汪楚翔 劉易成 茹立寧

(國(guó)防科技大學(xué)文理學(xué)院,長(zhǎng)沙,410073)

1 引言

集群行為是自然界中普遍存在的一種現(xiàn)象. 它表示一些自驅(qū)動(dòng)的個(gè)體在一定的規(guī)則下,從雜亂無(wú)章的無(wú)序狀態(tài)演化為有序的群體運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象[1]. 最常見(jiàn)的群體包括鳥(niǎo)群、魚(yú)群、羊群以及菌群等等[2]. 由于在網(wǎng)絡(luò)、機(jī)器人、無(wú)人機(jī)等領(lǐng)域方面有重要應(yīng)用[3,4],這些現(xiàn)象吸引了眾多學(xué)者的關(guān)注. 1995 年,Vicsek 等人總結(jié)Reynolds等人[5]的研究成果,提出了一種具體研究集群現(xiàn)象的離散模型,被稱為Vicsek模型[6]. 經(jīng)過(guò)對(duì)Vicsek 模型的改進(jìn),Cucker 和Smale[7,8]于2007 年提出了一種新的連續(xù)模型,它可用如下系統(tǒng)描述:其中N為個(gè)體的數(shù)量,xi,vi分別表示第i個(gè)個(gè)體的位置和速度?ψ是一個(gè)非負(fù),非增的函數(shù),表示粒子i與j之間的通信權(quán)重函數(shù),表達(dá)式為ψ(s) =,β> 0. 作者證明了當(dāng)β<時(shí),系統(tǒng)產(chǎn)生無(wú)條件集群現(xiàn)象?而當(dāng)β≥時(shí),在初始值滿足一定條件的情形下,系統(tǒng)發(fā)生集群現(xiàn)象.隨后,Ha等人[9]利用能量泛函法將結(jié)果進(jìn)一步改進(jìn),證明了當(dāng)β=時(shí),系統(tǒng)也發(fā)生無(wú)條件集群現(xiàn)象.

在上述研究的結(jié)果中,集群行為是在時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)漸近發(fā)生的,即收斂時(shí)間是長(zhǎng)期的. 但是,研究者更關(guān)心的是能否在有限時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)產(chǎn)生集群現(xiàn)象. 事實(shí)上,在自然界中,魚(yú)群被捕食者撞散后,經(jīng)過(guò)一段時(shí)間可再次聚集,重新形成有序的群體. 這是一種有限時(shí)間集群現(xiàn)象. 目前,研究此類(lèi)問(wèn)題的學(xué)者相對(duì)較少,具體可參見(jiàn)相關(guān)文獻(xiàn)[10–16].

在文獻(xiàn)[16]中,作者提出了一種擴(kuò)展C S 模型,使得系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生集群現(xiàn)象,其中通信函數(shù)ψ選取為奇異函數(shù). 受此啟發(fā),本文探索在非奇異通信函數(shù)影響下,這類(lèi)C S 模型能否在有限時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生集群行為. 事實(shí)上,我們發(fā)現(xiàn): 當(dāng)初始值滿足一定條件時(shí),系統(tǒng)將發(fā)生有限時(shí)間集群,并且收斂時(shí)間T可由個(gè)體數(shù)量N以及個(gè)體初始速度等參數(shù)決定.

本文安排如下: 在第二節(jié),我們提出一種新的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),給出幾個(gè)引理,并對(duì)系統(tǒng)的解做初步估計(jì). 在第三節(jié)中,我們利用能量泛函方法,證明在個(gè)體初始位移滿足一定條件時(shí),系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生集群行為,并進(jìn)一步給出收斂時(shí)間的具體表達(dá)式. 對(duì)應(yīng)的數(shù)值模擬在第四節(jié)中給出.

2 問(wèn)題描述與引理

我們?cè)赿維歐氏空間中考慮一個(gè)由N個(gè)個(gè)體組成的動(dòng)力學(xué)自治系統(tǒng). 設(shè)xi ∈Rd,vi ∈Rd分別表示第i個(gè)個(gè)體的位置和速度,且滿足以下方程:

其中通信函數(shù)ψ定義為ψ(r)=,α>0,函數(shù)Γ:Rd →Rd表示第i個(gè)個(gè)體與第j個(gè)個(gè)體之間的速度耦合,A為正常數(shù)(用于防止個(gè)體間相撞). 對(duì)給定的v= (v1,v2,··· ,vd)∈Rd,類(lèi)似文獻(xiàn)[10],假設(shè)Γ 滿足如下兩條性質(zhì):

下面我們給出幾個(gè)引理以及系統(tǒng)(2.1)在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生集群的定義.

引理2.1([11]) 假設(shè)函數(shù)φ滿足φ(xi,xj)=?φ(xj,xi),i,j=1,2,··· ,N,i ?=j,則

且對(duì)任意給定的y1,y2,··· ,yN,有

其中耦合函數(shù)Γ 滿足的條件與本文相同. 作者證明了當(dāng)時(shí),系統(tǒng)可在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生集群. 本文將原始C S 模型與上述系統(tǒng)結(jié)合起來(lái),作為一種新的推廣模型,適應(yīng)范圍更加廣泛,并得出了相似的結(jié)果.

注2.3在假設(shè)(H2)中,參數(shù)γ ∈(,1)的限制可以適當(dāng)放寬. 當(dāng)γ ≥1 時(shí),我們?nèi)钥傻妙?lèi)似的結(jié)果. 由于此時(shí)引理2.4 的條件不再適用,因此集群不能在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生,而在時(shí)間趨向于無(wú)窮時(shí)漸近達(dá)到. 作為補(bǔ)充,相應(yīng)的結(jié)果及證明將在本文的最后給出.

定義2.1([20]) 對(duì)于任意給定的初始值{xi(0),vi(0)},i= 1,2,··· ,N, 若系統(tǒng)(2.1) 的解{xi(t),vi(t)}滿足以下兩個(gè)條件,則稱系統(tǒng)(2.1)在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生集群:(1)所有個(gè)體速度之差在有限時(shí)間內(nèi)趨于0,即

其中T1=inf{T|‖vi(t)?vj(t)‖=0,?t ≥T},稱為收斂時(shí)間?

(2)群體的直徑有界,即

3 有限時(shí)間發(fā)生集群的條件

3.1 解的預(yù)先估計(jì)

首先,類(lèi)似文獻(xiàn)[1–5],我們對(duì)系統(tǒng)(2.1)的解做出初步分析.

設(shè)x(t)=(x1(t),x2(t),··· ,xN(t)),v(t)=(v1(t),v2(t),··· ,vN(t)),

事實(shí)上,令

則不難驗(yàn)證

直接計(jì)算可得

由此可知,若在有限時(shí)間內(nèi)V(t)趨于0,且X(t)有界,那么定義2.1 的條件即可滿足,從而發(fā)生有限時(shí)間內(nèi)集群.

我們給出如下引理:

其中

代入(3.5)式可得

兩邊對(duì)t積分,得

從而

且

引理證畢.

3.2 有限時(shí)間集群

在這一節(jié)中,考慮系統(tǒng)(2.1)中通信函數(shù)取ψ(r) =,α> 0 的情形. 類(lèi)似文獻(xiàn)[21]的方法,定義函數(shù)Lβ(t):

引入最大時(shí)間跨度T(x(0)):

T(x(0))?max{t ∈R+|系統(tǒng)(2.1)的解{(xi(t),vi(t)}在[0,t)中存在},

其依賴于初始值x(0)的選取,簡(jiǎn)記為T(mén)0.

定理3.1假設(shè)初始值滿足‖xj(0)?xi(0)‖> 0,i,j= 1,2,··· ,N,i ?=j,則對(duì)系統(tǒng)(2.1)的解{xi(t),vi(t)},t ≥0,有:

當(dāng)α=1 時(shí),

當(dāng)α>1 時(shí),

證明當(dāng)α=1 時(shí),

對(duì)t ∈[0,T0),兩邊積分可得

當(dāng)α>1 時(shí),直接計(jì)算可知(C為常數(shù),不同等式中可能不相同):

對(duì)t ∈[0,T0),利用Gronwall 不等式,得到

令α=β ?1,可得

定理證畢.

定理3.2假設(shè)α ≥1,初始值滿足‖xj(0)?xi(0)‖> 0,i,j= 1,2,··· ,N,i ?=j,則系統(tǒng)(2.1)能在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生集群,收斂時(shí)間T為

證明根據(jù)定理3.1,‖xj(t)?xi(t)‖有上界,即存在正的常數(shù)M使得

進(jìn)而可得

由引理2.4 可知

其中

在(3.5)式中對(duì)t積分,可得

根據(jù)定義1,定理證畢.

定理3.3設(shè)γ ≥1,α ≥1,初始值滿足‖xj(0)?xi(0)‖> 0,i,j= 1,2,··· ,N,i ?=j,則系統(tǒng)(2.1)發(fā)生漸近集群,即收斂時(shí)間T無(wú)界.

證明與定理3.2 證明過(guò)程類(lèi)似,可知

情形1γ=1. 上式化簡(jiǎn)為

根據(jù)引理2.5,T可取為∞,即收斂時(shí)間無(wú)界,且

情形2γ>1. 由引理3 易得

根據(jù)引理2.5,T可取為∞,即收斂時(shí)間無(wú)界,且

定理得證.

4 數(shù)值模擬

本節(jié)選取具體的參數(shù)值進(jìn)行數(shù)值模擬,驗(yàn)證本文主要結(jié)果. 取A= 1,C0= 1,Δt= 0.01,個(gè)體的初始位移與速度分別在0 到200 之間,0 到10 之間隨機(jī)取值,其余參數(shù)的取值見(jiàn)以下各例.

例1 取α= 1,γ= 0.55,N= 10,仿真結(jié)果在圖1 中給出. 圖1(左)表明每個(gè)個(gè)體的速度,經(jīng)過(guò)t=10s 左右,速度差已經(jīng)趨于零. 圖1(右)表明各個(gè)個(gè)體之間位移差的最大值,經(jīng)過(guò)短暫的波動(dòng)以后,在10s 左右也趨于穩(wěn)定.此外,根據(jù)(3.11)式,收斂時(shí)間T=204.96s. 這些數(shù)值結(jié)果有效驗(yàn)證了定理3.2 的結(jié)果.

為了突出速度耦合函數(shù)與收斂時(shí)間的關(guān)系,現(xiàn)在改變?chǔ)玫闹?其它參數(shù)保持不變,見(jiàn)圖2 和圖3.

例2 取α= 1,N= 10,分別取γ= 0.75,γ= 0.95. 仿真結(jié)果分別在圖2 和圖3 中給出. 圖2(左)、圖3(左)表示每個(gè)個(gè)體的速度,可以看出時(shí)間相比圖1 明顯變長(zhǎng),尤其是圖3(左),速度在經(jīng)過(guò)t= 20s 左右之后才達(dá)到平衡.圖2(右)、圖3(右)則顯示個(gè)體的最大位移差稍有增加,同樣在相應(yīng)的時(shí)間穩(wěn)定下來(lái).根據(jù)(3.11)式,收斂時(shí)間分別為T(mén)=98.27s,T=131.25s,仍符合定理3.2 的結(jié)果.

圖1 α=1,γ =0.55,N =10,收斂時(shí)間T =204.96s,同時(shí)個(gè)體之間的最大位移差有界

圖2 α=1,N =10,γ =0.75,收斂時(shí)間T =98.27s,同時(shí)個(gè)體之間的最大位移差有界

圖3 α=1,N =10,γ =0.95,收斂時(shí)間T =131.25s,同時(shí)個(gè)體之間的最大位移差有界

下例將改變個(gè)體數(shù)量,同時(shí)取不同的γ,并觀察相應(yīng)結(jié)果,見(jiàn)圖4,圖5 和圖6.

例3 取N= 50,其余參數(shù)如上兩例,仿真結(jié)果在圖4,圖5 和圖6 中給出. 不難發(fā)現(xiàn),個(gè)體數(shù)量顯著增加以后,收斂時(shí)間也相應(yīng)增加(在相同的γ下),同時(shí)收斂的速度有所下降?個(gè)體最大位移差先是有所下降,然后重新上升,最后達(dá)到平衡.另一方面,從收斂時(shí)間的表達(dá)式我們也能看出,指數(shù)γ對(duì)收斂時(shí)間的影響應(yīng)大于個(gè)體數(shù)量N.

圖4 α=1,N =50,γ =0.55,收斂時(shí)間T =283.07s,同時(shí)個(gè)體之間的最大位移差有界

圖5 α=1,N =50,γ =0.75,收斂時(shí)間T =105.97s,同時(shí)個(gè)體之間的最大位移差有界

圖6 α=1,N =50,γ =0.95,收斂時(shí)間T =91.35s,同時(shí)個(gè)體之間的最大位移差有界