王調(diào)品，侯益波，何 兵

（1.成都工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院裝備制造學(xué)院，四川 成都 610218；2.成都優(yōu)拓優(yōu)聯(lián)萬江科技有限公司，四川 成都 610218）

1 引言

精密數(shù)控加工機(jī)床精度預(yù)測(cè)分析始終是國(guó)內(nèi)外研究的熱點(diǎn)，其中數(shù)控機(jī)床加工精度是衡量機(jī)床工作性能的重要指標(biāo)[1]，而由機(jī)床幾何誤差復(fù)合而成的空間誤差是影響加工精度的主要因素。所以，搭建數(shù)控機(jī)床完整模型及開展空間誤差預(yù)測(cè)研究，具有較重要的科研理論研究意義與實(shí)際工程價(jià)值，亦為機(jī)床精度設(shè)計(jì)技術(shù)層面提供完整幾何誤差參數(shù)指標(biāo)。

國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者圍繞數(shù)控機(jī)床空間誤差建模[1-2，9]方面進(jìn)行了相關(guān)研究。國(guó)內(nèi)，文獻(xiàn)[3]以多體系統(tǒng)結(jié)合齊次坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為理論研究基礎(chǔ)，分析了串并混聯(lián)機(jī)床的幾何誤差。考慮各運(yùn)動(dòng)軸幾何誤差的綜合影響，提出了一種串并混聯(lián)機(jī)床綜合誤差建模方法研究系統(tǒng)。

文獻(xiàn)[4]以INTEGREX 200 型九軸五聯(lián)動(dòng)車銑復(fù)合機(jī)床為研究對(duì)象，借助多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)搭建了機(jī)床空間誤差模型。國(guó)外，文獻(xiàn)[5]為提高機(jī)床整機(jī)加工精度，同樣多體系統(tǒng)理論提出了基于齊次變換和微分運(yùn)動(dòng)矩陣的機(jī)床幾何誤差建模與補(bǔ)償方法。文獻(xiàn)[6]利用均質(zhì)矩陣變換構(gòu)造相對(duì)坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)矩陣。其次，基于齊次變換推導(dǎo)了空間誤差模型。然后通過計(jì)算機(jī)數(shù)控程序重構(gòu)，提出了一種誤差補(bǔ)償算法。

最后，在軟件中建立的虛擬機(jī)床上進(jìn)行了仿真，驗(yàn)證了模型和補(bǔ)償算法的有效性。但是傳統(tǒng)機(jī)床空間誤差建模結(jié)果并未包含全部幾何誤差，并少有給出機(jī)床空間誤差模型預(yù)測(cè)結(jié)果。對(duì)此，以臥式加工中心為例，采用旋量指數(shù)積分析空間誤差并構(gòu)建機(jī)床誤差模型，基于傳統(tǒng)辨識(shí)技術(shù)識(shí)別各項(xiàng)誤差，同時(shí)給出空間誤差模型預(yù)測(cè)結(jié)果，開展基于ISO230-6的體對(duì)角線對(duì)比驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)，為進(jìn)一步深入研究機(jī)床空間誤差補(bǔ)償手段提供必要的理論基礎(chǔ)支撐。

2 旋量理論分析

2.1 剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)

任意剛體運(yùn)動(dòng)：剛體從某一位置到另一位置的運(yùn)動(dòng)可通過繞某一定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)加上沿平行于該直線的移動(dòng)實(shí)現(xiàn)。旋量運(yùn)動(dòng)[7]的無窮微小運(yùn)動(dòng)稱為運(yùn)動(dòng)旋量，以幾何形式描述，如圖1所示。

圖1 旋量運(yùn)動(dòng)Fig.1 Screw Motion

2.2 旋量指數(shù)積

定義了機(jī)器人相關(guān)坐標(biāo)系，將參考坐標(biāo)系R取在固定在基座上，末端坐標(biāo)系E固定于機(jī)器人手臂末端，設(shè)末端坐標(biāo)系在參考系R中的初始位形為E0，各關(guān)節(jié)單位旋量在參考系R中分別表示為：φ1、φ2、…、φn，γn為各關(guān)節(jié)單位旋量，φn為相對(duì)參考坐標(biāo)系的關(guān)節(jié)微小變量，如圖2所示。

圖2 開鏈機(jī)器人手臂Fig.2 Open Chain Robot Arm Crew Motion

機(jī)器人手臂終止位形Eφ以旋量指數(shù)積形式輸出為：

值得注意的是，旋量運(yùn)動(dòng)中所有矢量和點(diǎn)均以機(jī)床坐標(biāo)系為參考。

3 數(shù)控機(jī)床空間誤差建模

3.1 幾何誤差源

影響機(jī)床加工精度的因素一般有幾何誤差、熱誤差、伺服系統(tǒng)誤差、力誤差以及載荷誤差[8]等，其中幾何誤差主要包括定位誤差、直線度誤差、垂直度誤差、滾角誤差、偏擺誤差以及俯仰誤差，因其易于測(cè)量、受環(huán)境影響因素較小，且同樣能夠以旋量指數(shù)形式輸出等特點(diǎn)，在恒溫條件下，一般以幾何誤差作為機(jī)床加工精度主要誤差來源，主要分為與位置無關(guān)誤差和與位置相關(guān)誤差共計(jì)21項(xiàng)，如表1、圖3所示。

表1 幾何誤差Tab.1 Geometric Error

圖3 幾何誤差原理Fig.3 Principle of Geometric Error

3.2 運(yùn)動(dòng)鏈拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

一般情況下，數(shù)控機(jī)床機(jī)床運(yùn)動(dòng)鏈可分為：刀具鏈和工件鏈，刀具鏈、工件鏈分別為從刀尖、工件切削點(diǎn)到機(jī)床坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)鏈。

設(shè)定機(jī)床坐標(biāo)系C_xyz為參考坐標(biāo)系，其坐標(biāo)原點(diǎn)CO一般為機(jī)床回零位置；工件坐標(biāo)系W_xyz依據(jù)實(shí)際對(duì)刀來確定，刀具坐標(biāo)系T_xyz設(shè)置于刀尖位置，如圖4所示。幾何誤差未參與時(shí)，得出刀具運(yùn)動(dòng)鏈與工件運(yùn)動(dòng)鏈末端理想運(yùn)動(dòng)矩陣為：

圖4 機(jī)床運(yùn)動(dòng)鏈簡(jiǎn)圖Fig.4 Kinematic Chain Diagram of Machine Tool

式中：ECT—刀尖相對(duì)機(jī)床坐標(biāo)系的理想無誤差運(yùn)動(dòng)矩陣；ECW—工件切削點(diǎn)相對(duì)機(jī)床坐標(biāo)系的理想無誤差運(yùn)動(dòng)矩陣。

為保證機(jī)床空間誤差模型的完整性，需確定刀尖點(diǎn)與工件切削點(diǎn)在機(jī)床坐標(biāo)系下的初始位形，參考前文中各坐標(biāo)系定義，得出在機(jī)床坐標(biāo)系下的位置坐標(biāo)分別為：

式中：xT、yT、zT—刀尖點(diǎn)在機(jī)床坐標(biāo)系下各軸的投影位置坐標(biāo)；xW、yW、zW—工件切削點(diǎn)在機(jī)床坐標(biāo)系下各軸的投影位置坐標(biāo)。

根據(jù)以上分析，基于旋量理論將幾何誤差視作機(jī)床各軸旋量運(yùn)動(dòng)，推導(dǎo)建立刀具運(yùn)動(dòng)鏈與工件運(yùn)動(dòng)鏈末端實(shí)際運(yùn)動(dòng)矩陣分別為：

式中：ECT—刀尖相對(duì)機(jī)床坐標(biāo)系的實(shí)際運(yùn)動(dòng)矩陣；ECW—工件切削點(diǎn)相對(duì)機(jī)床坐標(biāo)系的實(shí)際運(yùn)動(dòng)矩陣。

3.3 空間誤差模型

在機(jī)床坐標(biāo)系下，根據(jù)機(jī)床空間誤差定義[9]：機(jī)床進(jìn)給時(shí)，刀具運(yùn)動(dòng)鏈末端（刀尖點(diǎn)）與工件運(yùn)動(dòng)鏈末端（切削點(diǎn)）實(shí)際運(yùn)動(dòng)位形間的偏差就是機(jī)床空間誤差。綜上所述，推導(dǎo)該臥式加工中心空間誤差模型ΔE：

式中：x、y、z—各軸在機(jī)床坐標(biāo)系下的進(jìn)給值；Δx、Δy、Δz—空間誤差在x、y、z各軸向分量。

綜上所述，分析了21幾何誤差，定義了機(jī)床坐標(biāo)系、工件坐標(biāo)系與刀具坐標(biāo)系，明確給出了刀尖點(diǎn)與工件切削點(diǎn)在機(jī)床坐標(biāo)系下的初始位置坐標(biāo)，利用旋量指數(shù)積推導(dǎo)了工件運(yùn)動(dòng)鏈、刀具運(yùn)動(dòng)鏈理想與實(shí)際運(yùn)動(dòng)矩陣，借助空間誤差基本定義建立了機(jī)床空間誤差模型。從式（8）中可以看出，該誤差模型包含了21項(xiàng)幾何誤差，實(shí)現(xiàn)了基于旋量指數(shù)積推導(dǎo)機(jī)床空間誤差完整模型的目的。后續(xù)只需在完成辨識(shí)各項(xiàng)幾何誤差后，任取加工空間中某一點(diǎn)即可預(yù)測(cè)該點(diǎn)在機(jī)床坐標(biāo)系下的空間誤差。

將旋量指數(shù)積引入機(jī)床建模中有以下優(yōu)點(diǎn)：（1）因其參考坐標(biāo)系設(shè)定特點(diǎn)，減少了機(jī)床運(yùn)動(dòng)軸局部坐標(biāo)系的建立；（2）避免了傳統(tǒng)建模中因多個(gè)局部坐標(biāo)系建立導(dǎo)致可能產(chǎn)生奇異性的問題。

4 空間誤差模型預(yù)測(cè)

4.1 幾何誤差辨識(shí)

以臥式加工中心為測(cè)試目標(biāo)，基于“12線法”[10]規(guī)劃實(shí)驗(yàn)測(cè)量軌跡，選用雷尼紹激光干涉儀為實(shí)驗(yàn)測(cè)量設(shè)備，為保證實(shí)驗(yàn)的可靠性，每條測(cè)量軌跡均選取16個(gè)測(cè)量點(diǎn)，重復(fù)測(cè)試5次并取平均數(shù)，測(cè)量加工空間設(shè)定為600*600*600（mm），采用十二線法完成機(jī)床21項(xiàng)幾何誤差辨識(shí)。給出十二線測(cè)量結(jié)果與21項(xiàng)幾何誤差辨識(shí)結(jié)果，如圖5、圖6所示。

圖5 12線法測(cè)量結(jié)果Fig.5 Measurement Results of 12 Wire Method

圖6 18項(xiàng)幾何誤差辨識(shí)結(jié)果Fig.6 18 Geometric Error Identification Results

3 項(xiàng)Sxy、Syz、Sxz垂直度誤差辨識(shí)結(jié)果分別為-1.18μ/m、-3.56μ/m、-6.31μ/m。

4.2 預(yù)測(cè)模型分析

機(jī)床空間誤差模型的準(zhǔn)確性間接決定了后續(xù)誤差補(bǔ)償效果良好的可能性，而模型的準(zhǔn)確性體現(xiàn)在加工空間中各點(diǎn)模型預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果的對(duì)比。

為直觀表達(dá)機(jī)床空間誤差模型預(yù)測(cè)結(jié)果，結(jié)合前文中21項(xiàng)幾何誤差辨識(shí)結(jié)果，帶入式（8）中，基于Matlab軟件輸出該臥式加工中心空間誤差預(yù)測(cè)結(jié)果，一種顏色代表空間誤差最弱區(qū)域，另一種顏色代表空間誤差反應(yīng)強(qiáng)烈區(qū)域，如圖7所示。

圖7 加工空間空間誤差預(yù)測(cè)圖Fig.7 Prediction Diagram of Machining Volumetric Error

任意給定加工空間任意一點(diǎn)即可直接該點(diǎn)空間誤差顯示結(jié)果?？梢钥闯?，該機(jī)床越靠近行程正向位置，則反映了空間誤差對(duì)機(jī)床加工精度影響越大。不僅有利于看出加工空間中各點(diǎn)空間誤差對(duì)機(jī)床的影響趨勢(shì)，更有利于為后續(xù)機(jī)床誤差補(bǔ)償提供強(qiáng)有力的預(yù)測(cè)理論模型。

4.3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證基于旋量指數(shù)積的臥式加工中心空間誤差預(yù)測(cè)模型的可行性，以及采用十二線法辨識(shí)技術(shù)手段的有效性，基于ISO230-6[11]展開四條對(duì)角線測(cè)量實(shí)驗(yàn)。規(guī)劃四條體對(duì)角線測(cè)量軌跡，同時(shí)結(jié)合式（8）及其21項(xiàng)幾何誤差結(jié)果給出四條體對(duì)角線各點(diǎn)預(yù)測(cè)值，如圖8所示。給出實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果與模型預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比，如圖9、表2所示。

表2 測(cè)量值與預(yù)測(cè)值對(duì)比圖Tab.2 Comparison Between Measured Value and Predicted Value

圖8 體對(duì)角線測(cè)量路徑Fig.8 Body Diagonal Measurement Path

圖9 體對(duì)角線模型預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)測(cè)量值對(duì)比Fig.9 Comparison Between Predicted Value of Body Diagonal Model and Measured Value of Experiment

結(jié)果表明：最小相對(duì)誤差為0.29%（對(duì)應(yīng)殘差為0.09μm），且最大相對(duì)誤差為11.21%（對(duì)應(yīng)殘差為0.13μm），因此四條體對(duì)角線實(shí)驗(yàn)測(cè)量值與模型預(yù)測(cè)值符合程度較高，充分驗(yàn)證了基于旋量指數(shù)積的臥式加工中心空間誤差完整建模及其預(yù)測(cè)分析方法正確、有效。

5 結(jié)論

（1）借助旋量剛體運(yùn)動(dòng)理論描述了機(jī)器人手臂關(guān)節(jié)軸線微小運(yùn)動(dòng)，從而建立機(jī)器人末端實(shí)際位形旋量指數(shù)積數(shù)學(xué)模型。（2）分析了機(jī)床21項(xiàng)幾何誤差及其幾何形式，同時(shí)輸出該臥式加工中心運(yùn)動(dòng)鏈拓?fù)浜?jiǎn)圖，因首先確定了刀尖點(diǎn)與工件切削點(diǎn)在機(jī)床坐標(biāo)系下的初始位形，從而建立了包含21項(xiàng)幾何誤差的機(jī)床完整數(shù)學(xué)模型。（3）利用十二線法辨識(shí)了21項(xiàng)幾何誤差，輸出空間誤差預(yù)測(cè)結(jié)果，基于ISO2002-6對(duì)角線空間誤差評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)比了對(duì)角線模型預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)測(cè)量值。結(jié)果顯示四條體對(duì)角線符合程度較高，最小相對(duì)誤差為0.29%（對(duì)應(yīng)殘差為0.09μm），且最大相對(duì)誤差為11.21%（對(duì)應(yīng)殘差為0.13μm），不僅充分驗(yàn)證了基于旋量指數(shù)積的機(jī)床空間誤差完整模型正確、有效，更為后續(xù)機(jī)床空間誤差補(bǔ)償技術(shù)提供堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)與數(shù)據(jù)參考。