華興恒

由于電場(chǎng)力做功與重力做功有一個(gè)共同的特點(diǎn)：只與初末位置有關(guān)，與運(yùn)動(dòng)的路經(jīng)無(wú)關(guān). 即電場(chǎng)與重力場(chǎng)的性質(zhì)非常相似. 因此當(dāng)一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為q的物體同時(shí)處于重力場(chǎng)和場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)中時(shí)，可以將兩者的疊加場(chǎng)等效為一個(gè)重力場(chǎng). 若合力的方向與重力mg的方向間的夾角為α，則g′可表示為g′=. 利用等效重力場(chǎng)，不僅可以把復(fù)雜的疊加場(chǎng)變成簡(jiǎn)單的單一場(chǎng)，而且可以把陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的重力場(chǎng)中的問(wèn)題，這樣既可避開(kāi)復(fù)雜的運(yùn)算，使解題過(guò)程極大地簡(jiǎn)化，又可提升我們的思維品質(zhì)，提高解題技能與技巧. 下面請(qǐng)看幾例.

【例1】如圖1所示，斜面和水平面都是絕緣的粗糙的平面，有一帶電量為+q、質(zhì)量為m的物體，從斜面上A點(diǎn)由靜止釋放，它在水平面上運(yùn)動(dòng)s1后靜止. 若在此范圍內(nèi)加一豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，而將該物體從A點(diǎn)由靜止釋放，它在水平面上運(yùn)動(dòng)s2后靜止，則（ ）

A. s2 > s1?? B. s2 = s1?? C. s2 < s1?? D. 無(wú)法確定

解析：當(dāng)不加電場(chǎng)時(shí)，物體在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中受到重力、支持力和摩擦力的作用. 設(shè)A距水平面的高度為h，斜面傾角為α，則由動(dòng)能定理得：

mgh-μmgcosαsAB-μmgs1=0，即

h=μcosαsAB+μs1???????????????? ①

若加豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)時(shí)，物體還受電場(chǎng)力共四個(gè)力的作用，但可把重力與電場(chǎng)力等效為重力場(chǎng)，加速度為g′=，方向豎直向下.

由動(dòng)能定理同樣可以得出：mg′h-μmg′cos αsAB-μmg′s2= 0，即

h=μcosαsAB+μs2???????????? ②

比較①、②兩式，不難得出s2=s1，故本題應(yīng)選B.

【例2】（2016全國(guó)卷I）如圖2所示，一帶負(fù)電荷的油滴在勻強(qiáng)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，其軌跡在豎直面（紙面）內(nèi)，且相對(duì)于過(guò)軌跡最低點(diǎn)P的豎直線對(duì)稱(chēng). 忽略空氣的阻力，由此可知（ ）

A. Q點(diǎn)的電勢(shì)比P點(diǎn)高

B. 油滴在Q點(diǎn)的動(dòng)能比它在P點(diǎn)的大

C. 油滴在Q點(diǎn)的電勢(shì)能比它在P點(diǎn)的大

D. 油滴在Q點(diǎn)的加速度大小比它在P點(diǎn)的小

解析：根據(jù)帶負(fù)電的油滴在豎直面內(nèi)的軌跡在豎直平面內(nèi)相對(duì)于過(guò)P點(diǎn)的豎直線對(duì)稱(chēng)可知，油滴在水平方向上所受合力為零，豎直方向上油滴受重力和電場(chǎng)力的作用，結(jié)合曲線軌跡的特點(diǎn)可知，電場(chǎng)力一定向上，且電場(chǎng)力大于重力，油滴受力及電場(chǎng)線方向如圖中所示，故勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向豎直向上. 又沿電場(chǎng)線方向電勢(shì)逐漸降低，可知Q點(diǎn)的電勢(shì)比P點(diǎn)高，則選項(xiàng)A正確;油滴從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理，合外力做正功，動(dòng)能增大，所以油滴在Q點(diǎn)的動(dòng)能比它在P點(diǎn)的動(dòng)能大，則選項(xiàng)B正確;油滴從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)，電場(chǎng)力做正功，電勢(shì)能減小，油滴在Q點(diǎn)的電勢(shì)能比它在P點(diǎn)的小，則選項(xiàng)C錯(cuò)誤;由于帶電油滴所受的電場(chǎng)力和重力均為恒力，所以油滴在Q點(diǎn)的加速度和它在P點(diǎn)的加速度大小相等，則選項(xiàng)D錯(cuò)誤. 故應(yīng)選A、B.

【例3】如圖3所示的虛線為勻強(qiáng)電場(chǎng)的等勢(shì)面，一帶電微粒以速度v0從A點(diǎn)飛入電場(chǎng)，沿圖中所示的直線軌跡由下而上飛向B點(diǎn)并返回A點(diǎn). 若AB與豎直方向的夾角為α，求此過(guò)程中帶電微粒所用的時(shí)間.

解析：由圖2可知，帶電微粒做直線運(yùn)動(dòng)，因此等效重力場(chǎng)的重力加速度與AB在一條直線上. 由于重力的方向是豎直向下的，故帶電微粒做類(lèi)豎直上拋運(yùn)動(dòng)，等效重力加速度為g′=.

根據(jù)豎直上拋運(yùn)動(dòng)整個(gè)過(guò)程時(shí)間t=，可得所求時(shí)間為t=.

【例4】一條長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線上端固定在O點(diǎn)，下端系一質(zhì)量為m的帶電小球，將它置于一個(gè)很大的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，方向水平向右. 已知小球在B點(diǎn)時(shí)平衡，細(xì)線與豎直線的夾角為α，如圖4所示. 試求當(dāng)懸線與豎直方向的夾角為多大時(shí)，才能使小球由靜止釋放后，細(xì)線到達(dá)豎直位置時(shí)，小球的速度恰好為零.

解析：由題意可知，等效場(chǎng)與豎直方向的夾角為α，所以等效重力加速度為g′=. 可以把懸線小球看作是等效場(chǎng)中的單擺，其平衡位置就是與豎直方向成α角的位置. 由單擺的對(duì)稱(chēng)性，擺幅相等. 故當(dāng)懸線與豎直方向的夾角為2α?xí)r，才能使小球靜止釋放時(shí)到豎直位置靜止.

【例5】如圖5所示，一絕緣細(xì)圓環(huán)的半徑為r，其環(huán)平面固定在水平面上. 場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)與環(huán)平面平行，環(huán)上穿有一電量為+q、質(zhì)量為m的小球，可沿圓環(huán)做無(wú)摩擦的圓周運(yùn)動(dòng). 若小球經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)的速度vA的方向恰與電場(chǎng)垂直，且與環(huán)間無(wú)相互作用，則速度vA=____. 當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到與A點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的B點(diǎn)時(shí)，小球?qū)A環(huán)在水平方向的作用力NB= ___.

解析：小球在豎直方向上受到的合外力為零，在水平方向僅受到電場(chǎng)力F=qE的作用，因此可以等效為g′=的重力場(chǎng). 將E的方向轉(zhuǎn)至豎直向下，就成了我們熟悉的豎直圓周軌道上的變速圓周運(yùn)動(dòng). 因?yàn)樾∏蛟贏點(diǎn)的臨界速度為vA ==，利用類(lèi)似于機(jī)械能守恒定律，小球在B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度可表示為v2B=v2A+2g′×2r.

根據(jù)牛頓第二定律可得NB=mg′+=6mg′=6qE.

【例6】 半徑為r的絕緣光滑圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi)，環(huán)上套有一質(zhì)量為m帶正電的珠子，空間存在著水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，如圖6所示. 珠子所受的靜電力是其重力的倍，將珠子從最低位置A點(diǎn)靜止釋放. 珠子在何處的動(dòng)能最大？珠子獲得的最大動(dòng)能是多少？

解析： 珠子受到的靜電力與重力的合力，即等效重力為：F ==mg. tanθ==，則θ=37°，即等效重力場(chǎng)的方向與豎直方向成37°，如圖6中所示.

珠子在等效重力場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的“最低點(diǎn)”是B點(diǎn)，故珠子在B點(diǎn)時(shí)，速度最快，動(dòng)能最大，根據(jù)動(dòng)能定理可得Ek=Fr（1-cosθ）=mgr.

【例7】在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，有一質(zhì)量為m帶正電的小球，用長(zhǎng)為l的絕緣細(xì)線懸掛于O點(diǎn)，當(dāng)小球靜止時(shí)細(xì)線與豎直方向的夾角為α. 現(xiàn)給小球一個(gè)瞬時(shí)沖量，使小球恰能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng). 問(wèn)：

（1）小球在做圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，在哪一位置速度最?。孔钚≈禐槎嗌?？

（2）小球在B點(diǎn)受到的沖量是多大？

解析：小球在做圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，所受的重力與電場(chǎng)力均為恒力，這兩個(gè)力的合力大小為F=. 小球在疊加場(chǎng)中的重力加速度為：g效==，其方向斜向右下方，且與豎直方向成α角. 小球在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，由于只有等效重力做功，細(xì)線的拉力不做功，所以動(dòng)能與等效重力勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)化，且總和保持不變. 與重力勢(shì)能類(lèi)比可知，等效重力勢(shì)能Ep=mg效h，其中h為小球距等效重力零勢(shì)能面的高度.

（1）設(shè)小球靜止時(shí)的位置B點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)，據(jù)動(dòng)能與等效重力勢(shì)能的總和不變可知，小球位于B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的同一直徑上的A點(diǎn)時(shí)等效重力勢(shì)能最小，速度也最小.

設(shè)小球在A點(diǎn)時(shí)速度為vA，此時(shí)細(xì)線拉力為0，等效重力提供向心力，即mg效=，所以小球的最小速度為：vA=.

（2）設(shè)小球在B點(diǎn)的初速度為vB，據(jù)能量守恒有：mv2B=mv2A+mg效×2l，解得vB=.

根據(jù)動(dòng)量定理，小球所受沖量的大小為I=mvB= m.

責(zé)任編輯 李平安