高云峰

(清華大學(xué)航天航空學(xué)院, 北京 100084)

教育是為了培養(yǎng)具有良好人格品性、較強(qiáng)行動(dòng)能力、較好思維品質(zhì)和較深創(chuàng)造潛能的人才，其本質(zhì)是培養(yǎng)學(xué)生思維和解決問題的能力。因此，教師在教學(xué)中應(yīng)注重融入思維方法，給學(xué)生留一些探索空間，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題。

理論力學(xué)是大部分工科學(xué)生的必修課程，它既是一門基礎(chǔ)學(xué)科又是一門技術(shù)學(xué)科；理論力學(xué)教學(xué)強(qiáng)調(diào)基本概念、基本理論和基本方法，但是課程中概念多、公式多，是工科比較難學(xué)的課程之一。很多學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)總感到很抽象，會(huì)做題，但不知道如何應(yīng)用于實(shí)際中。

其實(shí)力學(xué)課程包含了豐富的內(nèi)容，很多力學(xué)現(xiàn)象也富有啟發(fā)教育意義。因此我在講授相關(guān)的力學(xué)知識和原理時(shí)，除了常規(guī)的案例和題目，也會(huì)嘗試從日常生活、體育運(yùn)動(dòng)、工程實(shí)踐中尋找和提煉一些案例及思考角度和分析方法。

本系列文章嘗試從不同的方面介紹一些趣味問題，包括觀察與思考、定性與定量、系統(tǒng)與模型、類比與聯(lián)想、直覺與猜測，每篇文章著重一個(gè)方面（可能有少量的交叉），融入不同的思維模式及處理問題的方法，這些問題既與學(xué)生所學(xué)知識有關(guān)，又生動(dòng)有趣、富有哲理，還不同于傳統(tǒng)教育的方法和思路。這樣，一方面讓學(xué)生體會(huì)到如何利用知識解釋某些現(xiàn)象，了解抽象理論如何與實(shí)際相結(jié)合；另一方面讓學(xué)生了解分析問題的方法，并從這些現(xiàn)象或案例中受到啟發(fā)，獲得超越知識的思維方法和能力。

1 自行車運(yùn)動(dòng)中的現(xiàn)象

眾所周知，月亮繞著地球轉(zhuǎn)動(dòng)。但是有首歌唱到：“月亮走，我也走”，又反映了人們看問題的主觀性及事實(shí)：當(dāng)你走動(dòng)時(shí)，的確會(huì)感到月亮跟著你走。

人們在實(shí)際生活中經(jīng)常會(huì)以自己的身體、身邊的物體作為參考系，從而容易得到主觀的結(jié)論。因此在描述物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，先要定一個(gè)基準(zhǔn)，這一概念在生活中可能不是那么顯然易見，導(dǎo)致一些似是而非的現(xiàn)象或觀點(diǎn)。以學(xué)生熟悉的自行車為例，就存在一個(gè)有趣的現(xiàn)象。

假設(shè)自行車正常行駛，車速為5 m/s，則車輪中心的速度也是5 m/s（圖1）。車輪不打滑，其與地面接觸點(diǎn)（A點(diǎn)）的速度為零，車輪最高點(diǎn)（B點(diǎn)）的速度為10 m/s（圖2）。

圖1 自行車運(yùn)動(dòng)

根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，物體速度越快，看上去越模糊。因此推論是：圖2中A點(diǎn)附近的輻條看上去應(yīng)該比較清楚，而B點(diǎn)附近的輻條應(yīng)該比較模糊。

圖2 車輪速度

當(dāng)學(xué)生半信半疑時(shí)，PPT顯示出人騎自行車的實(shí)際照片：靠近地面的輻條很清晰，上方的輻條很模糊（圖3）。絕大部分學(xué)生感到很震驚：真是這樣??！然后我現(xiàn)場進(jìn)行調(diào)查：

圖3 底部輻條清楚

（a）曾觀察過，就是這樣；

（b）曾觀察過，但與照片上不一樣；

（c）沒注意觀察該現(xiàn)象。

絕大部分學(xué)生選項(xiàng)是（c），極少數(shù)學(xué)生選（a）或（b）。當(dāng)學(xué)生們還在感慨平時(shí)沒有注意時(shí)，PPT顯示出另一張照片：車輪中心處的輻條清楚，上下的輻條都模糊（圖4）。我隨后提出“你難到?jīng)]有看到這樣的情況嗎？”

圖4 中間輻條清楚

學(xué)生們陷入了沉思：都是實(shí)際照片，為什么會(huì)有不同的結(jié)論呢？

讓學(xué)生思考、討論一會(huì)兒，然后給出解釋：人的眼睛會(huì)自動(dòng)對焦于明顯的物體上，因此當(dāng)你看別人騎車時(shí)，眼睛會(huì)不自覺地自動(dòng)聚焦于人或自行車，這時(shí)你會(huì)發(fā)現(xiàn)身體的邊緣比較清晰（圖4）。如果有意識地控制眼睛不轉(zhuǎn)動(dòng)，則會(huì)發(fā)現(xiàn)人的邊緣有些模糊，但車輪的底部輻條很清晰（圖3）。

因此圖3是把相機(jī)固定，抓拍從前面經(jīng)過的自行車；圖4是讓相機(jī)跟隨自行車運(yùn)動(dòng)，對準(zhǔn)焦距后按下快門。

有一個(gè)類似的案例?；疖嚽斑M(jìn)時(shí)，不知道大家是否注意過這樣的現(xiàn)象：（1）看到窗外物體向后退去；（2）短時(shí)間內(nèi)看到窗外某物體基本不動(dòng)；（3）短時(shí)間內(nèi)看到窗外某物體向前運(yùn)動(dòng)。請有興趣的讀者自行觀察思考。

2 跳高方式的變化及其原因

跳高是征服高度的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，是人類不屈不撓、不斷進(jìn)取的象征。在不斷越過新的高度時(shí)，運(yùn)動(dòng)員采用的跳高姿勢也在不斷演變。

在講解動(dòng)量定理時(shí)，在案例中可以設(shè)計(jì)一個(gè)跳高的案例。我向?qū)W生提問：是否注意過跳高有哪些方式？歷史上跳高的方式為什么會(huì)發(fā)生變化呢？

（1）剪式(scissors style)：一腿向前伸出先過桿，另一腿再過。1895年，美國人斯維尼（Sweeney）用“波浪式”的新技術(shù)，后來稱為“剪式”圖5(a)，跳過了1.97 m的高度。這個(gè)紀(jì)錄保持了17年。

（2）翻滾式(western roll)：身體繞縱軸翻滾，水平過桿。1912年美國運(yùn)動(dòng)員霍林（Horine）用獨(dú)創(chuàng)的“滾式”圖5(b)，跳過了2.01 m的高度。成為世界上第一個(gè)突破2米大關(guān)的人。

（3）背越式(Fosbury flop)：身體彎曲，背部過桿。1968年美國運(yùn)動(dòng)員福斯貝里（Fosbury）在第19屆奧運(yùn)會(huì)上，以獨(dú)特的弧線助跑，背向橫竿的過竿方法（圖5(c)），以2.24米摘取了男子跳高桂冠。

圖5 不同的跳高方式

目前世界級的跳高選手在比賽中都采用背越式過桿。這里面有什么原因嗎？

在動(dòng)量定理這一章節(jié)中，質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理公式表示為[1]

其中m表示質(zhì)量，aC表示質(zhì)心加速度，R(e)表示物體受到的外力。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理表明: 物體的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積等于作用于物體上的外力。身體在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)（圖6），速度不快，因此暫不考慮空氣的影響，其動(dòng)力學(xué)方程為

圖6 運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)

初始條件為

方程（2）的解為

消去式（4）中的時(shí)間，有

式（5）表明曲線是拋物線，因此可以得出結(jié)論：運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，身體的質(zhì)心作拋物線運(yùn)動(dòng)；在空中不管運(yùn)動(dòng)員手腳如何運(yùn)動(dòng)，各關(guān)節(jié)力與肌肉力均為內(nèi)力，不影響身體質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)。

注意：雖然不同姿勢對質(zhì)心運(yùn)動(dòng)沒有影響，但質(zhì)心相對身體的位置是否受影響？參考身體的生理結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，有理由認(rèn)為身體以不同方式過桿時(shí)，質(zhì)心的相對位置為：

（1）采用剪式方式過桿時(shí)，身體質(zhì)心大約在桿上方30 cm處（圖7a）；

（2）采用翻滾式方式過桿時(shí)，身體質(zhì)心大約在桿上方10 cm處（圖7b）；

（3）采用背越式方式過桿時(shí)，身體質(zhì)心估計(jì)在背部下方20 cm（圖7c），注意這時(shí)質(zhì)心從橫桿下方通過。

圖7 不同跳高方式的質(zhì)心位置

以上的數(shù)據(jù)是估計(jì)的，但是不妨礙后面的結(jié)論（這是定性分析的一個(gè)特點(diǎn)，數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確甚至沒有數(shù)據(jù)，不影響結(jié)論，詳見后續(xù)關(guān)于定性分析的文章）。

一個(gè)運(yùn)動(dòng)員經(jīng)過長期訓(xùn)練，其助跑速度、起跳角度比較穩(wěn)定，采用不同的方式起跳，其質(zhì)心均作拋物線運(yùn)動(dòng)，不妨假設(shè)起跳后拋物線的最高點(diǎn)為1.8 m（這一高度體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)員的身體素質(zhì)）。根據(jù)前面的分析，采用不同方式過桿時(shí)，跨越式最大過桿高度為1.8 – 0.3 = 1.5 m；翻滾式最大過桿高度為1.8 – 0.1 = 1.7 m；背越式最大過桿高度為1.8 + 0.2 = 2.0 m。

這就是為什么現(xiàn)在世界級跳高選手都采用背越式的原因。

3 跳水運(yùn)動(dòng)員空中運(yùn)動(dòng)違反動(dòng)量矩定理嗎

伏明霞是跳水冠軍，她退役后在清華學(xué)習(xí)過一段時(shí)間，清華當(dāng)時(shí)組織過一個(gè)科技團(tuán)隊(duì)研究跳水運(yùn)動(dòng)，我也參與其中，對跳水運(yùn)動(dòng)有了一些了解。

在體育運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員繞身體橫軸的轉(zhuǎn)動(dòng)稱為“空翻”，繞身體縱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)稱為“轉(zhuǎn)體”。跳水比賽中經(jīng)常見到運(yùn)動(dòng)員在空中做復(fù)雜的翻滾動(dòng)作：運(yùn)動(dòng)員先是做空翻動(dòng)作(角速度沿y軸方向，圖8(a)）；然后在空中變?yōu)榭辗愚D(zhuǎn)體（角速度沿y軸和z軸都有分量，圖8(b)）。

圖8 從空翻變?yōu)榭辗?轉(zhuǎn)體

早期運(yùn)動(dòng)員在起跳時(shí)通過腳部不對稱用力產(chǎn)生空翻加轉(zhuǎn)體（稱為“早旋”），后來改為運(yùn)動(dòng)員在空中發(fā)起動(dòng)作變?yōu)榭辗愚D(zhuǎn)體（稱為“晚旋”）。現(xiàn)在跳水規(guī)則將“早旋”視為犯規(guī)動(dòng)作。

俗話說“外行看熱鬧，內(nèi)行看門道”。學(xué)過動(dòng)量矩定理的學(xué)生，對“早旋”很容易理解，但可能會(huì)對“晚旋”感到疑惑：運(yùn)動(dòng)員的空中運(yùn)動(dòng)是否滿足動(dòng)量矩守恒？身體在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)只受重力作用（空氣阻力較小忽略不計(jì)），根據(jù)動(dòng)量矩定理，身體對質(zhì)心的動(dòng)量矩應(yīng)該守恒。運(yùn)動(dòng)員開始時(shí)只有空翻，后來在空中變?yōu)榭辗愚D(zhuǎn)體，看起來又違反了動(dòng)量矩定理。

如果沒有仔細(xì)觀察運(yùn)動(dòng)員在空中做的動(dòng)作，的確容易產(chǎn)生這樣的疑問。

仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)：運(yùn)動(dòng)員在空中轉(zhuǎn)體前，會(huì)做一個(gè)不起眼的“領(lǐng)臂”動(dòng)作：原來舉起的手臂，突然彎曲并錯(cuò)開相向運(yùn)動(dòng)，如圖9(a)。這一動(dòng)作時(shí)間很短暫，一般觀眾不太容易注意這一細(xì)節(jié)，更多關(guān)注運(yùn)動(dòng)員整體運(yùn)動(dòng)。

圖9 領(lǐng)臂動(dòng)作示意圖

雙手相向運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生一個(gè)沿x方向的動(dòng)量矩，根據(jù)動(dòng)量矩守恒，身體會(huì)自動(dòng)產(chǎn)生一個(gè)反向的傾斜轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖9(b)。由于身體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量遠(yuǎn)大于手臂的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，所以身體只有較小的轉(zhuǎn)角。這一結(jié)論可以從實(shí)際跳水照片中得到印證：照片中運(yùn)動(dòng)員的雙手已經(jīng)彎曲到位，身體也傾斜了（圖10）。參考照片背景中的觀眾（白色衣服），可以知道運(yùn)動(dòng)員的傾斜角度不大。

圖10 實(shí)際跳水照片

設(shè)初始時(shí)運(yùn)動(dòng)員身體是豎直的，空翻時(shí)動(dòng)量矩方向水平，如圖8(a)，當(dāng)手臂做領(lǐng)臂動(dòng)作導(dǎo)致身體傾斜后，身體的橫軸相應(yīng)傾斜了。根據(jù)身體對質(zhì)心的動(dòng)量矩守恒，這時(shí)身體會(huì)自動(dòng)產(chǎn)生了繞縱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，從而使得身體對質(zhì)心總動(dòng)量矩守恒（圖11）。

圖11 動(dòng)量矩守恒的結(jié)果

如果沒有注意到彎臂細(xì)節(jié)，想象中認(rèn)為跳水運(yùn)動(dòng)從圖8(a)的狀態(tài)直接到圖8(b)的狀態(tài)，就會(huì)導(dǎo)致認(rèn)為動(dòng)量矩不守恒的問題。而實(shí)際情況是從圖8(a)到圖11，在動(dòng)量矩守恒的情況下完成復(fù)雜的轉(zhuǎn)動(dòng)。

理解跳水運(yùn)動(dòng)的解釋后，也可以類似解釋貓?jiān)诳罩械霓D(zhuǎn)體，我曾經(jīng)以“為什么說貓有九條命”為題給《十萬個(gè)為什么》叢書撰稿，解釋了貓?jiān)诳罩蟹磉^程中不是繞身體的自轉(zhuǎn)，而是彎腰后產(chǎn)生進(jìn)動(dòng)的結(jié)果[2]，這樣既滿足動(dòng)量矩守恒，身體又不會(huì)扭起來。

4 總結(jié)

在科學(xué)研究中，觀察是其中的重要環(huán)節(jié)，首先觀察事物的表面現(xiàn)象，然后由表及里，找出事物內(nèi)部的原因。貝弗里奇（Beveridge）在《科學(xué)研究的藝術(shù)》中，強(qiáng)調(diào)觀察時(shí)要注意細(xì)節(jié)，不可把觀察到的現(xiàn)象與對現(xiàn)象的理解混為一談，不要讓推理的結(jié)論超越事實(shí)[3]。本文從觀察與思考的角度介紹了一些啟發(fā)性的案例，強(qiáng)調(diào)現(xiàn)象背后的道理，讓學(xué)生從案例中受到啟發(fā)，在獲得知識的同時(shí)，又超越知識，領(lǐng)悟更多的道理。

從以上案例中可以得出幾點(diǎn)結(jié)論或啟示。

（1）力學(xué)中的參考系相當(dāng)于看問題的立場，同一件事情從不同的立場來看就會(huì)有不同的結(jié)論。這也說明在運(yùn)動(dòng)學(xué)中描述運(yùn)動(dòng)首先要明確參考系，否則會(huì)出現(xiàn)“公說公有理、婆說婆有理”的現(xiàn)象。表面上矛盾的兩張照片，在考慮參考系的運(yùn)動(dòng)后就統(tǒng)一了。這啟發(fā)我們：日常生活中矛盾的事物或現(xiàn)象，如果站在更高的角度可能會(huì)統(tǒng)一起來，所以上級領(lǐng)導(dǎo)容易調(diào)解下級的糾紛矛盾。

（2）運(yùn)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，很容易理解跳高方式變遷的原因。若把拋物線的最高點(diǎn)理解為運(yùn)動(dòng)員的能力，而桿的高度理解為運(yùn)動(dòng)員表現(xiàn)出來的成績，可以發(fā)現(xiàn)不同的過桿方式導(dǎo)致不同的成績。很容易引伸出做事情方法很重要，在能力一定的情況下，方法好就可以“事半而功倍”，這已經(jīng)超越了具體的力學(xué)知識，對學(xué)生一生大有裨益。

（3）跳水運(yùn)動(dòng)中的空翻加轉(zhuǎn)體動(dòng)作，如果沒有仔細(xì)觀察，沒有注意到手臂的動(dòng)作，會(huì)產(chǎn)生很多疑惑。實(shí)際上在跳水運(yùn)動(dòng)中只需要“舉手之勞”就能實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的動(dòng)作，而不懂科學(xué)道理拼命訓(xùn)練效果并不好，還容易在運(yùn)動(dòng)中發(fā)生損傷。

從上面的案例中再進(jìn)一步思考，雖然有“眼見為實(shí)”的說法，但是眼睛所看到的現(xiàn)象仍有可能是事物的表面現(xiàn)象，如果我們要更全面地了解一些事物，除了要仔細(xì)觀察，同時(shí)還需要善于思考。在很多情況下，如果不仔細(xì)觀察，或者只是觀察而缺乏思考，則很容易得出一些似是而非的結(jié)論。

《論語·為政》中說：學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆[4]。一味讀書而不思考，只能被書本牽著鼻子走，會(huì)被書本所累，從而受到書本表象的迷惑而不得其解；一味埋頭苦思而不進(jìn)行一定的知識的積累，也只能是流于空想，問題仍然不會(huì)得到解決，還會(huì)產(chǎn)生更多的疑惑而更加危險(xiǎn)。只有把學(xué)習(xí)和思考結(jié)合起來，才能學(xué)到有用的真知；只有把觀察和思考結(jié)合起來，才能發(fā)現(xiàn)事物背后深刻的道理。