李金晟，莊凌，宋加洪，盧寶剛，蘇偉，吳喬

北京航天長(zhǎng)征飛行器研究所，北京 100076

氣動(dòng)特性預(yù)示是飛行器設(shè)計(jì)、發(fā)展及鑒定的重要組成部分，預(yù)示的精準(zhǔn)度直接影響飛行器的控制效果和仿真可信度。飛行器氣動(dòng)特性預(yù)示的主要內(nèi)容是建立氣動(dòng)模型并量化模型不確定度，預(yù)示的技術(shù)水平取決于理論計(jì)算、風(fēng)洞試驗(yàn)和氣動(dòng)辨識(shí)3種技術(shù)途徑的綜合運(yùn)用。但由于多數(shù)飛行器飛行試驗(yàn)缺乏有效激勵(lì)且傳感器測(cè)量精度較低，致使試驗(yàn)數(shù)據(jù)難以滿(mǎn)足氣動(dòng)辨識(shí)的需求，故當(dāng)前工程上主要采用前兩種手段計(jì)算氣動(dòng)特性。獲取的氣動(dòng)特性通常由地面氣動(dòng)數(shù)據(jù)表及先驗(yàn)不確定性模型進(jìn)行表征，前者用來(lái)預(yù)測(cè)任意飛行狀態(tài)下的氣動(dòng)系數(shù)，后者用于評(píng)估預(yù)測(cè)系數(shù)的可信區(qū)間。這種預(yù)示方式存在的主要問(wèn)題是：地面氣動(dòng)數(shù)據(jù)表存在眾多誤差源，致使不確定性模型過(guò)于保守、給出的氣動(dòng)誤差帶安全余量較大。

近年來(lái)隨著飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)的積累，如何利用多條試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行氣動(dòng)特性修正，提高氣動(dòng)特性預(yù)示精準(zhǔn)度，滿(mǎn)足新型飛行器精細(xì)化設(shè)計(jì)需求，成為當(dāng)前工程應(yīng)用領(lǐng)域一大難題。基于地面氣動(dòng)數(shù)據(jù)表與不確定模型之間的相互依賴(lài)關(guān)系，可將該問(wèn)題分解為兩個(gè)子問(wèn)題:如何修正地面氣動(dòng)數(shù)據(jù)表及如何量化修正后氣動(dòng)模型的不確定度。

針對(duì)第1個(gè)子問(wèn)題，研究人員已做了大量的工作。文獻(xiàn)[3]從模型驗(yàn)證角度提出了一種通用思路，即基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)之間的殘差確定一個(gè)修正項(xiàng)，利用其來(lái)補(bǔ)償原模型。修正項(xiàng)的表征可采用統(tǒng)計(jì)概率或模型擬合兩種方法，后者構(gòu)建的補(bǔ)償差量模型具有更廣的適用范圍，故在氣動(dòng)特性修正領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。差量模型的確定本質(zhì)是一個(gè)模型辨識(shí)問(wèn)題，其目前主要有兩種解決思路，一是側(cè)重于建模的精度，獲得的模型結(jié)構(gòu)復(fù)雜、模型項(xiàng)物理意義不明確，如多元單純形B-樣條法；二是側(cè)重于建模的速度，獲得的模型結(jié)構(gòu)緊湊、易于使用，如逐步回歸法及多元正交函數(shù)法(Multivariate Orthogonal Functions，MOF)。考慮到氣動(dòng)差量模型主要反映的是氣動(dòng)特性的天地差異性，其規(guī)律相比于飛行器的完整氣動(dòng)特性較為簡(jiǎn)單，故多采用第2種思路構(gòu)建模型。其中MOF由于可解決參數(shù)共線(xiàn)性的影響，因此應(yīng)用更為廣泛。在傳統(tǒng)MOF的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[9]將樣條因子引入模型優(yōu)選程序，進(jìn)一步提高了模型的非線(xiàn)性擬合能力；文獻(xiàn)[10]為構(gòu)建一個(gè)適用于全局的氣動(dòng)模型，引入頻數(shù)準(zhǔn)則對(duì)多條試驗(yàn)數(shù)據(jù)的氣動(dòng)模型項(xiàng)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析。該方法提供了一種處理多條試驗(yàn)數(shù)據(jù)的思路，但其僅依賴(lài)模型項(xiàng)的頻數(shù)作為準(zhǔn)入標(biāo)準(zhǔn)，優(yōu)選出的模型精度依賴(lài)于飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)的有效信息量。當(dāng)信息量不足時(shí)，構(gòu)建的模型不僅復(fù)雜，而且通用性不強(qiáng)。此外，MOF本質(zhì)上基于最小二乘準(zhǔn)則進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，因此要求組成回歸因子的解釋變量不包含任意誤差，從而難以應(yīng)用于測(cè)量精度不高的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。綜上所述，目前對(duì)于如何基于多條有效信息不足且測(cè)量精度不高的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行氣動(dòng)差量模型的辨識(shí)，并沒(méi)有一種很好的解決方案。

針對(duì)第2個(gè)子問(wèn)題，即完成對(duì)地面氣動(dòng)數(shù)據(jù)表的修正后，如何進(jìn)一步量化氣動(dòng)修正模型的不確定性，目前鮮有研究。文獻(xiàn)[11]在辨識(shí)差量模型的基礎(chǔ)上，提出一種利用預(yù)測(cè)區(qū)間量化模型不確定度的方法，其基于概率的思想，能給出具有不同置信水平的不確定性區(qū)間。這種不確定性量化方法的預(yù)測(cè)效果依賴(lài)于訓(xùn)練集中試驗(yàn)數(shù)據(jù)的包絡(luò)范圍，當(dāng)待估計(jì)狀態(tài)位于有效包絡(luò)范圍內(nèi)時(shí)，預(yù)測(cè)的誤差帶較為精準(zhǔn)；反之，給出的誤差帶范圍過(guò)大，無(wú)法滿(mǎn)足精細(xì)化設(shè)計(jì)的需求。

本文主要貢獻(xiàn)是提出一種適用于多條飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)的氣動(dòng)特性修正框架，實(shí)現(xiàn)了對(duì)地面氣動(dòng)模型及先驗(yàn)不確定性模型的修正。具體針對(duì)差量模型的辨識(shí)，首先為解決試驗(yàn)數(shù)據(jù)有效信息不足問(wèn)題，一方面引入迭代思想改進(jìn)了多元正交函數(shù)法，另一方面基于模型項(xiàng)的頻數(shù)及可信度，構(gòu)建了兩個(gè)統(tǒng)計(jì)優(yōu)選準(zhǔn)則；然后為解決試驗(yàn)數(shù)據(jù)精度不高的問(wèn)題，基于總體最小二乘思想，設(shè)計(jì)了適用于氣動(dòng)參數(shù)估計(jì)的定制化算法。針對(duì)模型的不確定度量化，首先基于不確定性理論，估計(jì)出氣動(dòng)修正模型的總偏差；最后基于貝葉斯估計(jì)準(zhǔn)則，將地面的先驗(yàn)不確定性信息與估計(jì)的飛行不確定性信息進(jìn)行整合，構(gòu)建了一個(gè)新的不確定性模型。

1 問(wèn)題描述

針對(duì)所研究的飛行器，目前在進(jìn)行彈道仿真評(píng)估分析時(shí)，工程上多采用地面氣動(dòng)數(shù)據(jù)表及先驗(yàn)不確定性模型預(yù)示氣動(dòng)特性，分別給出任意狀態(tài)下的氣動(dòng)系數(shù)值及其誤差帶范圍[-,]，表達(dá)式為

(1)

式中：_db為基于地面氣動(dòng)數(shù)據(jù)表插值所得的六分量氣動(dòng)系數(shù)；p為回歸因子向量；p為先驗(yàn)參數(shù)，其值通常基于經(jīng)驗(yàn)確定。

由于成本及試驗(yàn)條件限制，可直接獲得的飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)主要有兩類(lèi)：一是彈載慣性測(cè)量系統(tǒng)(IMU)測(cè)量的視加速度及角速度；二是地面雷達(dá)測(cè)量的位置及速度?；谠囼?yàn)數(shù)據(jù)，結(jié)合實(shí)測(cè)的大氣數(shù)據(jù)，完成彈道參數(shù)重建及氣動(dòng)系數(shù)換算，是進(jìn)行氣動(dòng)辨識(shí)修正的前提。目前基于飛行后試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行彈道重建的方法已較為成熟，根據(jù)是否考慮測(cè)量噪聲的影響，分為隨機(jī)性濾波平滑法和決定性輸出誤差法。本文基于文獻(xiàn)[13]構(gòu)建的飛行器動(dòng)力學(xué)及運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，應(yīng)用文獻(xiàn)[14]提出的濾波平滑框架(將擴(kuò)展卡爾曼濾波與Fraser-Potter平滑器進(jìn)行結(jié)合)，以IMU測(cè)量數(shù)據(jù)作為輸入數(shù)據(jù)、雷達(dá)測(cè)量數(shù)據(jù)作為觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)，完成彈道重建，獲得未直接測(cè)量的狀態(tài)參數(shù)。然后計(jì)算氣動(dòng)系數(shù)的測(cè)量值_mea：

(2)

重建后獲得的完整彈道數(shù)據(jù)，本文稱(chēng)之為低質(zhì)量數(shù)據(jù)，其具有如下特點(diǎn)：試驗(yàn)缺乏主動(dòng)激勵(lì)，數(shù)據(jù)有效信息不足；飛行試驗(yàn)狀態(tài)不同，數(shù)據(jù)相似性較低；傳感器測(cè)量及彈道重建方法都存在誤差，數(shù)據(jù)精度不高。本文研究目的就是基于多條低質(zhì)量試驗(yàn)數(shù)據(jù)，完成對(duì)_db及的修正，從而提高氣動(dòng)特性的預(yù)示精準(zhǔn)度?；谠撃康?，最終構(gòu)建的氣動(dòng)特性修正框架如圖1所示。

圖1 氣動(dòng)特性修正框架Fig.1 Aerodynamic characteristic correction framework

2 氣動(dòng)差量模型辨識(shí)

地面氣動(dòng)模型修正的基本思路是：基于_mea與_db之間的殘差_db，構(gòu)建一個(gè)能夠反映氣動(dòng)特性天地差異性的補(bǔ)償差量Δ，并以此構(gòu)建氣動(dòng)修正模型，表達(dá)式為

=_db+Δ

(3)

基于定常流動(dòng)假設(shè)，Δ如下參量有關(guān)：

Δ=(,,,,,,,)

(4)

式中：為飛行馬赫數(shù)；為攻角；為側(cè)滑角；、及為等效控制舵偏角，分別對(duì)應(yīng)俯仰、偏航及滾轉(zhuǎn)；為飛行高度；為角速度，主要影響力矩系數(shù)。

由式(3)可得，氣動(dòng)模型修正的關(guān)鍵在于差量模型的辨識(shí)。為此本文提出一種針對(duì)低質(zhì)量試驗(yàn)數(shù)據(jù)的氣動(dòng)模型混合辨識(shí)思路：首先引入迭代思想改進(jìn)多元正交函數(shù)法，基于每一條試驗(yàn)數(shù)據(jù)完成差量模型的辨識(shí)；然后設(shè)計(jì)一種新的模型項(xiàng)優(yōu)選準(zhǔn)則，實(shí)現(xiàn)對(duì)多個(gè)氣動(dòng)模型的統(tǒng)計(jì)優(yōu)選；最后采用總體最小二乘思想，解決參數(shù)的混合估計(jì)問(wèn)題。

2.1 模型辨識(shí)方法

針對(duì)任意線(xiàn)性模型：

=+

(5)

式中：∈×1為響應(yīng)向量，為觀(guān)測(cè)樣本點(diǎn)數(shù)；∈×1為與響應(yīng)向量對(duì)應(yīng)的觀(guān)測(cè)噪聲向量；∈×為解釋矩陣，元素(=1,2,…,) 為回歸因子，可由解釋變量及其組合項(xiàng)組成，其通常為多項(xiàng)式，但為增強(qiáng)模型的局部建模能力，也可引入樣條函數(shù)；∈×1為未知參數(shù)向量，可基于最小二乘法(Least Square，LS)進(jìn)行估計(jì)，結(jié)果為

(6)

式中：為測(cè)量噪聲方差，如果未知?jiǎng)t可由殘差進(jìn)行估計(jì)：

(7)

多元正交函數(shù)法是一種基于最小二乘準(zhǔn)則的模型結(jié)構(gòu)優(yōu)選方法，其應(yīng)用流程歸納如下：

1) 生成正交回歸因子。應(yīng)用Gram-Schmidt程序處理原始回歸因子，獲得正交回歸因子，表達(dá)式為

(8)

=

(9)

2) 正交模型參數(shù)估計(jì)。將代入式(5)，產(chǎn)生新的回歸模型，其中為對(duì)應(yīng)于正交回歸因子的參數(shù)向量。由于正交化后，為對(duì)角矩陣，故正規(guī)方程可以解耦，式(6)可簡(jiǎn)化為

(10)

3) 正交模型結(jié)構(gòu)確定。正交回歸因子模型項(xiàng)的具體選擇以最小化預(yù)測(cè)平方誤差(Predicted Squared Error，PSE)準(zhǔn)則為基準(zhǔn)，其由平均平方誤差項(xiàng)(Mean Squared Fit Error，MSFE)及過(guò)擬合懲罰項(xiàng)(Overfit Penalty，OFP)組成：

MSFE+OFP

(11)

(12)

為進(jìn)行回歸因子的優(yōu)選，需首先量化回歸因子模型項(xiàng)的顯著性。傳統(tǒng)的MOF法定義回歸因子減小MSFE能力作為顯著性評(píng)估指標(biāo)，經(jīng)過(guò)推導(dǎo)可得，每一個(gè)正交回歸因子的能力表示為

(13)

基于大小，按照由大到小的順序引入回歸因子。由于MSFE和OFP分別單調(diào)遞減、遞增，故PSE必然有一個(gè)全局最小值，從而可優(yōu)選出具有個(gè)回歸因子的模型結(jié)構(gòu)，其兼顧了擬合能力和泛化能力。

4) 正交模型轉(zhuǎn)化為原始模型?；谑?9)，可將優(yōu)選出的正交回歸模型分解為具有物理意義的原始回歸模型。由式(8)和式(13)可得，基于顯著性大小引入正交回歸因子的次序，直接影響了原始回歸因子的個(gè)數(shù)，當(dāng)某一靠后的正交回歸因子具有較大的顯著性時(shí)，其分解后將產(chǎn)生較多原始回歸因子，從而使得優(yōu)選出的原始模型不緊湊，難以應(yīng)用于低質(zhì)量的飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)。為此本文基于模型吝嗇建模準(zhǔn)則，提出迭代優(yōu)化思路。

5)迭代優(yōu)選回歸因子。首先調(diào)節(jié)的大小，確定正交回歸因子的期望個(gè)數(shù)；然后基于正交回歸因子的顯著性次序，調(diào)節(jié)原始回歸因子的次序，重新進(jìn)行步驟1)～4)；繼續(xù)迭代，直至正交回歸因子與原始回歸因子的數(shù)目接近。

基于迭代思想改進(jìn)的多元正交函數(shù)法，可辨識(shí)出更為緊湊的模型結(jié)構(gòu)。但由于試驗(yàn)數(shù)據(jù)有效信息不足，致使針對(duì)一條數(shù)據(jù)確定的氣動(dòng)差量模型，無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)地面氣動(dòng)特性全面、精準(zhǔn)的補(bǔ)償。解決這一問(wèn)題的直接手段是統(tǒng)計(jì)分析，關(guān)鍵在于統(tǒng)計(jì)準(zhǔn)則的構(gòu)建。本文采用統(tǒng)計(jì)量表征模型項(xiàng)的可信度，然后結(jié)合模型項(xiàng)的頻數(shù)，構(gòu)建了兩個(gè)統(tǒng)計(jì)準(zhǔn)則，具體為

(14)

2.2 參數(shù)估計(jì)方法

經(jīng)由統(tǒng)計(jì)分析獲得氣動(dòng)差量模型后，接下來(lái)的重點(diǎn)就是基于多條試驗(yàn)數(shù)據(jù)，估計(jì)氣動(dòng)模型參數(shù)。目前主要有兩種方式解決氣動(dòng)參數(shù)的混合估計(jì)問(wèn)題，分別是基于最小二乘準(zhǔn)則的一次性方法及基于貝葉斯準(zhǔn)則的迭代方法。當(dāng)沒(méi)有參數(shù)的先驗(yàn)信息時(shí)，第一種方式更為簡(jiǎn)單實(shí)用。但是LS本質(zhì)上要求回歸變量不包含測(cè)量噪聲，難以應(yīng)用于低質(zhì)量飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)。為此研究人員引入總體最小二乘法(Total Least Square，TLS)進(jìn)行氣動(dòng)參數(shù)估計(jì)，當(dāng)回歸因子測(cè)量誤差不可忽略時(shí)，TLS比LS具有更高的估計(jì)精度。

總體最小二乘法主要用來(lái)處理誤差變量模型(Error-In-Variables，EIV)，即同時(shí)考慮回歸因子與響應(yīng)變量誤差的線(xiàn)性模型，其形式為

=(-)+

(15)

總體最小二乘問(wèn)題的優(yōu)化準(zhǔn)則為

(16)

式中：∈×、∈×為相應(yīng)噪聲協(xié)方差矩陣；∈×1=vec(), vec(·)表示矩陣的拉直運(yùn)算，其將矩陣按列重新排列成一個(gè)新的列向量。

總體最小二乘問(wèn)題的求解方法取決于噪聲矩陣的形式，噪聲信息越多，參數(shù)估計(jì)精度越高，但計(jì)算過(guò)程也越復(fù)雜。具體應(yīng)用于氣動(dòng)參數(shù)估計(jì)時(shí)，主要存在兩個(gè)難點(diǎn): ① 模型中部分回歸因子，如常數(shù)項(xiàng)，是精確已知的，無(wú)法直接基于TLS思想進(jìn)行處理; ② 回歸因子和響應(yīng)變量的噪聲方差特性不同，不滿(mǎn)足經(jīng)典TLS方法的應(yīng)用前提。

針對(duì)難點(diǎn) ①，本文應(yīng)用混合LS-TLS問(wèn)題構(gòu)型進(jìn)行求解，即基于QR分解將數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行分割，將混合問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最小二乘估計(jì)和總體最小二乘估計(jì)兩個(gè)子問(wèn)題：

(17)

式中：∈×是由精確已知的回歸因子組成的解釋矩陣；∈×(-)中的回歸因子包含測(cè)量誤差；由于本文主要針對(duì)單響應(yīng)變量，故=1；待估計(jì)參數(shù)=[,]可分別基于LS和TLS思想求解獲得：

(18)

針對(duì)難點(diǎn) ②，基于低質(zhì)量數(shù)據(jù)特點(diǎn)，忽略噪聲的自相關(guān)性及互相關(guān)性，即假設(shè)為對(duì)角矩陣且元素相等、=diag(,,…,)且∈(-)×(-)為對(duì)角矩陣；簡(jiǎn)化后采用廣義總體最小二乘法求解，具體有兩種計(jì)算手段，即數(shù)據(jù)縮放和廣義的奇異值分解。數(shù)據(jù)縮放處理過(guò)程較為簡(jiǎn)便，其核心思想是基于權(quán)重特性=diag(,)將復(fù)合數(shù)據(jù)矩陣=[2]進(jìn)行歸一化，表達(dá)式為

(19)

(20)

式中：∈(-)×(-+1)為奇異值矩陣；、分別為左、右奇異矩陣；、分別是最后一列的最后一個(gè)元素、前-個(gè)元素。

完成對(duì)的估計(jì)后，代入式(18)，應(yīng)用LS便可實(shí)現(xiàn)對(duì)的估計(jì)，參數(shù)估計(jì)的協(xié)方差可由式(21) 進(jìn)行統(tǒng)一計(jì)算：

(21)

式中：為最小的奇異值。

3 不確定性模型修正

基于差量模型完成對(duì)地面氣動(dòng)系數(shù)的修正后，需重新量化修正模型的誤差范圍。本文在地面先驗(yàn)不確定性模型的基礎(chǔ)上，提出了一種新的不確定度量化思路：首先基于不確定性理論，計(jì)算修正氣動(dòng)系數(shù)的總偏差；然后基于貝葉斯估計(jì)準(zhǔn)則，應(yīng)用氣動(dòng)總偏差校正先驗(yàn)不確定性模型。

3.1 不確定度量化

氣動(dòng)修正模型的總偏差Δ主要包括兩部分： ① 測(cè)量氣動(dòng)系數(shù)與修正氣動(dòng)系數(shù)的殘差_； ② 測(cè)量氣動(dòng)系數(shù)的測(cè)量誤差_mea，表達(dá)式為

Δ=|_c|+|_mea|

(22)

式中：_=_mea-(_db+Δ)；、為權(quán)重。

由于_mea是通過(guò)彈道重建獲得而非直接測(cè)量，因此其測(cè)量誤差可通過(guò)對(duì)重建過(guò)程進(jìn)行不確定性分析計(jì)算。不確定性分析是研究重建參數(shù)可信度的一種常用手段，其通過(guò)研究重建過(guò)程的輸入誤差、模型誤差及重建方法誤差的傳遞影響，來(lái)量化重建輸出參數(shù)的不確定性分布。對(duì)于彈道重建來(lái)說(shuō)，當(dāng)選定重建模型及方法后，重建過(guò)程的主要不確定性便是輸入不確定性。輸入不確定性又可分為隨機(jī)不確定性和認(rèn)知不確定性，本文分別采用概率法及區(qū)間分析法進(jìn)行建模，具體特性如表1所示。

提取出不確定性因素后，接下來(lái)為量化輸出的統(tǒng)計(jì)分布，需進(jìn)行不確定性傳遞分析。不確定性傳遞主要以輸出為對(duì)象，量化不確定性輸入經(jīng)過(guò)系統(tǒng)傳遞對(duì)輸出的影響，具體傳遞方法的選擇取決于不確定性輸入的類(lèi)型。由表1可得，彈道重建輸入同時(shí)包含隨機(jī)和認(rèn)知不確定性，其屬于混合不確定性傳遞問(wèn)題。對(duì)于這種情況，目前應(yīng)用最為廣泛的是雙層蒙特卡洛法，其基本思想是：認(rèn)知不確定性參數(shù)在外層蒙特卡洛模擬中采樣，隨機(jī)不確定性參數(shù)在內(nèi)層蒙特卡洛模擬中采樣，統(tǒng)計(jì)結(jié)果由p-box圖呈現(xiàn)。但對(duì)于彈道重建，如果直接應(yīng)用雙層蒙特卡洛法，需存儲(chǔ)所有的打靶數(shù)據(jù)，并且需要對(duì)每一時(shí)間點(diǎn)的彈道參數(shù)進(jìn)行手工處理以獲得p-box圖，處理程序較為繁瑣。為此本文對(duì)雙層蒙特卡洛法進(jìn)行了簡(jiǎn)化，基于遞推方式直接計(jì)算每一時(shí)間點(diǎn)處各彈道參數(shù)的均值和方差，具體步驟如下：

表1 彈道重建輸入不確定性特性Table 1 Characteristics of input uncertainty in trajectory reconstruction

根據(jù)不確定性變量的模型，采樣生成個(gè)樣本點(diǎn){a_,e_}1≤≤。其中和分別是隨機(jī)不確定性向量和認(rèn)知不確定性向量。假設(shè)服從高斯分布，由于是區(qū)間形式，沒(méi)有概率意義，故假設(shè)服從均勻分布。然后統(tǒng)一采用隨機(jī)采樣法獲得樣本點(diǎn)。

基于彈道重建算法，計(jì)算每一個(gè)樣本點(diǎn)的系統(tǒng)響應(yīng)值(輸出參數(shù)及六分量氣動(dòng)系數(shù))的時(shí)間歷程，{=[(),…,()]}1≤≤。

(23)

3.2 模型混合估計(jì)

氣動(dòng)修正模型的總偏差Δ側(cè)重于表征由氣動(dòng)辨識(shí)引入的誤差，稱(chēng)之為飛行不確定性；地面先驗(yàn)不確定性模型則側(cè)重于表征由風(fēng)洞試驗(yàn)及氣動(dòng)系數(shù)工程計(jì)算方式等引入的誤差，稱(chēng)之為地面不確定性。為更精準(zhǔn)地反映氣動(dòng)修正模型的誤差特性，需同時(shí)考慮上述兩類(lèi)誤差的影響。為此本文基于貝葉斯準(zhǔn)則，利用Δ來(lái)校驗(yàn)地面不確定性模型的參數(shù)，其代價(jià)函數(shù)為

(24)

(25)

4 試驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果分析

某型飛行器迄今已積累了10條飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)，經(jīng)由數(shù)據(jù)預(yù)處理及彈道重建后，可獲得氣動(dòng)辨識(shí)所需的完整彈道參數(shù)及氣動(dòng)系數(shù)的時(shí)間歷程。本文應(yīng)用所提出的氣動(dòng)特性修正框架(圖1)對(duì)重建數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，具體給出軸向力系數(shù)、法向力系數(shù)及俯仰力矩系數(shù)的修正結(jié)果。

4.1 氣動(dòng)修正模型

考慮到該型飛行器的飛行特點(diǎn)(速度快、空域廣且飛行狀態(tài)變化明顯)及重建數(shù)據(jù)的低質(zhì)量特性，難以直接辨識(shí)出一個(gè)適用于全局的氣動(dòng)差量模型。為此本文采用數(shù)據(jù)分割思想，選擇飛行高度、攻角及側(cè)滑角作為分割變量，將飛行包絡(luò)分為4個(gè)區(qū)間，即高空小攻角小側(cè)滑、高空大攻角小側(cè)滑、中空小攻角大側(cè)滑及低空大攻角大側(cè)滑；然后分別在每一個(gè)區(qū)間內(nèi)進(jìn)行辨識(shí)，確定出局部差量模型；最后基于線(xiàn)性加權(quán)思想融合不同局部模型，實(shí)現(xiàn)模型在區(qū)間交界處的平滑過(guò)渡。

低空大攻角大側(cè)滑段主要進(jìn)行速度控制，機(jī)動(dòng)程度高、氣動(dòng)特性差異顯著，故本文重點(diǎn)針對(duì)該區(qū)間進(jìn)行分析。選擇一條飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)Y1，其在低空大攻角大側(cè)滑段內(nèi)的大氣風(fēng)場(chǎng)測(cè)量結(jié)果如圖2 所示，高度、馬赫數(shù)、攻角及側(cè)滑角的重建結(jié)果如圖3所示。

圖2 風(fēng)場(chǎng)測(cè)量結(jié)果Fig.2 Wind field measurement results

圖3 彈道參數(shù)重建結(jié)果Fig.3 Trajectory parameters reconstruction results

隨機(jī)選擇8條試驗(yàn)數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，進(jìn)行氣動(dòng)差量模型的混合辨識(shí)。首先針對(duì)每一條試驗(yàn)數(shù)據(jù)，采用改進(jìn)的多元正交函數(shù)法進(jìn)行模型結(jié)構(gòu)辨識(shí)，候選集中的模型項(xiàng)最高階數(shù)設(shè)計(jì)為2；然后基于頻數(shù)及可信度準(zhǔn)則對(duì)辨識(shí)所得的8個(gè)模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)優(yōu)選。具體對(duì)于軸向力系數(shù)，應(yīng)用迭代多元正交函數(shù)法處理Y1試驗(yàn)數(shù)據(jù)的結(jié)果如表2所示，對(duì)8個(gè)差量模型的統(tǒng)計(jì)優(yōu)選過(guò)程如圖4所示。

表2 單數(shù)據(jù)差量模型辨識(shí)結(jié)果Table 2 Single data difference model identification results

圖4 差量模型統(tǒng)計(jì)優(yōu)選結(jié)果Fig.4 Statistical optimization results of difference model

基于選定的Y1數(shù)據(jù)進(jìn)行差量模型辨識(shí)時(shí)，設(shè)計(jì)=40，采用傳統(tǒng)MOF計(jì)算，產(chǎn)生8個(gè)正交回歸因子、15個(gè)原始回歸因子；基于迭代的MOF，最終產(chǎn)生7個(gè)正交回歸因子、8個(gè)原始回歸因子，見(jiàn)表2。考慮到模型結(jié)構(gòu)辨識(shí)的高實(shí)時(shí)性要求，采用LS方法快速估計(jì)參數(shù)，確定模型項(xiàng)的值。此外為降低試驗(yàn)數(shù)據(jù)的不同狀態(tài)對(duì)模型項(xiàng)可信度的影響，本文將值進(jìn)行了歸一化處理。

進(jìn)行統(tǒng)計(jì)優(yōu)選時(shí)，本文設(shè)計(jì)頻數(shù)閾值=4，可信度閾值=087，是訓(xùn)練集中試驗(yàn)數(shù)據(jù)數(shù)目的一半，是所有模型項(xiàng)可信度的均值。由圖3可得，影響Δ的回歸因子數(shù)目眾多，且其頻數(shù)及可信度差異較大。這是因?yàn)轱w行試驗(yàn)缺乏有效激勵(lì)，使得每一條試驗(yàn)數(shù)據(jù)只能反映出部分修正特性。如果試驗(yàn)數(shù)據(jù)中所有出現(xiàn)的影響項(xiàng)都作為Δ的回歸因子，則會(huì)導(dǎo)致模型結(jié)構(gòu)復(fù)雜，不便于使用且容易造成過(guò)擬合。因此本文重點(diǎn)關(guān)注訓(xùn)練集所反映出的主要?dú)鈩?dòng)特性修正規(guī)律，即確定具有普適性且可信度較高的回歸因子。完成模型結(jié)構(gòu)的構(gòu)建后，應(yīng)用總體最小二乘思想估計(jì)模型參數(shù)，獲得3個(gè)氣動(dòng)系數(shù)的差量模型(式(26))，然后將其代入式(3)可得氣動(dòng)修正模型。

(26)

式中：(±5°)是樣條回歸因子，基本定義為

(27)

其中：是對(duì)應(yīng)于回歸因子的樣條節(jié)點(diǎn)?？紤]到飛行器的機(jī)動(dòng)特性，本文只針對(duì)攻角和側(cè)滑角，分別設(shè)計(jì)了兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，即5°和10°，然后將其作為候選模型項(xiàng)。

首先從氣動(dòng)設(shè)計(jì)角度，分析差量模型的物理意義。對(duì)于低空大攻角大側(cè)滑段，基于地面氣動(dòng)數(shù)據(jù)表預(yù)示的氣動(dòng)系數(shù)主要有兩方面的誤差。一是氣動(dòng)系數(shù)的提供方法，其在工程中基于廣義氣動(dòng)力近似公式計(jì)算，忽略了三通道的耦合性。該誤差主要影響氣動(dòng)力矩系數(shù)，體現(xiàn)在差量模型中的和δ項(xiàng)；二是風(fēng)洞試驗(yàn)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)度，主要考慮馬赫數(shù)、雷諾數(shù)模擬不完全形成的天地差異和飛行器外形變化引起的氣動(dòng)系數(shù)偏差。前者體現(xiàn)在差量模型中的及相關(guān)因子，主要影響力系數(shù)；后者雖然對(duì)3個(gè)氣動(dòng)系數(shù)都有顯著影響，但難以從理論上確定直接的關(guān)聯(lián)量?？紤]到差量模型中的剩余回歸因子，如、、、和，都是相應(yīng)系數(shù)的主要影響量，故將其作為外形變化引起的氣動(dòng)特性補(bǔ)償量具有一定的合理性。

接著從模型擬合角度，分析差量模型的規(guī)律特性。在給定區(qū)間，氣動(dòng)差量模型對(duì)訓(xùn)練集數(shù)據(jù)測(cè)量殘差的擬合效果見(jiàn)圖5。差量模型的擬合精度采用均方根誤差(Root Mean Squared Error，RMSE)進(jìn)行衡量。Δ、Δ及Δ的RMSE分別是0.010 9，0.046 0和0.001 7。其中對(duì)于Δ，如果將樣條項(xiàng)(±5°)替換為，則擬合誤差增加到0.051 1，說(shuō)明樣條項(xiàng)能在一定程度上改善局部建模精度。由于差量模型的本質(zhì)是表征一個(gè)共性的修正規(guī)律，故其擬合精度主要取決于所有試驗(yàn)數(shù)據(jù)的殘差特性。具體來(lái)說(shuō)，俯仰力矩系數(shù)的殘差規(guī)律較為一致，優(yōu)化出的Δ擬合精度最高，估計(jì)的補(bǔ)償值整體上圍繞0值波動(dòng)；法向力系數(shù)殘差的差異性最為顯著，故Δ的擬合精度相對(duì)最低，其補(bǔ)償值同樣在0值附近波動(dòng)；對(duì)于軸向力系數(shù)，多數(shù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)具有正的殘差特性，故Δ反映出一種接近常值的補(bǔ)償特性，但由于數(shù)據(jù)6和7的存在，導(dǎo)致擬合精度不高。

圖5 差量模型在訓(xùn)練集的擬合效果Fig.5 Fitting effect of difference model in training set

4.2 氣動(dòng)不確定性模型

基于辨識(shí)所得的氣動(dòng)修正模型，再引入1條試驗(yàn)數(shù)據(jù)，校驗(yàn)地面先驗(yàn)氣動(dòng)不確定性模型。首先基于不確定性分析理論量化3個(gè)修正模型的總偏差Δ、Δ及Δ，相關(guān)結(jié)果如圖6所示。

圖6 修正氣動(dòng)模型的總偏差Fig.6 Total deviation of corrected aerodynamic model

基于確定出的Δ，應(yīng)用模型混合估計(jì)方法校正先驗(yàn)氣動(dòng)不確定性模型，相關(guān)結(jié)果如表3所示。先驗(yàn)不確定性模型，是由設(shè)計(jì)人員基于氣動(dòng)系數(shù)的特性及工程經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行定制化設(shè)計(jì)而得，不同的模型包含不同的回歸因子，模型結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單。大量試驗(yàn)表明，僅改變?cè)Ｐ蛥?shù)，難以提高不確定性模型的精準(zhǔn)度。為此首先對(duì)已有的先驗(yàn)回歸因子進(jìn)行整合，然后又引入了兩個(gè)新的變量及，最終構(gòu)建一個(gè)通用的不確定性模型結(jié)構(gòu)。

表3 不確定性模型修正結(jié)果Table 3 Correction results of uncertainty model

對(duì)于俯仰力矩系數(shù)，本文給出不確定性模型修正前后的對(duì)比結(jié)果。圖7(a)給出的是先驗(yàn)不確定性模型確定的誤差帶范圍對(duì)原殘差_db的包絡(luò)特性，可見(jiàn)誤差帶整體安全余量較大、局部余量不足，即精細(xì)度不滿(mǎn)足要求、可靠性仍有不足；圖7(b)反映的是先驗(yàn)誤差帶對(duì)修正模型殘差_的包絡(luò)情況，經(jīng)過(guò)氣動(dòng)差量模型的補(bǔ)償后，不再有超出誤差帶的測(cè)量點(diǎn)，即提高了可靠性，但誤差范圍仍較為寬泛；圖7(c)給出了氣動(dòng)模型及不確定模型的綜合修正結(jié)果，其在保持高可靠性的基礎(chǔ)上，前15 s的誤差帶范圍有顯著縮小，即進(jìn)一步提升了精細(xì)程度。

圖7 氣動(dòng)誤差帶對(duì)比分析Fig.7 Comparative analysis of aerodynamic error band

4.3 模型確認(rèn)

最后基于1條未使用的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，進(jìn)行氣動(dòng)修正模型及氣動(dòng)不確定性模型的確認(rèn)。具體針對(duì)每一個(gè)氣動(dòng)系數(shù)，首先給出3種方式計(jì)算所得的氣動(dòng)系數(shù)值，分別是基于地面氣動(dòng)數(shù)據(jù)表的插值方法、基于試驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)的換算方法及基于修正模型的預(yù)示方法；然后對(duì)模型修正效果進(jìn)行對(duì)比分析，分別給出“地面氣動(dòng)數(shù)據(jù)表+先驗(yàn)不確定性模型(方式1)”“氣動(dòng)修正模型+先驗(yàn)不確定性模型(方式2)” “氣動(dòng)修正模型+修正不確定性模型(方式3)”的預(yù)測(cè)特性，相關(guān)結(jié)果如圖8～圖10所示。

圖8 氣動(dòng)系數(shù)預(yù)測(cè)值Fig.8 Prediction value of aerodynamic coefficients

由圖8～圖10和表4可得，經(jīng)過(guò)差量模型的補(bǔ)償修正后，測(cè)量殘差具有不同程度的減小，說(shuō)明氣動(dòng)修正模型可改善氣動(dòng)系數(shù)的預(yù)示精度；“氣動(dòng)修正模型+先驗(yàn)不確定性模型”預(yù)示方式具有最少的誤差帶外測(cè)量點(diǎn)數(shù)，即氣動(dòng)修正模型也可提高氣動(dòng)預(yù)示的可靠性；氣動(dòng)系數(shù)經(jīng)由差量模型修正后，采用修正不確定性模型確定的氣動(dòng)誤差帶，具有最小的剩余安全裕度，反映出修正不確定性模型的高精細(xì)度。綜合來(lái)看，“氣動(dòng)修正模型+修正不確定性模型”預(yù)示方式相比于“地面氣動(dòng)數(shù)據(jù)表+先驗(yàn)不確定性模型”方式，可以有效提升氣動(dòng)特性預(yù)示的精準(zhǔn)度，從而能夠滿(mǎn)足新型飛行器精細(xì)化氣動(dòng)設(shè)計(jì)的需求。

圖9 原殘差+先驗(yàn)誤差帶Fig.9 Original residual+prior error band

圖10 修正前后誤差帶對(duì)比Fig.10 Comparison of error bands before and after correction

表4 不同氣動(dòng)特性預(yù)示方式對(duì)比結(jié)果Table 4 Comparison results of different aerodynamic characteristic prediction methods

5 結(jié) 論

本文提出一種適用于多條低質(zhì)量飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)的氣動(dòng)特性修正框架。針對(duì)某型飛行器，重點(diǎn)在低空大攻角大側(cè)滑段對(duì)地面氣動(dòng)預(yù)示特性進(jìn)行了修正，具體結(jié)論如下：

1) 相比于地面氣動(dòng)數(shù)據(jù)表，氣動(dòng)修正模型預(yù)測(cè)的氣動(dòng)系數(shù)更接近測(cè)量的氣動(dòng)系數(shù)，即差量模型能夠補(bǔ)償一定的地面預(yù)示誤差，提高氣動(dòng)系數(shù)的預(yù)示精度。

2) 氣動(dòng)修正模型結(jié)合先驗(yàn)不確定性模型具有最高的預(yù)測(cè)可靠性，確定的氣動(dòng)誤差帶具有最少的誤差帶外測(cè)量點(diǎn)，說(shuō)明差量模型的補(bǔ)償也能提高預(yù)示的可靠性。

3) 氣動(dòng)修正模型結(jié)合修正的不確定性模型能夠給出精細(xì)度最高的氣動(dòng)誤差帶，其預(yù)示可靠性雖低于“氣動(dòng)修正模型+先驗(yàn)不確定性模型”方式，但高于“地面氣動(dòng)數(shù)據(jù)表+先驗(yàn)不確定性模型”方式，從而有效地提高了氣動(dòng)設(shè)計(jì)的精準(zhǔn)度。