鄔明宇，陳志剛，童 浩，王 靜，尹 航，鄭文博，李 耀，禹 真，危銀濤

（1.清華大學(xué)車輛與運載學(xué)院，北京 100084；2.中國第一汽車股份有限公司研發(fā)總院，長春 130013；3.汽車振動噪聲與安全控制綜合技術(shù)國家重點試驗室，長春 130013；4.科馬智能懸架技術(shù)（青島）有限公司，青島 266300）

前言

空氣彈簧（簡稱空簧）以其優(yōu)良的隔振性能，已在車輛和部分精密隔振領(lǐng)域得到了普遍關(guān)注和應(yīng)用。對于乘用車來說，空氣彈簧具有可調(diào)高度、改善平順性、質(zhì)量較輕和可有效抑制噪聲等優(yōu)點。普通乘用車單腔膜式空氣彈簧通過管路連接到儲氣罐、壓縮機或排氣閥進行充放氣操作。精確合理的空氣彈簧動力學(xué)模型是空氣懸架系統(tǒng)設(shè)計、建模和控制的基礎(chǔ)。但是目前空簧動力學(xué)建模存在兩個挑戰(zhàn)：（1）氣囊橡膠的貢獻難以從理論和實驗上驗證；（2）動剛度隨振幅的非線性變化難以建模。本文基于實驗和理論分析，提出一個一般的非線性動剛度模型以解決這兩個難題。

空氣彈簧動力學(xué)等效模型在諸多論文中已有論述。Li 等利用幾何學(xué)對鐵路用空氣彈簧進行非線性建模并通過實驗分析了幾何特性對垂向剛度的影響。Lee 等在Harris和Bryan工作的基礎(chǔ)上，基于熱力學(xué)建立雙腔空氣彈簧動力學(xué)模型并分析氣體的振蕩過程及其頻率相關(guān)性。Docquire 等對動態(tài)過程中熱交換過程的敏感性進行分析并研究了雙腔空氣彈簧內(nèi)部的多變過程，其研究表明空氣彈簧的動力學(xué)特性與熱交換率呈強相關(guān)。李芾等對空氣彈簧等效力學(xué)模型參數(shù)進行分析，給出不同參數(shù)對空氣彈簧動力學(xué)特性的影響。陸曉黎等對空氣彈簧進行有限元分析，從設(shè)計角度對空氣彈簧的靜剛度和承載力進行了精確預(yù)報。陳俊杰基于設(shè)計參數(shù)對車用空氣彈簧的靜剛度進行預(yù)測并分析了其振幅相關(guān)性，通過實驗反推出橡膠氣囊的影響。陳俊杰等利用線性模型和實驗參數(shù)辨識方法對空氣彈簧靜剛度關(guān)鍵參數(shù)進行標(biāo)定。

但上述研究都無法解決氣囊橡膠對剛度的貢獻度和動剛度隨振幅非線性變化建模的難題，故本文中提出了一種考慮氣囊橡膠Payne 效應(yīng)和熱力學(xué)等效剛度阻尼滯回特性的膜式空氣彈簧非線性動剛度模型，以解決空氣彈簧動剛度非線性建模難題。

橡膠材料的Payne 效應(yīng)指的是橡膠材料動剛度隨著簡諧激勵振幅的減小而增大的現(xiàn)象，有諸多學(xué)者對這一效應(yīng)進行了廣泛研究。本文中設(shè)計的動剛度實驗定量表明，空氣彈簧動剛度隨振幅變化的非線性主要是由于氣囊橡膠的Payne 效應(yīng)引起的，這與Kind 等的定性分析一致，該文獻指出膜式空氣彈簧的Payne 效應(yīng)是直接導(dǎo)致聲振粗糙度（harshness）的原因。但是目前少見有基于Payne 效應(yīng)、考慮氣囊動力學(xué)特性進行膜式空氣彈簧的動力學(xué)分析，并進行動剛度實部和虛部擬合及解釋的方法和理論。本文中首先基于熱力學(xué)考慮氣體剛度、有效面積剛度和熱交換等效阻尼和橡膠材料Payne效應(yīng)理論給出一種解耦的膜式空氣彈簧動剛度模型與各貢獻量的數(shù)學(xué)表達與參數(shù)辨識方法；其次設(shè)計示功實驗在不同激勵頻率和振幅下對其實部和虛部分別進行參數(shù)辨識，對動剛度模型進行驗證；最后從振幅和頻率兩個維度給出各貢獻量對動剛度的影響及其變化規(guī)律和物理解釋。實驗結(jié)果表明，本文提出的考慮Payne 效應(yīng)的膜式空氣彈簧動剛度模型在不同頻率和振幅下均可精確反映動剛度的實部和虛部，為膜式空氣彈簧的正向開發(fā)提供指導(dǎo)，并對膜式空氣懸架的動力學(xué)行為的精確預(yù)報提供基礎(chǔ)。

1 膜式空氣彈簧動剛度模型

普通乘用車單腔膜式空氣彈簧示意圖及其參數(shù)定義如圖1 所示，空氣彈簧的垂向剛度主要受內(nèi)部高壓氣體和橡膠氣囊的影響。本文提出的膜式空氣彈簧動剛度模型主要根據(jù)熱力學(xué)和橡膠材料的Payne效應(yīng)，分別對兩部分剛度進行推導(dǎo)并得到最終的一般動剛度公式。其中熱力學(xué)部分的推導(dǎo)，本文的作者已經(jīng)在文獻［22］中發(fā)表，但為了論文的完備性，本文仍簡要給出熱力學(xué)分析的部分。

1.1 熱力學(xué)方程推導(dǎo)

首先考慮氣體剛度。在充放氣過程結(jié)束后，單腔膜式空氣彈簧就成為了一個內(nèi)部氣體定質(zhì)量工作的系統(tǒng)（見圖1）。

圖1 單腔空氣彈簧參數(shù)定義

首先假設(shè)力和位移矢量向上為正；壓強、溫度、體積和氣體質(zhì)量增大為正；系統(tǒng)從外部吸熱、外部對氣體做功和氣體內(nèi)能增加為正。表示有效面積。則基于熱力學(xué)第一定律可以得出方程為

式中：下標(biāo)b 和atm 分別代表氣囊和外界大氣；表示空氣定容比熱容；表示熱交換系數(shù)。結(jié)合理想氣體狀態(tài)方程=和微分形式消去溫度對時間的導(dǎo)數(shù)。又根據(jù)壓強表達式和運動學(xué)方程，得到空氣彈簧體積變化率和力學(xué)傳遞公式：

對氣囊與外界大氣溫度差、氣囊壓強與其速度耦合項和空氣懸架系統(tǒng)行程之間做了如下假設(shè)：

式中下標(biāo)0 代表初始狀態(tài)。對空氣彈簧傳遞的力進行全微分，得到關(guān)于有效面積變化和壓強變化的兩部分對剛度的貢獻量：

將式（2）～式（4）進行傅里葉變換，并將懸架動行程的傅里葉變換()=()-()代入，則空氣彈簧氣體產(chǎn)生的動剛度如式（5）所示。

式（5）即為由內(nèi)部高壓氣體產(chǎn)生的單腔膜式空氣彈簧動剛度公式，各部分具有明確的物理意義。表示由有效面積變化產(chǎn)生的剛度變化，基于實驗測得；是由高壓氣體產(chǎn)生的剛度；是內(nèi)部氣體和氣囊與外界熱交換產(chǎn)生的等效阻尼。

1.2 橡膠Payne效應(yīng)剛度方程推導(dǎo)

膜式空氣彈簧的氣囊為橡膠-簾線增強復(fù)合材料，在對其垂向剛度計算時主要考慮橡膠動剛度的振幅相關(guān)性，即動剛度隨振幅下降而急劇上升的Payne效應(yīng)。為此，本文假設(shè)氣囊結(jié)構(gòu)動剛度隨振幅的變化符合橡膠材料模量的動剛度隨應(yīng)變的變化規(guī)律，假設(shè)橡膠材料所受的振蕩簡諧應(yīng)變?yōu)?/p>

式中：為應(yīng)變幅；為應(yīng)變角速度。由于橡膠的黏彈性滯后效應(yīng)，其復(fù)模量（動態(tài)模量）可以寫為

式中為滯后角。進一步，可以將橡膠材料復(fù)模量分解成實部和虛部：

式中：實部稱為儲能（存儲）模量，正比于每循環(huán)中單位材料所儲存的最大能量；虛部″為損耗模量，表示循環(huán)中單位材料由于剪切和摩擦產(chǎn)生的不可逆能量損耗和黏滯損耗的熱量。

填充橡膠的動態(tài)力學(xué)特性幅值相關(guān)性是由于填料網(wǎng)絡(luò)間的van der Waals 鍵的斷裂和重構(gòu)引起的，且分別是應(yīng)變幅的指數(shù)函數(shù)，Kraus假設(shè)每個動態(tài)循環(huán)內(nèi)斷裂的van der Waals 鍵的總數(shù)正比于現(xiàn)存的van der Waals 鍵總數(shù)，網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)率正比于斷裂的鍵總數(shù)，材料處于動態(tài)平衡時斷裂和重構(gòu)的速率相等。基于上述假設(shè)，則可以得到任意應(yīng)變幅值下的動態(tài)損耗模量和存儲模量，這就是著名的橡膠動態(tài)模量Kraus模型：

式中：為特征應(yīng)變（定值）；為與炭黑結(jié)構(gòu)的分維數(shù)相關(guān)的常數(shù)；′和″為無窮大應(yīng)變下對應(yīng)的模量。本文的一個創(chuàng)新點是認(rèn)為空氣彈簧動剛度的振幅非線性就是由于氣囊橡膠的Payne 效應(yīng)引起的，并且符合式（9）的物理規(guī)律，與式（5）熱力學(xué)剛度公式結(jié)合，提出考慮空簧剛度振幅非線性和頻率變化的普適的動剛度模型，并設(shè)計系統(tǒng)的動力學(xué)實驗加以驗證。由于膜式空氣彈簧在進行示功實驗時其宏觀位移激勵（動行程）幅值并非氣囊的應(yīng)變，假設(shè)氣囊的應(yīng)變與位移激勵呈正比。進一步，結(jié)合橡膠材料的參數(shù)，大量實驗分析結(jié)果表明的值約為0.5，且與炭黑種類無關(guān)，考慮實際物理意義與后續(xù)計算、參數(shù)辨識和實際工程應(yīng)用等方面，取=0.5，代入式（9），可得空氣彈簧氣囊結(jié)構(gòu)儲能剛度和損耗剛度″與激勵振幅關(guān)系，將其簡化為

式中為特征振幅（定值）?；谇笆瞿Ｐ停傻脝吻荒な娇諝鈴椈傻膭觿偠扔嬎惴椒ǎò瑲怏w部分產(chǎn)生的動剛度和橡膠氣囊產(chǎn)生的動剛度）：

由此可見，膜式空氣彈簧的動剛度分為實部（彈性剛度部分）和虛部（滯回?fù)p耗部分）。其中實部由橡膠材料剛度、有效面積變化率和氣體等效剛度構(gòu)成；虛部由橡膠材料滯回特性和固氣間熱交換產(chǎn)生。根據(jù)上述理論，可以得出膜式空氣彈簧等效力學(xué)模型，如圖2所示。

圖2 單腔膜式空氣彈簧等效力學(xué)模型

可以看出，單腔膜式空氣彈簧等效力學(xué)模型的并聯(lián)組成部分包括：有效面積變化產(chǎn)生的剛度、高壓氣體剛度與等效滯回阻尼串聯(lián)、由橡膠材料產(chǎn)生的與位移相關(guān)的儲能模量和損耗模量″。需要指出的是，橡膠材料的儲能模量可以看做等效彈簧，但是損耗模量不能等效為線性黏性阻尼。雖然其形式上是直接對滯回特性產(chǎn)生影響，但其不隨頻率發(fā)生變化，僅是振幅的函數(shù)。

下面給出實驗數(shù)據(jù)處理方法。對有效面積產(chǎn)生的剛度，參考式（5）理論公式，用最小二乘法進行實驗數(shù)據(jù)計算。如上所述，空氣彈簧由于滯回特性，其加載和卸載曲線不重合。假設(shè)其示功曲線如圖3所示，取空氣彈簧充放氣結(jié)束后的靜態(tài)工作點為基準(zhǔn)點進行分析。

圖3 空氣彈簧（線性剛度）滯回曲線

根據(jù)滯回曲線的一般計算方法，可以列出關(guān)于實部和虛部的一般表達式為

式中：為滯回角；為滯回面積。

基于實驗值，通過式（5）和式（12）確定、k和動剛度實部與虛部，進而進行橡膠材料和熱交換等效阻尼的參數(shù)辨識。下面根據(jù)實驗進行上述參數(shù)的辨識并通過實驗值和理論值的比較，驗證本文提出的動剛度模型的合理性和正確性。

2 實驗與模型驗證

2.1 實驗臺搭建與實驗描述

為驗證本文中提出的動力學(xué)模型的合理性和準(zhǔn)確性，本文采用國內(nèi)某乘用車型后軸單腔膜式空氣彈簧搭建了Mechanical Testing &Simulation（MTS）示功實驗平臺和氣動系統(tǒng)。氣動系統(tǒng)采用?6 的高壓管，并連接了減壓閥和壓強傳感器（如圖4所示）；作動器采用MTS 試驗機液壓正弦激勵。利用減壓閥控制空氣彈簧內(nèi)部氣體壓強并通過壓強傳感器讀取絕對壓強數(shù)值，調(diào)整完畢后對管長進行約束以減少由于管內(nèi)氣體帶來的誤差。在有效面積隨高度變化的實驗中固定壓強為工作壓強，改變工作高度（氣囊上下端的距離，該距離為體積與有效面積的比值）進行工作高度范圍內(nèi)等分?jǐn)?shù)據(jù)采集。示功實驗中以空氣彈簧初始工作狀態(tài)（=0.23 m，=8 550 N）為初始狀態(tài)進行實驗分析。實驗中選取的振幅和頻率值如表1 所示，每個振幅下均進行所有頻率的實驗，每次實驗進行3 個周期激勵并取第3 組數(shù)據(jù)為實驗值進行數(shù)據(jù)分析。

圖4 實驗平臺與原理圖

表1 實驗振幅和頻率

示功實驗的初始狀態(tài)參數(shù)如表2所示。其中溫度、初始相對壓強、初始壓力由對應(yīng)傳感器直接測得；有效面積由初始位置處壓力與相對壓強比值計算。

2.2 參數(shù)辨識和模型驗證

首先根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，利用式（12）計算出動剛度的實部和虛部。接著基于實驗工況，利用式（5）和表2參數(shù)計算出氣體產(chǎn)生的剛度和阻尼。然后利用最小二乘法進行橡膠材料Payne 效應(yīng)相關(guān)參數(shù)的辨識。理論計算中所取辨識的參數(shù)結(jié)果如表3所示。

表2 示功實驗初始狀態(tài)及相關(guān)參數(shù)

表3 參數(shù)辨識結(jié)果

后續(xù)進行氣體相關(guān)參數(shù)辨識。根據(jù)物理變化，氣體從低頻到中頻轉(zhuǎn)換過程為多變過程。結(jié)合式（11）和表2 相關(guān)參數(shù)，可知氣體熱交換等效阻尼對動剛度實部的影響非常小，故根據(jù)不同頻率下的動剛度實部平移關(guān)系，可以進行氣體剛度的識別。同理，最后根據(jù)動剛度虛部平移關(guān)系和最小二乘法對等效阻尼進行識別。

對動剛度的實部對比結(jié)果如圖5所示。從固定頻率激勵結(jié)果來看（單條曲線），低振幅下橡膠材料的動剛度實部增加尤其劇烈，即Payne 效應(yīng)尤為顯著。不同激勵頻率下的曲線呈現(xiàn)平移趨勢，表明Payne 效應(yīng)對頻率變化不敏感，無耦合，驗證了模型的準(zhǔn)確性。從曲線簇隨頻率變化趨勢可以看出，氣體的等效阻尼對動剛度實部的影響會使其隨頻率增大而增大，且在1 Hz 激勵頻率以上差別不大，存在收斂特性。

圖5 動剛度實部對比結(jié)果

動剛度的虛部對比結(jié)果如圖6所示。從單條曲線來看，在固定頻率下由于橡膠材料的Payne 效應(yīng)會使得動剛度虛部隨振幅的增大呈現(xiàn)先升高后平緩下降的趨勢。這一點從物理意義可以解釋為：當(dāng)振幅極低時材料的Payne 效應(yīng)不明顯，因為此時橡膠材料仍處于線彈性階段；隨著振幅增大，橡膠材料的彈塑性開始顯現(xiàn)，van der Waals 鍵斷裂程度迅速增大導(dǎo)致?lián)p耗模量的迅速上升。在超過一定振幅后每個動態(tài)循環(huán)時van der Waals 鍵破壞率趨于穩(wěn)定，故呈現(xiàn)緩慢下降趨勢。

圖6 動剛度虛部對比結(jié)果

從曲線簇變化趨勢可以看出，隨著頻率增大，動剛度虛部急劇增大，到達峰值（頻率約為0.01 Hz時）后逐漸減小的趨勢。從物理意義角度解釋為：在極低激勵頻率下氣體呈現(xiàn)等溫過程變化，加載卸載曲線重合（準(zhǔn)靜態(tài)）；在較高激勵頻率下氣體呈現(xiàn)絕熱變化，此時氣體與外界熱交換極不充分，能量損失極少，故也無熱交換造成的滯回特性。最后給出不同頻率下辨識的氣體剛度對應(yīng)的多變指數(shù)和等效阻尼，如圖7 所示。其中多變指數(shù)由式（13）（源于式（5））和表2數(shù)據(jù)計算得出：

圖7 多變指數(shù)與等效阻尼辨識結(jié)果

可以看出：氣體剛度部分的等效多變指數(shù)隨著激勵頻率增大而增大，表明氣體從等溫過程向絕熱過程轉(zhuǎn)變；由熱交換產(chǎn)生的等效阻尼隨著頻率增大而減小，尤其在低頻下變化尤為劇烈。這一現(xiàn)象的物理意義可以解釋為：在極低頻下根據(jù)式（11）可知，氣體部分產(chǎn)生的動剛度趨向于由k+決定；在極高頻下由于熱交換不充分，故其動剛度仍趨向于由k+決定。但此時由于多變指數(shù)變化，導(dǎo)致實際動剛度增加。由氣體產(chǎn)生的滯回特性也可由類似分析得出結(jié)論：隨著頻率從零增加，滯回特性先增大后減小。這與Kind等的定性分析一致。

基于上述實驗和對比結(jié)果，引入氣囊對膜式空氣彈簧剛度貢獻的新評價指標(biāo)，其定義為在激勵頻率和振幅下由橡膠材料產(chǎn)生的動剛度模占總剛度模的百分比：

此值直觀地反映了空氣彈簧橡膠氣囊對總剛度貢獻的大小，權(quán)且稱之氣囊的剛度貢獻率，對實際反映裝配空氣懸架系統(tǒng)的車輛在鋪裝路面上行駛的動態(tài)響應(yīng)具有十分重要的作用，也可以直接作為評價氣囊質(zhì)量和動態(tài)特性的重要指標(biāo)。本文選用的空氣彈簧的氣囊對總剛度的貢獻率如圖8所示。

圖8 氣囊剛度貢獻率隨振幅和頻率的變化

可以看出，空氣彈簧氣囊對總剛度的貢獻率隨著振幅增加而明顯下降。根據(jù)表3 參數(shù)辨識結(jié)果也可知，當(dāng)振幅進一步增大到無窮大時，該百分比將降低至1%以下。

3 結(jié)論

本文從物理機理出發(fā)，綜合考慮膜式空氣彈簧橡膠材料的Payne 效應(yīng)、有效面積變化產(chǎn)生的剛度與氣體剛度和等效阻尼對最終實驗動剛度的影響。對實部和虛部分別進行參數(shù)辨識并從振幅和頻率兩個維度闡述了各因素對最終結(jié)果的影響，并給出了針對橡膠氣囊的膜式空氣彈簧新評價指標(biāo)，結(jié)論如下。

（1）基于熱力學(xué)和橡膠材料Payne 效應(yīng)，提出了一種可以反映空氣彈簧滯回特性解耦的動力學(xué)模型，明確各貢獻量的物理意義和數(shù)學(xué)表達。

（2）證明了由橡膠材料的Payne 效應(yīng)引起的動剛度增大在小振幅下不可忽視，實驗和模型的吻合度驗證了本文中的動剛度模型的準(zhǔn)確性。

（3）從振幅和頻率兩個維度給出了各貢獻量的變化趨勢的物理解釋。橡膠材料會使動剛度實部隨振幅增大而減小，虛部隨振幅增大呈現(xiàn)先急劇增大后逐漸減小的趨勢；氣體剛度和由熱交換產(chǎn)生的等效阻尼使動剛度實部隨頻率升高逐漸增大且在大于約1 Hz 后變化不大，呈現(xiàn)極限特性，虛部隨頻率升高先急劇增大后減小。

（4）提出了反映橡膠氣囊動剛度貢獻率評價指標(biāo)，該值隨振幅增加明顯下降，橡膠氣囊在低振幅時產(chǎn)生的動剛度不可忽視。

本文提出的空氣彈簧動剛度模型可為膜式空氣彈簧的理論建模和正向開發(fā)提供指導(dǎo)。

附表1 正文中出現(xiàn)的參數(shù)及其定義