)參數(shù)及控制器參數(shù)不變的情況下，取仿真穩(wěn)定運(yùn)行的結(jié)果，機(jī)器人關(guān)節(jié)輸出角位移誤差為?0.007 1～0.007 1 rad，關(guān)節(jié)輸出角速度誤差相對(duì)比較穩(wěn)定。由于混合摩擦模型能夠較為準(zhǔn)確地表達(dá)機(jī)器人關(guān)節(jié)內(nèi)部實(shí)際的摩擦問題，并且，該混合摩擦模型中Lorentzian摩擦模型是對(duì)Stribeck摩擦模型的優(yōu)化，因此，該模型精度比其他模型更高，仿真結(jié)果還表明該模型適用于不經(jīng)常切換速度的場(chǎng)合。