周輝，李秀娟，張濟(jì)森，蘇子康

(南京航空航天大學(xué) 自動化學(xué)院，江蘇 南京 210016)

0 引言

四旋翼無人機(jī)是一個有著非線性、軸間耦合、欠驅(qū)動等特點的多輸入多輸出系統(tǒng)。在擾動環(huán)境下，其飛行品質(zhì)會持續(xù)惡化，從而影響飛行安全性。故設(shè)計一個具有高品質(zhì)的四旋翼飛行控制系統(tǒng)非常必要[1]。

目前主流的控制算法有PID控制算法、反步控制算法、模糊控制算法、滑模控制算法、魯棒控制算法、自適應(yīng)控制算法和自抗擾控制算法等。GONZLEZ-VZQUEZ S 設(shè)計了新型非線性PI/PID控制器，實現(xiàn)了四旋翼飛行器的姿態(tài)控制，對穩(wěn)態(tài)誤差具有一定的抑制作用，但魯棒性和抗干擾性一般[2]。XU G H等將PID與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自學(xué)習(xí)和自適應(yīng)來自主調(diào)節(jié)PID控制參數(shù)，能夠提高四旋翼飛行器的動態(tài)特性，減小穩(wěn)態(tài)誤差[3]。MADANI T等將飛行器模型分成3個子系統(tǒng)，采用Backstepping控制算法實現(xiàn)了軌跡跟蹤控制，但對模型的精度要求高、結(jié)構(gòu)復(fù)雜[4]。ZEGHLACHE S等利用模糊控制和滑?？刂葡嘟Y(jié)合來抑制抖振問題，能夠穩(wěn)定控制飛行器，但模糊控制運算量大，實際工程中實現(xiàn)較為困難[5]。李俊芳等針對四旋翼飛行過程中會受到外部擾動和參數(shù)不確定性的不足，設(shè)計了高階滑模姿態(tài)控制器，并利用動態(tài)面內(nèi)模法設(shè)計位置控制器，能夠有效抑制白噪聲，但并未驗證抑制參數(shù)不確定性的效果[6]。楊柳等針對外部擾動和質(zhì)量不定的問題，通過自適應(yīng)控制進(jìn)行在線更新估計補償項，能在一定程度上有效地抵消不確定性，但其設(shè)計復(fù)雜，系統(tǒng)穩(wěn)定性不易保證[7]。

鑒于四旋翼飛行器工作時易受到外界擾動和內(nèi)部不確定的干擾，許多學(xué)者與研究人員開始考慮利用自抗擾控制(active disturbance rejection controller, ADRC)設(shè)計控制器[8]，并驗證了自抗擾控制器具有良好的魯棒性和抗干擾能力，但是參數(shù)整定過于復(fù)雜，實際工程項目中不易實現(xiàn)[9-10]。GAO Z Q在繼承原將線性化和帶寬的概念引入ADRC，提出了線性自抗擾控制(linear active disturbance rejection controller, LADRC)，能夠方便進(jìn)行參數(shù)整定[11]。

本文以260kg電動四旋翼飛行器為研究對象，將線性自抗擾控制運用在大型電動四旋翼的姿態(tài)控制上，來進(jìn)行姿態(tài)解耦控制。首先對槳葉進(jìn)行受力分析得到誘導(dǎo)速度模型；再結(jié)合紊流風(fēng)場模型建立了風(fēng)擾下的四旋翼動力學(xué)模型；然后根據(jù)建立的動力學(xué)模型設(shè)計基于線性自抗擾控制的姿態(tài)控制控制器，并證明其穩(wěn)定性；最后對設(shè)計的線性自抗擾姿態(tài)控制器進(jìn)行仿真驗證。

1 四旋翼飛行器動力學(xué)模型

四旋翼飛行器由于其復(fù)雜的動力學(xué)特性，在飛行時會受到很多物理效應(yīng)的影響。要建立準(zhǔn)確的四旋翼飛行器的數(shù)學(xué)模型非常困難，并且過度復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型不利于控制算法的設(shè)計。為了簡化問題，本文在基于以下合理假設(shè)的情況下進(jìn)行分析模型：1)四旋翼飛行器忽略彈性震動及形變；2)飛行器結(jié)構(gòu)對稱，幾何外形和質(zhì)量分布均對稱；3)不考慮飛行器質(zhì)量變化，質(zhì)心和中心重合，位于機(jī)體坐標(biāo)系的縱軸上；4)地面坐標(biāo)系是慣性坐標(biāo)系，忽略地球自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)。電動四旋翼飛行器結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 260 kg電動四旋翼結(jié)構(gòu)圖

1.1 紊流風(fēng)場模型

根據(jù)文獻(xiàn)[12]可知，紊流信號的傳遞函數(shù)為：

(1)

(2)

(3)

式中：ku、kv、kw為紊流強度；Lu、Lv、Lw為紊流尺度；Vu、Vv、Vw表示四旋翼當(dāng)前飛行速度在機(jī)體軸上的3個分量。

1.2 紊流風(fēng)擾下的四旋翼非線性動力學(xué)模型

電動四旋翼飛行時，起到主要作用的是旋翼受到的拉力T、反轉(zhuǎn)矩Q和風(fēng)產(chǎn)生的阻力W，根據(jù)動力理論與葉素定理，可得：

(4)

(5)

其中系數(shù)cT和cQ定義為正常數(shù)，它們與S、r和ρair存在關(guān)系，可以通過靜態(tài)拉力(旋翼旋轉(zhuǎn)切割空氣，會產(chǎn)生垂直于旋翼槳面的力，稱為拉力或者升力)實驗獲得。

對于四旋翼飛行器，按照順時針的方向給4個螺旋槳定義編號為1、2、3、4。在機(jī)身支撐臂和機(jī)體坐標(biāo)系xb軸之間，旋翼有一個相關(guān)聯(lián)的夾角Θ，大型電動四旋翼是“X”型結(jié)構(gòu)，所以Θ=45°。

在無風(fēng)擾環(huán)境下受到的總拉力、俯仰力矩、滾轉(zhuǎn)力矩和偏航力矩為：

(6)

式中d為旋翼中心到機(jī)體坐標(biāo)原點的距離，即軸半徑。由式(6)給出的“X”型四旋翼飛行器的總升力與力矩和電機(jī)轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系，由于四旋翼在風(fēng)場中飛行會受到風(fēng)場額外產(chǎn)生的風(fēng)阻力和風(fēng)阻力矩，并且氣動阻力和氣動阻力矩與飛行器的相對來流速度有關(guān)。根據(jù)式(4)中后3個式子，可得風(fēng)擾力矩為

(7)

由于歐拉角的速度和機(jī)體旋轉(zhuǎn)速度的關(guān)系為

(8)

則根據(jù)牛頓力學(xué)定律，角動力學(xué)模型為

(9)

式中u1-u4分別為：

(10)

式(9)和(10)式中：Ix、Iy、Iz分別為x、y、z軸上的轉(zhuǎn)動慣量；φ、θ、ψ分別為滾轉(zhuǎn)角、俯仰角和偏航角；u1-u4為垂直、滾轉(zhuǎn)、俯仰和航向通道操縱量。

結(jié)合式(7)和式(9)，可得風(fēng)擾下的四旋翼飛行器角動力學(xué)模型如下：

(11)

2 線性自抗擾控制器設(shè)計

從式(11)可知四旋翼是一個多輸入多輸出非線性耦合系統(tǒng)。改變一個通道的狀態(tài)會使得其他通道的狀態(tài)也發(fā)生變化，這種耦合對于四旋翼飛行器的姿態(tài)控制不利，需要對其進(jìn)行解耦。將式(11)中3個方程的第2項當(dāng)作耦合項，記為fi(i=2,3,4)歸到四旋翼飛行器內(nèi)部擾動中，風(fēng)場帶來的擾動，即式(11)的第3項記為fW?？倲_動fi+fW對四旋翼的姿態(tài)控制影響很大，所設(shè)計的控制器需要能夠?qū)ζ溥M(jìn)行抑制和補償。基于線性自抗擾姿態(tài)控制器的研究目標(biāo)為通過設(shè)計的控制器能夠?qū)崟r估計四旋翼飛行器所受到的總擾動(四旋翼飛行器內(nèi)部擾動與外部環(huán)境擾動之和)，并進(jìn)行反饋補償以及保證系統(tǒng)輸出在有限時間內(nèi)能夠跟蹤上姿態(tài)角和姿態(tài)角速度。

在設(shè)計線性自抗擾控制器之前，需要對式(11)進(jìn)行簡化改寫處理，將式(11)轉(zhuǎn)換為

(12)

以滾轉(zhuǎn)通道為例，根據(jù)自抗擾控制原理可將式(12)中第1項改成“積分串聯(lián)”型線性系統(tǒng)，如式(13)所示。

(13)

滾轉(zhuǎn)角線性自抗擾控制器結(jié)構(gòu)圖如圖2所示，其中總擾動主要是外部風(fēng)擾和內(nèi)部參數(shù)不確定性，會對四旋翼的轉(zhuǎn)速造成影響，進(jìn)而影響四旋翼的姿態(tài)。

圖2 滾轉(zhuǎn)角線性自抗擾控制器結(jié)構(gòu)圖

2.1 線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器

線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器是線性自抗擾控制的核心部分，作用是根據(jù)系統(tǒng)輸入、輸出實時估計系統(tǒng)狀態(tài)及影響輸出的總擾動，估計的擾動被稱為擴(kuò)張的狀態(tài)。當(dāng)系統(tǒng)輸入為滾轉(zhuǎn)角時，線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器既能夠在有限時間內(nèi)跟蹤、估計四旋翼的滾轉(zhuǎn)角及其微分信號，又能夠?qū)崟r估計系統(tǒng)受到的總擾動。滾轉(zhuǎn)角線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器為

(14)

2.2 線性跟蹤微分器

輸入的滾轉(zhuǎn)角給定信號φd往往是不光滑的，但系統(tǒng)輸出的滾轉(zhuǎn)角信號φ是光滑的。當(dāng)φd發(fā)生階躍變化時，這會導(dǎo)致輸入、輸出之間誤差的初始值非常大，控制器的控制量也會隨之變得很大，對系統(tǒng)造成很大的沖擊，從而產(chǎn)生超調(diào)或者振蕩。通過線性微分器對輸入的姿態(tài)角信號安排過渡過程，選取出適當(dāng)?shù)膮?shù)，可以使得輸出快速且無超調(diào)，能夠解決PID控制算法中快速性和超調(diào)之間的矛盾，同時也可以預(yù)防輸入信號的突變，提高控制系統(tǒng)的魯棒性。滾轉(zhuǎn)角線性跟蹤微分器為

(15)

式中：φd是滾轉(zhuǎn)角給定值，φd1是軟化后的滾轉(zhuǎn)角給定值，φd2是φd1的微分信號，這些信號用于后面線性狀態(tài)誤差反饋控制器的設(shè)計；rφ是滾轉(zhuǎn)通道的快速因子，用于調(diào)節(jié)安排過渡過程的快慢。

2.3 線性狀態(tài)誤差反饋控制器

(16)

式中：e1φ、e2φ分別是線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的滾轉(zhuǎn)角和滾轉(zhuǎn)角速率的估計值與線性跟蹤微分器安排過渡過程之后的滾轉(zhuǎn)角指令信號及其微分信號之間的誤差；k1φ、k2φ是反饋控制參數(shù)；ui(i=φ,θ,ψ)是滾轉(zhuǎn)角誤差反饋操縱量。

俯仰通道和偏航通道設(shè)計過程與之類似，不再贅述。

2.4 穩(wěn)定性證明

利用被控對象式(12)跟蹤姿態(tài)角有界輸入信號v和線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的輸出[z1,z2,z3]，作如下的反饋控制：

(17)

將式(17)帶入式(12)，則有

(18)

(19)

將式(19)寫成狀態(tài)矩陣形式，則有

(20)

式中：

證明定理1：對式(20)求解方程，可得

(21)

已知矩陣Ae，可以選擇合適的參數(shù)使得它有兩個不同的特征值λ1、λ2，對矩陣Ae進(jìn)行對角化處理，則有

Ae=pdiag{-λ1，-λ2}p-1

(22)

對于任意t>0，則有

(23)

(24)

式(24)右側(cè)第一項，當(dāng)t→∞時，其極限為0，第二項由于a的任意性，所以

(25)

(26)

因此證得線性自抗擾控制器能夠使得閉環(huán)系統(tǒng)式(20)的跟蹤誤差趨于0。

3 姿態(tài)控制仿真驗證

為了驗證線性自抗擾控制器抑制擾動的能力，在Matlab/Simulink環(huán)境下進(jìn)行驗證。通過物理測量，四旋翼飛行器參數(shù)見表1，線性自抗擾姿態(tài)回路控制參數(shù)見表2。

表1 四旋翼飛行器結(jié)構(gòu)參數(shù)

表2 線性自抗擾控制器控制參數(shù)

首先驗證姿態(tài)控制器在系統(tǒng)參數(shù)不確定時的控制效果，仿真條件設(shè)置為：四旋翼在空中5m處懸停，系統(tǒng)初始3個姿態(tài)角都為0°，指令信號為1°，將飛行器質(zhì)量增加15%，轉(zhuǎn)動慣量Ix、Iy減少10%，Iz增加10%，使一號旋翼的拉力系數(shù)減少10%，在此情況下得到在參數(shù)不確定性時的滾轉(zhuǎn)角、俯仰角和偏航角響應(yīng)曲線圖如圖3所示。從圖中可知，滾轉(zhuǎn)角、俯仰角在初始階段經(jīng)過5～10s的短暫調(diào)整就能進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，系統(tǒng)響應(yīng)的超調(diào)很小，跟蹤誤差趨近于0；偏航角受到的影響相比于滾轉(zhuǎn)角和俯仰角，能以更快的速度有效跟蹤指令信號并達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，超調(diào)很小，幾乎可以忽略不計。線性自抗擾控制器具有良好的抑制參數(shù)不確定性的能力。

圖3 參數(shù)不確定性時的姿態(tài)角響應(yīng)圖

然后驗證在紊流風(fēng)擾的情況下線性自抗擾對風(fēng)擾的抑制作用，并與PID控制進(jìn)行對比。圖4和圖5分別為懸停狀態(tài)時姿態(tài)角采用LADRC和PID控制時受到紊流風(fēng)擾影響時的姿態(tài)角曲線圖。由于四旋翼對稱的結(jié)構(gòu)，故不考慮紊流風(fēng)方向，取紊流風(fēng)向為正風(fēng)向，紊流風(fēng)速VW大小為1m/s和0.5m/s，將其按照體軸系進(jìn)行分解可得u、v、w3個方向上的紊流風(fēng)分量Vu、Vv、Vw。由圖可知，風(fēng)擾主要影響滾轉(zhuǎn)角和俯仰角。由于線性自抗擾出色的抗干擾性能，使得在懸停狀態(tài)下滾轉(zhuǎn)角和俯仰角波動在±0.2°以內(nèi)，偏航角的波動幾乎為0，可忽略不計，比PID抑制紊流的能力更強。因此，在紊流風(fēng)擾下，所設(shè)計的控制器具有更好的抗干擾性和穩(wěn)定性。

圖4 紊流下LADRC姿態(tài)角曲線圖

圖5 紊流下PID姿態(tài)角曲線圖

4 結(jié)語

仿真驗證結(jié)果表明，所建立的風(fēng)擾下260kg電動四旋翼無人機(jī)動力學(xué)模型能夠較為準(zhǔn)確地反映其強耦合性，易受到參數(shù)不確定性和紊流風(fēng)擾的影響。所設(shè)計的線性自抗擾姿態(tài)控制器對參數(shù)不確定性和紊流風(fēng)擾表現(xiàn)出良好的抑制作用。