周衡，金超武

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016)

0 引言

主動(dòng)磁懸浮軸承(active magnetic bearing, AMB)是一種利用電磁力對轉(zhuǎn)子進(jìn)行重力抵消的新型非接觸式支承結(jié)構(gòu)。與傳統(tǒng)軸承相比，它具有無摩擦、無污染、不需要潤滑、壽命長等優(yōu)點(diǎn)[1]。相比于傳統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)機(jī)械裝備，磁懸浮轉(zhuǎn)子通常需要在高速下穩(wěn)定運(yùn)行。如何保證磁懸浮轉(zhuǎn)子在高速下穩(wěn)定運(yùn)行是需要解決的一個(gè)重要問題。磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在高速失穩(wěn)，其主要原因在于轉(zhuǎn)速同頻分量增大和低頻振動(dòng)的增加。轉(zhuǎn)速同頻分量的增大可以通過動(dòng)平衡技術(shù)解決[2]。在保證轉(zhuǎn)子具有較好的動(dòng)平衡時(shí)，低頻振動(dòng)成為影響磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在高速運(yùn)行時(shí)穩(wěn)定性的一個(gè)重要因素，對磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中低頻振動(dòng)的抑制，可以有效提高其在高速工作時(shí)的穩(wěn)定性。

目前對于如何抑制磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在高速工作的低頻振動(dòng)的研究相對較少。北航的劉健等[3]設(shè)計(jì)一種干擾觀測器來抑制系統(tǒng)在高速時(shí)出現(xiàn)的低頻擾動(dòng)，其只針對于單一干擾頻率進(jìn)行了驗(yàn)證。WEN X Y等[4]設(shè)計(jì)一種復(fù)合分層抗干擾控制器，可以對外部有界干擾進(jìn)行有效抑制。

本文采用復(fù)合抗干擾控制器。內(nèi)層控制器選取干擾觀測器對外部干擾進(jìn)行觀測并進(jìn)行前饋補(bǔ)償，外層控制器使用H∞控制器保證系統(tǒng)在高速工作時(shí)的穩(wěn)定性。通過仿真對該方法的抗干擾性能進(jìn)行驗(yàn)證，當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)頻率為500 Hz時(shí)，施加不同頻率的干擾信號。仿真結(jié)果表明：該方法有效降低了低頻擾動(dòng)對于系統(tǒng)的影響，提高了磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在高速時(shí)的魯棒性與抗干擾性能。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法可以有效地抑制50Hz的正弦干擾信號。

1 復(fù)合分層抗干擾控制器設(shè)計(jì)

1.1 磁懸浮軸承數(shù)學(xué)模型

建立精確的被控對象數(shù)學(xué)模型，是設(shè)計(jì)磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)復(fù)合分層抗干擾控制器的基礎(chǔ)，所以對磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析是很有必要的。為了使復(fù)合分層抗干擾控制器獲得更好的動(dòng)態(tài)性能，將磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子、傳感器和功率放大器結(jié)合起來作為控制器的被控對象，建立如圖1所示的磁懸浮-轉(zhuǎn)子示意圖，并規(guī)定圖中各個(gè)向量的方向。

圖1 磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子示意圖

根據(jù)圖1磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子受力圖，令：

(1)

則在轉(zhuǎn)子質(zhì)心C處建立轉(zhuǎn)子徑向自由度的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程[5]可以表示為

(2)

式中：質(zhì)量矩陣M、陀螺矩陣G和矩陣A可分別由式(3)獲得：

(3)

其中：m為轉(zhuǎn)子的質(zhì)量；Jx、Jy和Jz分別為轉(zhuǎn)子繞x、y和z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

根據(jù)式(2)可知，慣性耦合和陀螺力矩耦合存在于徑向各個(gè)自由度之間。慣性耦合在理論上可以通過合理的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)進(jìn)行避免。一般情況下，在低轉(zhuǎn)速時(shí)可以將陀螺力矩耦合忽略不計(jì)。結(jié)合式(2)可得解耦后磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)徑向自由度的傳遞函數(shù)：

(4)

式中：kii為各個(gè)自由度的電流剛度；kxi為各個(gè)自由度的位移剛度；mi為各個(gè)自由度的當(dāng)量質(zhì)量。

本文使用的磁懸浮軸承的徑向保護(hù)間隙為0.25mm，傳感器輸出的轉(zhuǎn)子位移電壓信號在0～5 V之間，可以得到徑向傳感器環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型

Ks=20 000 V/m

(5)

本文使用的功率放大器在磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)工作時(shí)，可以將其視為比例環(huán)節(jié)，其接受的電壓信號為-5 V～+5 V，徑向自由度的輸出電流信號為0～3.4 A，可以得到功率放大器環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型

Ka=0.34 A/V

(6)

結(jié)合式(4)-式(6)，可以得到磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子徑向自由度機(jī)電一體化模型的傳遞函數(shù)

(7)

1.2 干擾觀測器設(shè)計(jì)

干擾觀測器的基本思想是將外部干擾、實(shí)際模型與名義模型的差異全部等效為干擾觀測器的輸入端，觀測出等效干擾，在控制系統(tǒng)中引入相同的補(bǔ)償量，實(shí)現(xiàn)對干擾的完全抑制。干擾觀測器基本原理框圖如圖2所示。

圖2 干擾觀測器原理圖

根據(jù)圖2，可以得到從輸入u到輸出y的傳遞函數(shù)和從輸入d到輸出y的傳遞函數(shù)分別為：

(8)

(9)

當(dāng)Gn(s)≈Gp(s)時(shí)，從式(8)和式(9)中可以發(fā)現(xiàn)，干擾觀測器對于外環(huán)控制器并不會(huì)造成影響。

通過上述分析可知，采用低通濾波器設(shè)計(jì)Q(s)可以實(shí)現(xiàn)對低頻干擾的有效抑制。目前常用的低通濾波器Q(s)的形式為

(10)

1.3 H∞控制器設(shè)計(jì)

通過1.2小節(jié)的分析可知，干擾觀測器的設(shè)計(jì)對H∞控制器的設(shè)計(jì)沒有任何影響，當(dāng)標(biāo)稱模型近似于實(shí)際模型時(shí)，H∞控制器與干擾觀測器可以獨(dú)立設(shè)計(jì)。

本文針對單自由度磁懸浮軸承模型設(shè)計(jì)H∞控制器，將式(9)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間方程：

(11)

在磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，由于干擾與參數(shù)不確定性同時(shí)存在，模型的不確定性也會(huì)影響系統(tǒng)的魯棒性。在設(shè)計(jì)控制器時(shí)，需要同時(shí)考慮干擾的抑制能力和系統(tǒng)的魯棒性。本文采用混合靈敏度H∞控制器設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)控制器，選取靈敏度加權(quán)函數(shù)和補(bǔ)靈敏度加權(quán)函數(shù)，通過選取合適的加權(quán)函數(shù)來建立廣義被控對象。

混合靈敏度H∞方法原理框圖如圖3所示。其中r為系統(tǒng)參考輸入量；y為系統(tǒng)輸出量；e為跟蹤誤差量；u為控制器輸出量；d為外部干擾量；z1、z2和z3為控制評價(jià)輸出信號；W1和W3分別為系統(tǒng)的靈敏度函數(shù)和補(bǔ)靈敏度函數(shù)，W2為不確定性權(quán)函數(shù)。當(dāng)確定了W1、W2和W3之后，即可求出控制器K。

圖3 混合靈敏度H∞方法原理框圖

靈敏度函數(shù)表示系統(tǒng)對于外部干擾的抑制能力，其為d到y(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：

(12)

補(bǔ)靈敏度函數(shù)表示系統(tǒng)對于未建模動(dòng)態(tài)的抑制能力，其為r到y(tǒng)的傳遞函數(shù)：

(13)

混合靈敏度控制器設(shè)計(jì)的關(guān)鍵在于選擇合適的加權(quán)函數(shù)。目前，加權(quán)函數(shù)的選用應(yīng)該滿足魯棒控制第一定理：

(14)

2 仿真

2.1 仿真條件

本小節(jié)將通過Matlab/Simulink軟件平臺(tái)，對復(fù)合抗干擾控制器的性能進(jìn)行驗(yàn)證。H∞和干擾觀測器的仿真框圖如圖4所示。被控系統(tǒng)中包含磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)、功率放大器和傳感器。r為系統(tǒng)參考輸入，d為外部干擾，y為系統(tǒng)輸出。

圖4 H∞和干擾觀測器仿真框圖

本文所設(shè)計(jì)的干擾觀測器中，采用分子為一階、分母為三階的低通濾波器，選取τ=0.000 1。

在H∞控制器的設(shè)計(jì)中，選取加權(quán)函數(shù)分別為：

(15)

2.2 仿真驗(yàn)證

針對磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中存在的低頻擾動(dòng)，旋轉(zhuǎn)頻率為500Hz時(shí)，對系統(tǒng)施加不同頻率的擾動(dòng)，對控制器的魯棒性和抗干擾性能進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

圖5中，圖5(a)-圖5(d)分別為系統(tǒng)加入頻率為20Hz、30 Hz、40 Hz和50 Hz、幅值為1.5 V的正弦干擾。從0 s開始，在系統(tǒng)中加入干擾；在0.5 s時(shí)，引入干擾觀測器對干擾進(jìn)行前饋補(bǔ)償?？梢詮膱D中看出，干擾在幅值相同時(shí)，頻率越高，系統(tǒng)中產(chǎn)生的振動(dòng)幅值越大，在引入干擾觀測器對干擾進(jìn)行前饋補(bǔ)償后，可以明顯降低系統(tǒng)的振動(dòng)幅值，有效地提升系統(tǒng)的抗干擾能力，驗(yàn)證了基于H∞和干擾觀測器的復(fù)合控制器在系統(tǒng)高速工作時(shí)對于外部引入的低頻干擾有較好的抑制作用。

圖5 H∞和復(fù)合控制器對低頻干擾的抑制效果對比

3 實(shí)驗(yàn)

在磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)上進(jìn)行高速旋轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)。在仿真中可以觀察到，干擾頻率越高，磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子的振動(dòng)幅值越大。在實(shí)驗(yàn)中，對系統(tǒng)施加頻率為50Hz、幅值為0.1 V的正弦干擾信號，分別采用H∞控制器與復(fù)合控制器進(jìn)行控制，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6所示(本刊為黑白印刷，如有疑問請咨詢作者)。

圖6中，磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子在H∞控制器控制下的最大振動(dòng)幅值為9.49 μm，在復(fù)合控制器控制下的最大振動(dòng)幅值為7.06 μm。與H∞控制器相比，復(fù)合控制器控制下的振動(dòng)幅值減小了25.6%，有效地提高了磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的抗干擾性能。

圖6 H∞和復(fù)合控制器對50Hz干擾的抑制效果對比

4 結(jié)語

1)本文所采用的基于H∞和干擾觀測器的復(fù)合控制器相較于傳統(tǒng)H∞控制器，對于低頻正弦干擾的抑制效果更加顯著，可以有效地提高系統(tǒng)的抗干擾性能；

2)基于H∞和干擾觀測器的復(fù)合控制器結(jié)構(gòu)簡單，參數(shù)選取容易，便于實(shí)現(xiàn)；

3)通過仿真驗(yàn)證，磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在500Hz工作時(shí)，對于20Hz～50Hz范圍內(nèi)的干擾有明顯的抑制作用；

4)通過實(shí)驗(yàn)，復(fù)合控制器可以對50Hz正弦干擾引起的振動(dòng)進(jìn)行有效地抑制。