卞興宇，薛立軍

(1.天津市先進(jìn)機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)與智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300384； 2.天津理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院/機(jī)電工程國家級實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，天津 300384)

1 前 言

鐵磁形狀記憶合金(FSMA)是上世紀(jì)末發(fā)展起來的一種新型智能材料。與傳統(tǒng)的形狀記憶材料、磁致伸縮材料和智能高分子材料相比，F(xiàn)SMA兼具溫控和磁控的特性，且比一般材料的響應(yīng)速度快，輸出應(yīng)變大。隨后相關(guān)研究人員提出了將FSMA顆粒與樹脂混合制備出智能復(fù)合材料的概念，這種想法引起了學(xué)術(shù)界的廣泛討論。文獻(xiàn)[1]首先提出了Ni2MnGa顆粒/樹脂智能復(fù)合材料這一概念，并在制備相關(guān)試件后對其基本力學(xué)性能進(jìn)行了研究。

近年來的研究主要針對FSMA復(fù)合智能材料的制備、相變特性、力學(xué)性能等方面，對其力學(xué)性能方面的研究還不全面。本研究使用有限元分析軟件對Ni50Mn28Ga22合金與環(huán)氧樹脂組成的智能復(fù)合材料的力學(xué)行為進(jìn)行有限元分析和數(shù)值模擬，考慮顆粒含量、磁場、預(yù)應(yīng)力及不完全加卸載等對復(fù)合材料性能的影響，并與實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行對比。

2 Ni2MnGa智能復(fù)合材料模型建立

2.1 FSMA本構(gòu)方程

類比于形狀記憶合金的應(yīng)變，在小變形情況下，當(dāng)施加一個垂直于橫向磁場的壓應(yīng)力時，F(xiàn)SMA的總應(yīng)變可表示為：

ε=εe+εtr+εα

(1)

式中，εe為彈性應(yīng)變，εtr為重取向應(yīng)變,εα為熱應(yīng)變。由于馬氏體重取向過程中未發(fā)生馬氏體相到奧氏體相的轉(zhuǎn)變，令ξσ表示應(yīng)力擇優(yōu)馬氏體含量，則磁場擇優(yōu)馬氏體含量ξH表示為：

ξH=1-ξσ

(2)

假設(shè)最大的重取向應(yīng)變?yōu)棣臠，初始應(yīng)變?yōu)?，當(dāng)材料完全由磁場擇優(yōu)馬氏體轉(zhuǎn)化為應(yīng)力擇優(yōu)馬氏體時，根據(jù)文獻(xiàn)[2]可知：

εtr=ξσεL

(3)

又因?yàn)闊釕?yīng)變比重取向應(yīng)變小幾個數(shù)量級[3]，所以一般研究中可忽略εα的影響。FSMA楊氏模量E的大小與馬氏體變體含量有關(guān)，基于文獻(xiàn)[3]，可以表示為應(yīng)力擇優(yōu)馬氏體含量的函數(shù)：

E=E(ξσ)=ξσEσ+(1-ξσ)EH

(4)

式中：Eσ和EH為應(yīng)力擇優(yōu)馬氏體和磁場擇優(yōu)馬氏體的楊氏模量。所以總的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為：

σ=(ξσEσ+(1-ξσ)EH)(ε-εLξσ)

(5)

描述馬氏體相變的表達(dá)式較少，本研究引用文獻(xiàn)[4]的雙曲正切函數(shù)來描述馬氏體變體的重取向含量：

(6)

從表1可以看出，甘啤5號、墾啤7號、甘啤3號出苗較晚，比其他品種晚1 d；甘啤5號、墾啤6號、甘啤4號的抽穗期較早，均為6月9日，而其余品種的抽穗期為6月10日；博樂、墾啤6號、瑪俐、甘啤3號均為早熟品種，而甘啤5號成熟最晚，較對照晚7d。從全生育期來看，甘啤5號生育期最長，墾啤7號、甘啤3號、甘啤4號、甘啤6號的生育期適中。

2.2 FSMA復(fù)合材料本構(gòu)方程

在研究復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)的方法中，聯(lián)合使用Eshelby原理和Mori-Tanaka場平均法相對較多。本研究基于馬氏體重取向的行為，建立了以環(huán)氧樹脂為基體，Ni2MnGa合金為球形顆粒夾雜的復(fù)合材料本構(gòu)理論模型。假設(shè)環(huán)氧樹脂和Ni2MnGa顆粒為各向同性線彈性材料，并且開始時合金完全處于應(yīng)力擇優(yōu)馬氏體狀態(tài)，那么在遠(yuǎn)場力σ0作用下基體產(chǎn)生的形變?yōu)棣?。當(dāng)基體內(nèi)某部分被同等大小的合金顆粒替代時，顆粒與基體之間相互作用產(chǎn)生的擾動應(yīng)力與應(yīng)變分別記為σpt和εpt，所以基體應(yīng)力σ0可表示為：

σ0=L0(ε0+εpt)

(7)

式中：顆粒的平均應(yīng)力應(yīng)變與基體的平均應(yīng)力應(yīng)變之差記為σ′和ε′，根據(jù)Eshelby理論，合金顆粒的應(yīng)力σ1等效方程為：

σ1=L1(ε0+εpt+ε′)=L0(ε0+εpt+ε′-ε*)

(8)

式中：ε*為本征應(yīng)變，且

ε′=Sε*

(9)

式中：S為四階Eshelby張量，其取值僅依賴于基體材料剛度和顆粒的方向、形狀。當(dāng)顆粒為球狀時，S張量為常量，有：

(10)

式中：v0為基體的泊松比。設(shè)ξ0為基體的體積分?jǐn)?shù)，則合金顆粒體積分?jǐn)?shù)ξ1為：

ξ1=1-ξ0

(11)

(12)

則擾動應(yīng)力應(yīng)變可表示為：

(13)

進(jìn)一步得到本征應(yīng)變?yōu)椋?/p>

(14)

{-(L1-L0)[S(1-ξ1)+Iξ1]-L0}=Z

(15)

所以基體的平均應(yīng)力最終表示為：

σ0=L0(ε0+εpt)=L0[ε0-ξ1(S-I)ε*]

(16)

復(fù)合材料的平均應(yīng)變?yōu)椋?/p>

=[1+ξ1Z-1(L1-L0)](L0)-1σ0

(17)

式中：[1+ξ1Z-1(L1-L0)]-1(L0)為等效剛度矩陣，其與顆粒材料的含量、形狀、彈性模量及基體材料的彈性模量、泊松比等有關(guān)。當(dāng)合金顆粒的體積分?jǐn)?shù)已知時，根據(jù)此式可計(jì)算出材料在發(fā)生重取向過程中隨外磁場、外應(yīng)力的變化情況。

2.3 FSMA復(fù)合材料有限元建模

在進(jìn)行有限元分析時，對整個材料進(jìn)行模擬相對復(fù)雜，因此簡化并抽象成一個有代表性的模型非常必要。所以，在假定均勻和周期性結(jié)構(gòu)的情況下，通常采用晶胞作為代表模型來研究兩相材料的力學(xué)行為。根據(jù)Ni-Mn-Ga合金顆粒/樹脂智能復(fù)合材料特性，提出以環(huán)氧樹脂基體(E-51)包裹合金顆粒(Ni-Mn-Ga)的設(shè)計(jì)方案，建立的三維單元有限元模型如圖1所示。首先建立了由球形粒子隨機(jī)排列于基體中的智能復(fù)合材料的一般模型，如圖1(a)所示。在假定各向同性和均勻復(fù)合材料的情況下，忽略鄰近單胞的影響，并將其簡化為圖1(b)所示的單個合金粒子嵌入樹脂基體中的單元模型。此外，由于所建立的模型是中心對稱的，本研究將單元模型的八分之一作為計(jì)算模型，以節(jié)省計(jì)算時間(圖1(c))。在該計(jì)算模型中，合金顆粒和樹脂基體的材料參數(shù)如表1所示。為了分析合金粒子含量對智能復(fù)合材料的影響，建立了含量分別為10%，20%，30%的分析模型。其中球形顆粒的半徑為0.0225 mm，立方細(xì)胞模型的棱長分別為0.078，0.062和0.054 mm。

表1 材料相關(guān)力學(xué)參數(shù)Table 1 Mechanical parameters of the material

圖2為所構(gòu)建的模型之一(棱長為0.0225 mm，體積分?jǐn)?shù)為20%的1/8模型)，其余模型與此模型類似。對模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分時，在合金顆粒/樹脂分界邊緣附近制作了更精細(xì)的網(wǎng)格，此舉可使有限元結(jié)果更精確。在保證計(jì)算精度的前提下，將遠(yuǎn)離分界邊緣的網(wǎng)格精度設(shè)置為中等，加速收斂時間，最后所得模型單元數(shù)為8656，節(jié)點(diǎn)數(shù)為15321。

圖2 20%體積含量模型網(wǎng)格劃分Fig. 2 20% volume content model meshing

在有限元建模時，施加周期性邊界條件控制三個對稱面上的法向位移為0，加載面在加載時相對于其原始形狀不變，保持直線和平行移動。保證了相鄰單胞的變形情況，即滿足代表性模型要求。

根據(jù)文獻(xiàn)[6-7]得到Ni50Mn28Ga22的各個相變點(diǎn)溫度分別為Ms=301.29 K，Mf=292.83 K，As=306.77 K和Af=316.55 K，居里溫度為366.8 K。同時，常溫下熱膨脹系數(shù)為20×10-6/K，溫度系數(shù)為0.003 K。

3 力學(xué)性能分析

3.1 馬氏體重取向過程的理論模型驗(yàn)證

FSMA初始為磁場擇優(yōu)馬氏體構(gòu)成，在分析時施加一個垂直于橫向磁場的壓應(yīng)力。根據(jù)文獻(xiàn)[2]已有材料數(shù)據(jù)計(jì)算出的相關(guān)參數(shù)見表2。利用MATLAB軟件對重取向過程進(jìn)行數(shù)值分析。

表2 重取向過程材料參數(shù)Table 2 Mechanical parameters of the material

不同的磁場下，F(xiàn)SMA的應(yīng)力擇優(yōu)馬氏體變體含量隨壓應(yīng)力的變化情況見圖3。從圖可見，應(yīng)力擇優(yōu)變體含量隨壓應(yīng)力的增加而增加，最終完全轉(zhuǎn)化為應(yīng)力擇優(yōu)變體時達(dá)到飽和狀態(tài)。隨著磁場的增加，馬氏體重取向開始時應(yīng)力也會有所增加。卸載時，應(yīng)力擇優(yōu)馬氏體重新轉(zhuǎn)化為磁場擇優(yōu)馬氏體，最終完全轉(zhuǎn)化為磁場擇優(yōu)馬氏體。

圖3 應(yīng)力擇優(yōu)變體隨壓應(yīng)力變化曲線Fig. 3 Stress preferred variant varies with stress

圖4顯示了在6 KOe的磁場下，F(xiàn)SMA的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，并將MATLAB的結(jié)果與文獻(xiàn)[4]對照。從圖可見，模擬總體變化情況于形狀記憶合金類似。在未發(fā)生馬氏體變體轉(zhuǎn)變時，應(yīng)力-應(yīng)變曲線呈線性；當(dāng)馬氏體變體隨壓力的增加而開始轉(zhuǎn)變時，應(yīng)變在一個較小的應(yīng)力范圍內(nèi)迅速增加；當(dāng)變體轉(zhuǎn)化完全時，應(yīng)力-應(yīng)變曲線又變成線性。在卸載時，馬氏體變體又從完全應(yīng)力擇優(yōu)變體開始向磁場擇優(yōu)變體轉(zhuǎn)化，其應(yīng)力-應(yīng)變曲線與加載相反。

圖4 磁場強(qiáng)度為6 KOe時的應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig. 4 Stress-strain curve when the magnetic field at 6 KOe

3.2 復(fù)合材料模型驗(yàn)證

假設(shè)材料受到一定的預(yù)壓力，初始全為應(yīng)力擇優(yōu)的馬氏體相，模擬復(fù)合材料在磁場誘發(fā)下的馬氏體重取向行為。圖5顯示了在不同的預(yù)壓力作用下，復(fù)合材料中Ni2MnGa顆粒的彈性模量隨磁場的變化情況。因?yàn)閼?yīng)力擇優(yōu)變體的彈性模量高于磁場擇優(yōu)變體，在增加磁場后，即馬氏體變體由應(yīng)力擇優(yōu)轉(zhuǎn)化為磁場擇優(yōu)時，顆粒的彈性模量降低。并且在預(yù)壓力較大時，應(yīng)力擇優(yōu)馬氏體轉(zhuǎn)變不完全，最后為應(yīng)力擇優(yōu)與磁場擇優(yōu)馬氏體共存，所以彈性模量較大。

圖5 彈性模量隨磁場變化曲線Fig. 5 Curve of elastic modulus with magnetic field

在無外力作用時，不同含量的FSMA復(fù)合材料的應(yīng)變磁場強(qiáng)度曲線見圖6。從圖可見，復(fù)合材料的應(yīng)變完全由磁場產(chǎn)生，且隨磁場增加，會逐漸達(dá)到一個飽和值。當(dāng)顆粒含量越高時，產(chǎn)生的磁致應(yīng)變越大，復(fù)合材料能達(dá)到的飽和平均應(yīng)變就越高。

圖6 復(fù)合材料平均應(yīng)變與磁場關(guān)系Fig. 6 Relationship between average strain and magnetic field in composites

圖7為復(fù)合材料的等效彈性模量和球形顆粒含量的關(guān)系。假設(shè)顆粒的彈性模量不隨磁場發(fā)生改變，設(shè)Ni2MnGa的彈性模量為11.25 GPa[11]。當(dāng)顆粒含量增加時，復(fù)合材料的等效彈性模量也隨之非線性增加。當(dāng)材料全部為基體時，等效彈性模量是基體的彈性模量為3.134 GPa；當(dāng)材料全部由鐵磁顆粒組成，顆粒復(fù)合材料的等效彈性模量達(dá)到最大為11.25 GPa。

圖7 復(fù)合材料彈性模量與顆粒含量關(guān)系Fig. 7 Relationship between elastic modulus and particle content of composite materials

3.3 力與溫度耦合

模擬FSMA在不同溫度下的單軸壓縮實(shí)驗(yàn)。在不同溫度對材料施加一個同等大小的單軸應(yīng)力。如圖8所示，當(dāng)溫度為320 K和318 K時(高于奧氏體結(jié)束溫度Af)，材料顯示了偽彈性：其應(yīng)力-應(yīng)變曲線在未達(dá)到應(yīng)力極限時呈線性，直到應(yīng)力分別加載到130和118 MPa時，誘發(fā)了馬氏體相變，類似于屈服階段，導(dǎo)致材料的硬度降低。隨著壓力的進(jìn)一步增加，材料完全由奧氏體轉(zhuǎn)變?yōu)轳R氏體，應(yīng)變達(dá)到最大。當(dāng)應(yīng)力超過彈性極限后，隨應(yīng)力緩慢增加，應(yīng)變迅速增加。在一定的應(yīng)變范圍內(nèi)卸載時，高溫下相對不不穩(wěn)定的馬氏體變體會先回復(fù)到一個緩慢變化階段，此階段的應(yīng)力水平較低于正向轉(zhuǎn)變，此時的變化過程稱為馬氏體逆相變。隨著應(yīng)力減小到0，應(yīng)變也完全消失。當(dāng)環(huán)境溫度為310 K時(介于奧氏體開始As與結(jié)束溫度Af)，發(fā)生相變的應(yīng)力點(diǎn)低于在溫度大于Af的應(yīng)力點(diǎn)，即正向應(yīng)變發(fā)生較早，反向應(yīng)變發(fā)生較遲，最終在完全卸載后應(yīng)變未完全釋放，產(chǎn)生殘余應(yīng)變。當(dāng)溫度為305 K時(低于奧氏體開始溫度As)，正向轉(zhuǎn)變發(fā)生在更低的溫度，且卸載階段都未發(fā)生轉(zhuǎn)變，產(chǎn)生更大的殘余應(yīng)變。此模擬與實(shí)驗(yàn)得出的結(jié)論相同，驗(yàn)證了本模型的可靠性。

圖8 FSMA的壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig. 8 FSMA compressive stress-strain curve

在引入環(huán)氧樹脂模型后，對材料施加同樣的邊界條件和外載荷時，得到的壓縮應(yīng)力應(yīng)變?nèi)鐖D9所示。環(huán)氧樹脂引入后得到的復(fù)合材料在單軸載荷下與MSMA的變化趨勢一致，這與Hosoda等[1]的研究結(jié)果相同。但是相對于FSMA而言，復(fù)合材料發(fā)生馬氏體相變的應(yīng)力明顯降低，且增大了馬氏體相變點(diǎn)的應(yīng)變值，即樹脂基體承受了較大載荷。在繼續(xù)加載使產(chǎn)生馬氏體相變至馬氏體相變完成時，所需載荷更大，且轉(zhuǎn)變完成時應(yīng)變較小。在卸載階段，當(dāng)溫度低于As時，發(fā)生了反向轉(zhuǎn)變，且產(chǎn)生的殘余應(yīng)變更小。由圖10a可知，在單軸應(yīng)力作用下，復(fù)合材料中較大的變形集中在基體中，合金部分的變形較小，還有一小部分未發(fā)生變形；由圖10b和圖10c的應(yīng)力應(yīng)變分布云圖可知，顆粒與基體交界面處的應(yīng)力較小，在遠(yuǎn)離界面時應(yīng)力增大；顆粒的應(yīng)變比基體的應(yīng)變小一個數(shù)量級。

圖9 10%體積含量復(fù)合材料的壓縮應(yīng)力應(yīng)變Fig. 9 Compression stress-strain of 10% volume content composite material

圖10 20%體積含量復(fù)合材料的(a)總位移圖；(b)應(yīng)力圖；(c)應(yīng)變圖Fig. 10 20% volume content composite material (a)total displacement; (b)stress; (c)strain

在增加Ni50Mn28Ga22體積分?jǐn)?shù)后，得到的壓縮應(yīng)力應(yīng)變?nèi)鐖D11所示。對比圖9可知，20%含量的復(fù)合材料在加載過程中發(fā)生正向轉(zhuǎn)變的臨界應(yīng)變較小，在發(fā)生馬氏體相變階段，同樣的應(yīng)力產(chǎn)生的應(yīng)變較小。在卸載階段中發(fā)生逆相轉(zhuǎn)變的臨界應(yīng)力較小，且在溫度低于Af時，產(chǎn)生的殘余應(yīng)變較大。

圖11 20%體積含量復(fù)合材料的壓縮應(yīng)力應(yīng)變Fig. 11 Compression stress-strain of 20% volume content composite material

3.4 Ni2MnGa合金/樹脂復(fù)合材料形狀記憶效應(yīng)

Ni2MnGa合金包含鐵磁性和熱彈性馬氏體相變特征，即在溫度場、力場和磁場作用下產(chǎn)生對應(yīng)外場誘發(fā)的馬氏體變體。在外加磁場作用下Ni2MnGa合金外界輸出應(yīng)變包含磁致伸縮應(yīng)變和由馬氏體變體孿晶再取向產(chǎn)生的應(yīng)變，但兩者產(chǎn)生的應(yīng)變大小區(qū)別過大，因此其應(yīng)變主要為馬氏體變體孿晶再取向產(chǎn)生的應(yīng)變。此應(yīng)變能通過加熱或去掉磁場恢復(fù)，使材料完全恢復(fù)其初始狀態(tài)，且該效應(yīng)也具有滯后性和可逆性。圖12為20%含量的復(fù)合材料模擬形狀記憶效應(yīng)。材料先在305 K下經(jīng)過一輪加載卸載使其產(chǎn)生殘余應(yīng)變，再升溫至320 K，發(fā)現(xiàn)殘余應(yīng)變完全消失，恢復(fù)應(yīng)變在1.8%左右。

圖12 20%體積含量復(fù)合材料形狀記憶效應(yīng)Fig. 12 Shape memory effect of 20% volume content composite material

3.5 不完全循環(huán)加卸載

圖13顯示了在不完全循環(huán)加卸載時，應(yīng)力-應(yīng)變曲線和馬氏體體積分?jǐn)?shù)的變化情況。從圖13(a)可見，當(dāng)?shù)谝淮渭虞d至應(yīng)變?yōu)?.065時，對應(yīng)著圖13(b)馬氏體體積分?jǐn)?shù)到達(dá)1，即材料完全變?yōu)轳R氏體。繼續(xù)加載，應(yīng)變隨應(yīng)力增大，馬氏體體積分?jǐn)?shù)保持不變。當(dāng)?shù)谝淮涡遁d到應(yīng)變?yōu)?.026時，材料再次加載，此時馬氏體體積分?jǐn)?shù)短暫停止后重新增加。當(dāng)加載到應(yīng)變?yōu)?.052時材料再次卸載，應(yīng)力降低，最后應(yīng)力減小到零，馬氏體又再次重新轉(zhuǎn)換為奧氏體。從圖13(a)可見，當(dāng)?shù)诙芜M(jìn)行加載卸載后，應(yīng)力-應(yīng)變曲線高于第一次加載的曲線，低于第一次卸載的曲線，即基體蠕變使材料產(chǎn)生同等大小的應(yīng)變時所需應(yīng)力增大。

圖13 不完全加卸載時的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(a)和(b)馬氏體體積分?jǐn)?shù)Fig. 13 (a)Incomplete loading and unloading (b)Martensite volume fraction

4 結(jié) 論

本研究基于FAMA本構(gòu)模型，結(jié)合Eshelby理論和Mori-Tanaka場平均方法，建立了FAMA智能復(fù)合材料的本構(gòu)模型。利用此模型分析了在馬氏體重取向過程中FAMA的體積含量，外場等因素對復(fù)合材料性彈性性能的影響；分析了在馬氏體相變過程中不同溫度對應(yīng)力應(yīng)變產(chǎn)生的影響。

在壓縮載荷作用下，材料的變形大部分發(fā)生在復(fù)合材料中的基體部分。且相較其他方向，沿加載方向存在著一個較大的應(yīng)變區(qū)域，促進(jìn)了顆粒附近孔隙的形成。隨著Ni2MnGa顆粒含量的增加，同等條件下卸載后產(chǎn)生的殘余應(yīng)變更大；隨著溫度的升高，應(yīng)變所需的應(yīng)力更大。

隨后對復(fù)合材料的形狀記憶效應(yīng)和不完全加卸載的馬氏體體積分?jǐn)?shù)變化情況進(jìn)行了模擬仿真，結(jié)果表明復(fù)合材料能較好的保證材料的原始性能，且在一定程度上彌補(bǔ)了原材料的不足。但是本研究在建模過程為了方便和簡化對模型采用了一些假設(shè)，并且只研究了穩(wěn)態(tài)下的力學(xué)性能。因此為了完善材料的相關(guān)性能，還需要對其進(jìn)行進(jìn)一步的探討。