梁吉娜，解 濱，韓力文,3,4

曲率單調(diào)的組合二次Phillips-Bézier曲線

梁吉娜1，解 濱2，韓力文1,3,4

(1. 河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，河北 石家莊 050024；2.河北師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與網(wǎng)絡(luò)空間安全學(xué)院，河北 石家莊 050024；3. 河北省計(jì)算數(shù)學(xué)與應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 石家莊 050024；4. 河北省數(shù)學(xué)與交叉科學(xué)國(guó)際聯(lián)合研究中心，河北 石家莊 050024)

Phillips-Bézier曲線是一類包含-整數(shù)的廣義Bézier曲線。針對(duì)二次Phillips-Bézier曲線的曲率單調(diào)條件，從代數(shù)和幾何兩方面進(jìn)行了研究，構(gòu)造出曲率單調(diào)的二次Phillips-Bézier曲線及曲率單調(diào)遞減的組合二次Phillips-Bézier曲線。首先，通過曲線曲率的坐標(biāo)表示，探究代數(shù)形式的曲率單調(diào)條件，定義曲率單調(diào)包圍圓，給出二次Phillips-Bézier曲線具有單調(diào)曲率的幾何充要條件。當(dāng)形狀參數(shù)=1時(shí)，Phillips-Bézier曲線退化為經(jīng)典的Bézier曲線，因此上述曲率單調(diào)條件包含經(jīng)典二次Bézier曲線的結(jié)果。其次，討論二次Phillips-Bézier曲線間的2光滑拼接條件及條件中的各個(gè)參數(shù)對(duì)拼接曲線的影響。再次，對(duì)于給定首末控制頂點(diǎn)的曲線，選擇合適的中間控制頂點(diǎn)，求得使其具有單調(diào)曲率時(shí)形狀參數(shù)的取值范圍，構(gòu)造出曲率單調(diào)的單條二次Phillips-Bézier曲線。進(jìn)而，構(gòu)造出同時(shí)滿足2拼接與曲率單調(diào)遞減的組合二次Phillips-Bézier曲線。最后，利用曲率單調(diào)遞減的組合二次Phillips-Bézier曲線，構(gòu)造出具有包含關(guān)系的兩圓之間的緩和曲線。數(shù)值實(shí)例顯示了組合二次Phillips-Bézier曲線的造型優(yōu)勢(shì)和靈活性。

Phillips-Bézier曲線；單調(diào)曲率；包圍圓；2拼接；緩和曲線

曲率分布能夠反映曲線的形狀。具有單調(diào)曲率的曲線符合美學(xué)特征，包含相對(duì)少的單調(diào)曲率段的曲線被認(rèn)為是光順的[1]。在工業(yè)設(shè)計(jì)領(lǐng)域，如道路設(shè)計(jì)[2]、機(jī)器人軌道設(shè)計(jì)[3]、齒輪齒根設(shè)計(jì)[4]等方面，曲率單調(diào)的曲線有重要應(yīng)用。

許多學(xué)者對(duì)Bézier曲線的曲率單調(diào)條件進(jìn)行了研究。1992年，Sapidis和FREY[5]指出，當(dāng)二次Bézier曲線的中間控制頂點(diǎn)位于指定區(qū)域時(shí)，曲線的曲率是單調(diào)的。2000年，F(xiàn)rey和FIELD[6]分析了標(biāo)準(zhǔn)形式的有理二次Bézier曲線所表示的圓錐曲線段的曲率單調(diào)條件。標(biāo)準(zhǔn)形二次有理Bézier曲線同時(shí)由控制頂點(diǎn)和權(quán)因子控制，與二次Bézier曲線相比，權(quán)因子使得曲線中間控制頂點(diǎn)所在的曲率單調(diào)區(qū)域能夠隨之調(diào)整，從而使二次有理Bézier曲線比二次Bézier曲線的曲率單調(diào)條件[5]有所放松。Walton和MEEK[7]給出了具有單調(diào)曲率的三次Bézier曲線的構(gòu)造方法，并用其構(gòu)造出道路設(shè)計(jì)中的5種緩和曲線。接著又提出了具有單調(diào)曲率的三次Bézier曲線的另外2種構(gòu)造方法[8-9]。2018年，Ahmad和GOBITHAASAN[10]構(gòu)造基于曲率導(dǎo)數(shù)的單調(diào)曲率檢驗(yàn)函數(shù)，給出使標(biāo)準(zhǔn)形二次有理Bézier曲線曲率單調(diào)時(shí)，權(quán)因子的取值范圍。2019年，Wang等[11]通過建立合適的坐標(biāo)系，給出了曲率單調(diào)的次Bézier曲線的構(gòu)造方法。又利用控制多邊形邊的旋轉(zhuǎn)與縮放，給出曲率單調(diào)的次Bézier曲線的另一種構(gòu)造方法[12]。2020年，Ahmad等[13]探究了光滑連接點(diǎn)與圓、直線與圓2種情況下的曲率單調(diào)二次有理Bézier曲線的構(gòu)造方法。2021年，CANTóN等[14]利用矩陣生成Bézier曲線的控制多邊形，給出了產(chǎn)生單調(diào)曲率平面Bézier曲線的新條件。

近些年來，隨著-微積分理論的迅速發(fā)展，基于-整數(shù)的廣義Bernstein算子應(yīng)運(yùn)而生[15-17]。其中，研究最為廣泛的是文獻(xiàn)[15]提出的Lupa?-Bernstein算子與文獻(xiàn)[16]提出的Phillips-Bernstein多項(xiàng)式。1998年，Oru?[18]證明-Bernstein多項(xiàng)式是多項(xiàng)式空間的一組基；2003年，Oru?和PHILLIPS[19]定義Phillips-Bézier曲線，并給出該曲線的升階算法。2007年，DI?IBüYüK和Oru?[20]構(gòu)造有理Phillips-Bézier曲線，并給出該曲線的-差分定義、細(xì)分算法和升階公式。2008年，DI?IBüYüK和ORU?[21]又定義出矩形域上張量積型的Phillips-Bézier曲面，該曲面具有幾何不變性和仿射不變性、保凸性等優(yōu)良幾何性質(zhì)。2012年，Simeonov等[22]為Phillips-Bézier曲線建立-開花形式的定義，開花形式的降階算法和細(xì)分算法。2013年，SIMEONOV和Goldman[23]應(yīng)用-開花理論構(gòu)造出-B-樣條基和-B-樣條曲線，建立了-B-樣條理論。

Phillips-Bézier曲線是由控制頂點(diǎn)和Phillips-Bernstein基函數(shù)定義的多項(xiàng)式曲線，比起由有理形式的Lupa?-Bernstein算子定義的Lupa?-Bézier曲線[24]與加權(quán)Lupa?-Bézier曲線[25]，其在計(jì)算時(shí)更加簡(jiǎn)便。與經(jīng)典Bézier曲線相比，其具有許多與經(jīng)典Bézier曲線相同的優(yōu)良性質(zhì)。與此同時(shí)，其含有的形狀參數(shù)使Phillips-Bézier曲線有了更加靈活的形狀調(diào)控能力。在≠1時(shí)，曲線在末端點(diǎn)處的導(dǎo)矢與控制多邊形不相切，與經(jīng)典Bézier曲線和Lupa?-Bézier曲線有所不同。

為了更好地表達(dá)復(fù)雜曲線，可以將曲線進(jìn)行光滑拼接。2019年，JIN等[26]通過調(diào)整控制點(diǎn)和在相鄰的0連續(xù)Bézier曲線之間插入過渡Bézier曲線，構(gòu)造2連續(xù)刀具軌跡。2021年，何川等[27]提出一種可靈活構(gòu)造滿足1插值條件的曲率單調(diào)Bézier曲線的算法。在給出經(jīng)典Bézier曲線的光滑拼接條件[28-29]的基礎(chǔ)上，本文將探究二次Phillips-Bézier曲線的光滑拼接條件。

1 預(yù)備知識(shí)

首先給出Phillips-Bézier曲線的相關(guān)定義。

定義1(-整數(shù)[30]). 對(duì)于任意的自然數(shù)，稱

定義2 (-階乘[30]). 對(duì)于任意的自然數(shù)，稱

定義3(-二項(xiàng)式系數(shù)[30]).對(duì)于任意的自然數(shù)，稱

為次Phillips-Bézier曲線。

2 二次Phillips q-Bézier曲線曲率單調(diào)的充要條件

二次Phillips-Bézier曲線為

圖1 平面直角坐標(biāo)系中的二次Phillips q-Bézier曲線

結(jié)合控制頂點(diǎn)的坐標(biāo)，可得二次Phillips-Bézier曲線一階導(dǎo)矢、二階導(dǎo)矢的坐標(biāo)表示，因此曲率可表示為

曲率的導(dǎo)數(shù)為

引理：一般來說，沿著曲線的方向，當(dāng)曲率圓位于曲線左側(cè)時(shí)，將曲率的符號(hào)定義為正，反之為負(fù)。由于二次Phillips-Bézier曲線只有3個(gè)控制頂點(diǎn)，所以曲線上任一點(diǎn)的曲率圓始終位于曲線的同一側(cè)。因此將曲率符號(hào)均認(rèn)為是正。

記二次函數(shù)()的對(duì)稱軸為

得

得

證畢

注：對(duì)于首末端點(diǎn)確定的二次Phillips-Bézier曲線，若曲線中的取值從1到0減小，那么曲線左、右包圍圓的半徑增大，圓心向軸正向移動(dòng)。

由定義可知，二次Phillips-Bézier曲線的2個(gè)單調(diào)曲率左、右包圍圓是相切的，且具有等長(zhǎng)的半徑，如圖3所示。

圖3 二次Phillips q-Bézier曲線及左、右包圍圓

由此可得曲線(;)的曲率單調(diào)幾何充要條件。

定理1. 由控制頂點(diǎn)0(0,0)，1(,)和2(,0)定義的二次Phillips-Bézier曲線，其曲率單調(diào)遞減的幾何充要條件為：1位于單調(diào)遞減曲率包圍圓0內(nèi)或圓上；曲率單調(diào)遞增的幾何充要條件為：1位于單調(diào)遞增曲率包圍圓2內(nèi)或圓上。

3 二次Phillips q-Bézier曲線的光滑拼接

3.1 光滑拼接條件

定理2. 記2條二次Phillips-Bézier曲線分別為(;1)和(;2)，且滿足幾何連續(xù)性的充要條件為：

(1)0連續(xù)條件：

(2)1連續(xù)條件：0連續(xù)，且

(3)2連續(xù)條件：1連續(xù)，且

其中，任取，

證明：

(1) 由Phillips-Bézier曲線的端點(diǎn)插值性可得：2=0。

(3) 在滿足1連續(xù)的基礎(chǔ)上，2條曲線在連接點(diǎn)2連續(xù)，當(dāng)且僅當(dāng)在連接點(diǎn)處有相同的曲率矢。也就是說，在連接點(diǎn)處，曲率矢的方向和大小均要相同。

曲線(;1)在末端點(diǎn)處的曲率矢為

其次，令2個(gè)曲率矢的大小相同，即令|(1)|= |(0)|。結(jié)合0和1連續(xù)條件，有

從而得到了二次Phillips-Bézier曲線在端點(diǎn)處2連續(xù)的充分必要條件。

當(dāng)參數(shù)1=2=1時(shí)，二次Phillips-Bézier曲線的幾何連續(xù)條件退化為經(jīng)典二次Bézier曲線的幾何連續(xù)條件[31]。

3.2 G2拼接條件中a，h，q2對(duì)拼接曲線形狀的影響

在二次Phillips-Bézier曲線間的2光滑拼接條件中，拼接曲線的控制頂點(diǎn)同時(shí)受給定曲線的控制頂點(diǎn)和變量，及拼接曲線的形狀參數(shù)2的影響。

圖5 Q(t;q2)的控制頂點(diǎn)隨hi的變化

圖6 Q(t;q2)的控制頂點(diǎn)和隨ai的變化

圖7 Q(t;q2)的控制頂點(diǎn)和隨的變化

4 構(gòu)造曲率單調(diào)的二次Phillips q-Bézier曲線

4.1 具有單調(diào)曲率的二次Phillips q-Bézier曲線的構(gòu)造方法

根據(jù)實(shí)際需要，在平面上的合適位置選取2個(gè)點(diǎn)分別作為曲線的首末控制頂點(diǎn)0和2。按照平面直角坐標(biāo)系的建立方法建系。則有0(0,0)，1(,)，2(,0)，其中>0，,,均為實(shí)數(shù)。

曲線曲率單調(diào)遞減的充要條件為：控制頂點(diǎn)1位于曲線的左包圍圓中，即

綜上，曲線曲率單調(diào)遞減的充要條件為，形狀參數(shù)*的取值為

算法1.具體步驟如下：

步驟1.在平面直角坐標(biāo)系中選擇原點(diǎn)與軸上一點(diǎn)，分別記為0(0,0)和2(,0)。

步驟2.確定左包圍圓0(趨于0時(shí)的左包圍圓)，并從中選取控制頂點(diǎn)1(,)。

步驟4.由控制頂點(diǎn)0，1，2和形狀參數(shù)*確定的二次Phillips-Bézier曲線曲率單調(diào)遞減。

例1.如圖8所示，確定2個(gè)控制頂點(diǎn)0和2，建立平面直角坐標(biāo)系，記0(0,0)和2(4,0)，此時(shí)包圍圓0的圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑為2。在包圍圓中選取1(3,1)，取=0.2，構(gòu)造出一條曲率單調(diào)遞減的二次Phillips-Bézier曲線。若取=0.4，則曲線的曲率不單調(diào)。

情況2.若控制頂點(diǎn)1在包圍圓2的范圍內(nèi)，則控制頂點(diǎn)1(,)滿足

曲線曲率單調(diào)遞增的充要條件為：控制頂點(diǎn)1位于曲線的右包圍圓中，即

圖8 二次Phillips q-Bézier曲線及其曲率圖((a) q=0.4與q=0.2的二次Phillips q-Bézier曲線；(b)曲率圖)

整理得*的取值需滿足

又因的取值范圍為(0,1]，綜上，曲線曲率單調(diào)遞減的充要條件為，形狀參數(shù)*的取值為

算法2.具體步驟如下：

步驟1.在平面直角坐標(biāo)系中選擇原點(diǎn)與軸上一點(diǎn)，分別記為0(0,0)和2(,0)。

步驟2.確定右包圍圓2和2(=1和趨向于0時(shí)的右包圍圓)，并從中選取控制頂點(diǎn)1(,)。

步驟4.由控制頂點(diǎn)0，1，2和形狀參數(shù)*確定的二次Phillips-Bézier曲線曲率單調(diào)遞增。

例2. 如圖9所示，確定2個(gè)控制頂點(diǎn)0和2，建立平面直角坐標(biāo)系，有0(0,0)和2(4,0)，選取1(6,1)，取=0.259，構(gòu)造出一條曲率單調(diào)遞增的二次Phillips-Bézier曲線。若取=0.6，則曲線的曲率不單調(diào)。

注1：若一條已有的曲率不單調(diào)二次Phillips-Bézier曲線的控制頂點(diǎn)滿足算法1或算法2中的前提條件，則可以按照這2條定理中*的取值去改變曲線的形狀參數(shù)的取值，從而將已有曲線調(diào)整為一條曲率單調(diào)遞增或遞減的曲線。

注2：由于一系列右包圍圓是不相互包含的，所以不能準(zhǔn)確地刻畫所有的右包圍圓所在的區(qū)域。因此在算法2中，要求在半徑最小和半徑趨于最大的右包圍圓2和2中選取控制頂點(diǎn)1，而實(shí)際上控制頂點(diǎn)1處于其他右包圍圓的范圍中，也可以用定理4中的方法找到合適的*值。

圖9 二次Phillips q-Bézier曲線及其曲率圖((a) q=0.259與q=0.6的二次Phillips q-Bézier曲線；(b)曲率圖)

4.2 具有單調(diào)遞減曲率的組合二次Phillips q-Bézier曲線的構(gòu)造方法

根據(jù)二次Phillips-Bézier曲線曲率單調(diào)遞減的充要條件，可以構(gòu)造出一條曲率單調(diào)遞減的曲線(;)。若能找到這樣一條曲線(;0)，其在始端點(diǎn)處與(;)2連續(xù)，且曲率是單調(diào)遞減的，那么就得到了一條曲率單調(diào)遞減的組合二次Phillips-Bézier曲線。

證明：由二次Phillips-Bézier曲線的2連續(xù)條件，若(;0)滿足式(4)～(7)，則其與(;)在0=2處2連續(xù)。

繼續(xù)證明曲線(;0)的曲率單調(diào)遞減的充要條件為≥2(1+0)-1。

首先表示。

則

為便于表示，將上式記為

整理得

綜上所述，曲線(;0)曲率單調(diào)遞減的充要條件為≥2(1+0)-1。

例3.給定一條曲率單調(diào)遞減的二次Phillips-Bézier曲線(;)，如圖10所示，控制頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為0(0,0)，1(1,1)和2(4,0)，參數(shù)=0.5。構(gòu)造出一條與其2連續(xù)，且曲率單調(diào)遞減的曲線(;0)，用實(shí)線表示，控制頂點(diǎn)分別為0(4,0)，1(8.33,-1)和2(10.31,-2.38)。取參數(shù)0=0.5，=1，=0.63。2條曲線合起來是一條曲率單調(diào)遞減的組合二次Phillips-Bézier曲線。

在例3中，可取大于0.63的值，此時(shí)組合二次Phillips-Bézier曲線中曲線段(;0)的形狀稍有變化，但曲率仍然是單調(diào)遞減的。

在公路設(shè)計(jì)中，緩和曲線是設(shè)置在直線和圓曲線或圓曲線與圓曲線之間的過渡曲線。緩和曲線通過曲率的逐漸變化保證汽車行駛過程中的轉(zhuǎn)向平穩(wěn)。采用本文方法可以設(shè)計(jì)出類似的曲率單調(diào)遞減的過渡路線。

圖10 曲率單調(diào)遞減的組合二次Phillips q-Bézier曲線

例4. 利用本文中曲率單調(diào)遞減的組合二次Phillips-Bézier曲線設(shè)計(jì)出具有包含關(guān)系的圓到圓之間的緩和曲線。圖11中顯示了2個(gè)具有包含關(guān)系的圓(點(diǎn)虛線)；連接2圓的是由曲率單調(diào)遞減的組合二次Phillips-Bézier曲線表示的緩和曲線(實(shí)線)；，Q分別為組合曲線中2段曲線的控制頂點(diǎn)。

圖11 具有包含關(guān)系的兩圓及圓到圓之間的緩和曲線((a)具有包含關(guān)系的兩圓及圓到圓之間的緩和曲線整體圖；(b)緩和曲線局部圖)

5 結(jié)束語

本文提出并證明了二次Phillips-Bézier曲線的曲率單調(diào)充要條件，指出當(dāng)曲線的首末端點(diǎn)確定時(shí)，中間控制頂點(diǎn)應(yīng)當(dāng)處在由首末端點(diǎn)和形狀參數(shù)值決定的曲率單調(diào)包圍圓中。包圍圓的大小可由參數(shù)調(diào)整，因此與經(jīng)典Bézier曲線的曲率單調(diào)范圍[5]相比，本文中間控制頂點(diǎn)的選擇范圍更廣。當(dāng)=1時(shí)，二次Phillips-Bézier曲線退化為經(jīng)典二次Bézier曲線，二次Phillips-Bézier曲線的曲率單調(diào)條件退化為經(jīng)典二次Bézier曲線的曲率單調(diào)條件。

本文還給出了二次Phillips-Bézier曲線之間的2連續(xù)條件，并探究了條件中的3個(gè)變量對(duì)拼接曲線的影響。最后給出曲率單調(diào)曲線的構(gòu)造方法，及造型上的實(shí)例。進(jìn)一步還可探究具有單調(diào)曲率的有理二次Phillips-Bézier曲線。

[1] FARIN G, SAPIDIS N. Curvature and the fairness of curves and surfaces[J]. IEEE Computer Graphics and Applications, 1989, 9(2): 52-57.

[2] BAASS K G. The use of clothoid templates in highway design[J]. Transportation Forum, 1984, 1(3): 47-52.

[3] 楊秀霞, 周硙硙, 張毅. 一種基于PH螺線的避障重規(guī)劃路徑修正方法[J]. 飛行力學(xué), 2016, 34(5): 86-90.

YANG X X, ZHOU W W, ZHANG Y. A re-planning path correction method for collision avoidance based on PH spiral[J]. Flight Dynamics, 2016, 34(5): 86-90 (in Chinese).

[4] 董新華, 馬勇, 柳強(qiáng). 漸開線齒輪齒根過渡曲線最佳線型實(shí)現(xiàn)方法[J]. 機(jī)械傳動(dòng), 2013, 37(5): 47-49.

DONG X H, MA Y, LIU Q. Realization method of tooth root transition curve best linetype of involute gear[J]. Journal of Mechanical Transmission, 2013, 37(5): 47-49 (in Chinese).

[5] SAPIDIS N S, FREY W H. Controlling the curvature of a quadratic Bézier curve[J]. Computer Aided Geometric Design, 1992, 9(2): 85-91.

[6] FREY W H, FIELD D A. Designing Bézier conic segments with monotone curvature[J]. Computer Aided Geometric Design, 2000, 17(6): 457-483.

[7] WALTON D J, MEEK D S. A planar cubic Bézier spiral[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 1996, 72(1): 85-100.

[8] WALTON D J, MEEK D S, ALI J M. Planar G2 transition curves composed of cubic Bézier spiral segments[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2003, 157(2): 453-476.

[9] WALTON D J, MEEK D S. A further generalisation of the planar cubic Bézier spiral[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2012, 236(11): 2869-2882.

[10] AHMAD A, GOBITHAASAN R U. Rational quadratic Bézier spirals[J]. Sains Malaysiana, 2018, 47(9): 2205-2211.

[11] WANG A Z, ZHAO G, HOU F. Constructing Bézier curves with monotone curvature[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2019, 355: 1-10.

[12] 王愛增, 何川, 趙罡, 等. 基于幾何方法的曲率單調(diào)Bézier曲線的一個(gè)充分必要準(zhǔn)則[J]. 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào), 2019, 31(9): 1617-1621.

WANG A Z, HE C, ZHAO G, et al. A sufficient and necessary criterion for curvature monotone bézier curves[J]. Journal of Computer-Aided Design & Computer Graphics, 2019, 31(9): 1617-1621 (in Chinese).

[13] AHMAD A, AHMAT N, ADNAN M. Fair transition spiral using a single rational quadratic Bézier curve[J]. Journal of Computer Science & Computational Mathematics, 2020, 10(1): 7-12.

[14] CANTóN A, FERNáNDEZ-JAMBRINA L, VáZQUEZ-GALLO M J. Curvature of planar aesthetic curves[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2021, 381: 113042.

[15] LUPA? A. A-analogue of the Bernstein operator [J]. Seminar on Numerical and Statistical Calculus, 1987, 9: 85-92.

[16] PHILLIPS G M. A de Casteljau algorithm for generalized Bernstein polynomials[J]. BIT Numerical Mathematics, 1997, 37(1): 232-236.

[17] OSTROVSKA S. The-versions of the Bernstein operator: from mere analogies to further developments[J]. Results in Mathematics, 2016, 69(3-4): 275-295.

[18] Oru? H. Generalized Bernstein polynomials and total positivity [D]. Scotland: University of St. Andrews, 1998.

[19] ORU? H, PHILLIPS G M.-Bernstein polynomials and Bézier curves[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2003, 151(1): 1-12.

[20] DI?IBüYüK ?, ORU? H. A generalization of rational Bernstein-Bézier curves[J]. BIT Numerical Mathematics, 2007, 47(2): 313-323.

[21] DI?IBüYüK ?, ORU? H. Tensor product-Bernstein polynomials[J]. BIT Numerical Mathematics, 2008, 48: 689-700.

[22] SIMEONOV P, ZAFIRIS V, GOLDMAN R.-Blossoming: a new approach to algorithms and identities for-Bernstein bases and-Bézier curves[J]. Journal of Approximation Theory, 2012, 164(1): 77-104.

[23] SIMEONOV P, GOLDMAN R. Quantum B-splines[J]. BIT Numerical Mathematics, 2013, 53(1): 193-223.

[24] HAN L W, CHU Y, QIU Z Y. Generalized Bézier curves and surfaces based on Lupa?-analogue of Bernstein operator[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2014, 261: 352-363.

[25] HAN L W, WU Y S, CHU Y. Weighted Lupa?-Bézier curves[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2016, 308: 318-329.

[26] JIN Y Q, ZHAO S, WANG Y H. An optimal feed interpolator based on G2continuous bézier curves for high-speed machining of linear tool path[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2019, 32(1): 1-10.

[27] 何川, 趙罡, 王偉, 等. 曲率單調(diào)Bézier曲線G1插值算法及應(yīng)用[J]. 圖學(xué)學(xué)報(bào), 2021, 42(4): 644-650.

HE C, ZHAO G, WANG W, et al. G1 interpolation algorithm and application of Bézier curves with monotone curvature[J]. Journal of Graphics, 2021, 42(4): 644-650 (in Chinese).

[28] 施法中. 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)與非均勻有理B樣條[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001: 173-186.

SHI F Z. CAGD & NURBS[M]. Beijing: Higher Education Press, 2001: 173-186 (in Chinese).

[29] 王國(guó)瑾, 劉利剛. 幾何計(jì)算逼近與處理[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2015: 108-118.

WANG G J, LIU L G. Geometric computation approximation and processing[M]. Beijing: Science Press, 2015: 108-118 (in Chinese).

[30] KAC V, CHEUNG P. Symmetric quantum calculus[M]// Quantum Calculus. New York: Springer New York, 2002: 99-104.

[31] 王仁宏, 李崇君, 朱春鋼. 計(jì)算幾何教程[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2008: 102-116.

WANG R H, LI C J, ZHU C G. Computational geometry course[M]. Beijing: Science Press, 2008: 102-116 (in Chinese).

Combinatorial quadratic Phillips-Bézier curves with monotone curvature

LIANG Ji-na1, XIE Bin2, HAN Li-wen1,3,4

(1. School of Mathematical Sciences, Hebei Normal University, Shijiazhuang Hebei 050024, China; 2. College of Computer and Cyber Security, Hebei Normal University, Shijiazhuang Hebei 050024, China; 3. Hebei Key Laboratory of Computational Mathematics and Applications, Shijiazhuang Hebei 050024, China; 4. Hebei International Joint Research Center for Mathematics and Interdisciplinary Science, Shijiazhuang Hebei 050024, China)

Phillips-Bézier curves are a class of generalized Bézier curves containing-integers. The research was conducted on the curvature monotonicity condition of quadratic Phillips-Bézier curve from two aspects of algebra and geometry. Based on this, the following two curves were constructed: a quadratic Phillips-Bézier curve with monotonous curvature and a combined quadratic Phillips-Bézier curve with decreasing curvature. Firstly, through the coordinate representation of curve curvature, this paper explored the condition of monotonic curvature in algebraic form. By defining the curvature decreasing (or increasing) bounding circle, the geometric sufficient and necessary conditions were given to enable decreasing (or increasing) curvature for quadratic Phillips-Bézier curves. In the case of the shape parameter=1, Phillips-Bézier curves would degenerate into classical Bézier curves. Thus, the curvature monotonicity conditions of quadratic Phillips-Bézier curves include the results of classical quadratic Bézier curves. Secondly, the paper examined the2smooth condition of quadratic Phillips-Bézier curves and the influence of parameters on the stitching curve. Thirdly, for the quadratic Phillips-Bézier curve with given initial and final control vertices, the appropriate intermediate control vertex was selected, the range of shape parameters was obtained in the case of decreasing (or increasing) curvature, and a quadratic Phillips-Bézier curve with decreasing (or increasing) curvature was constructed. Furthermore, a combined quadratic Phillips-Bézier curve was constructed, which could satisfy both2smooth condition and decreasing curvature. Finally, using the combined quadratic Phillips-Bézier curve with decreasing curvature, the transition curve between two circles with inclusion relationship was constructed. The numerical examples highlight the advantages and flexibility of the combinatorial quadratic Phillips-Bézier curve in modeling.

Phillips-Bézier curve; monotonic curvature; bounding circle;2blending; transition curve

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2022030443

A

2095-302X(2022)03-0443-10

2021-09-23；

2021-10-27

23 September，2021；

27 October，2021

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(62076088)；河北省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(A2018205103)；河北師范大學(xué)科研基金資助項(xiàng)目(L2020Z02)

National Natural Science Foundation of China (62076088); National Natural Science Foundation of Hebei Province (A2018205103); Research Fund of Hebei Normal University (L2020Z02)

梁吉娜(1997–)，女，碩士研究生。主要研究方向?yàn)镃AGD。E-mail：996953165@qq.com

LIANG Ji-na (1997–), master student . Her main research interest covers CAGD. E-mail：996953165@qq.com

韓力文(1974–)，女，教授，博士。主要研究方向?yàn)镃AGD、計(jì)算幾何。E-mail：hanliwen@sina.com

HAN Li-wen (1974–), professor, Ph.D. Her main research interests cover CAGD, computer geometry. E-mail：hanliwen@sina.com