唐紅梅，周福川，閆 凝，商 超

(重慶交通大學(xué) 巖土工程研究所，重慶 400074)

0 引 言

從A.A.GRIFFITH[1]采用能量理論研究材料的斷裂行為開始，斷裂力學(xué)已經(jīng)發(fā)展了一個世紀(jì)。N.I.MUSKHELISHVILI[2]和H.M.W. WESTERGAARD[3]采用復(fù)變函數(shù)理論得出了兩種應(yīng)力函數(shù)，為斷裂力學(xué)的發(fā)展提供了數(shù)學(xué)支撐。G.R.IRWIN[4]提出應(yīng)力強(qiáng)度因子理論后，極大地加速了線彈性斷裂力學(xué)的發(fā)展，此后尋找應(yīng)力強(qiáng)度因子便成為線彈性斷裂力學(xué)問題的重點和難點。

求解無限大裂紋體應(yīng)力強(qiáng)度因子的方法已經(jīng)出現(xiàn)很久，但是實踐中的裂紋體很少呈現(xiàn)無限大形式，絕大部分屬于有限邊界形態(tài)，因此將無限大裂紋體模型的研究成果擴(kuò)展到有限裂紋體模型具有現(xiàn)實意義[5]。但目前對有限裂紋體模型的解析方法研究仍顯不足，且多采用數(shù)值計算方式代替，例如M.GONZALEZ 等[6]采用邊界元法分別求解了基于能量釋放率理論和圍道積分等數(shù)學(xué)公式的數(shù)值解；A.S.KOBAYASHI等[7]采用邊界配置法得到了有限大裂紋體的應(yīng)力強(qiáng)度因子數(shù)值解；段樹金等[8]利用邊界配置法求解了含一切口的簡支梁在分布荷載作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子；袁浩等[9]采用有限元手段對J積分、相互作用積分和位移外推法進(jìn)行數(shù)值計算。不過數(shù)值分析仍然是一種近似解，不能完全取代理論上的真值。因此，開展有限裂紋體的斷裂理論研究屬于基礎(chǔ)科學(xué)研究范疇，仍是斷裂力學(xué)研究的一個重要方向。

洪起超[10]總結(jié)了不同條件下的無限邊界模型，整理了一些重要的應(yīng)力強(qiáng)度因子解析式；鄭濤等[11]利用復(fù)雜的復(fù)變函數(shù)方法，推導(dǎo)出帶3條共線裂紋模型的解析解；高常輝等[12]利用復(fù)變函數(shù)方法求解了I型裂紋受面力作用的應(yīng)力強(qiáng)度因子解析解。復(fù)變函數(shù)分析方法的復(fù)雜性也制約了斷裂力學(xué)在其他學(xué)科領(lǐng)域的推廣應(yīng)用。易志堅[13]采用積分運算，提出的裂紋線場分析法是具有嚴(yán)格力學(xué)意義的實用可靠方法。

有限裂紋體斷裂問題十分普遍，許多巖體的破裂現(xiàn)象可以視為巖體拉伸破壞的力學(xué)行為，如高陡邊坡演化過程中坡肩拉應(yīng)力集中形成拉裂面，以及在大地構(gòu)造應(yīng)力作用下巖層橫向縱彎導(dǎo)致背斜核部發(fā)育斷續(xù)或連續(xù)結(jié)構(gòu)面的巖體拉斷破裂現(xiàn)象，其本質(zhì)上均為拉伸下的巖體斷裂問題。將含有斷續(xù)結(jié)構(gòu)面巖體簡化為斷續(xù)周期裂紋有不同稱謂，如非貫通斷續(xù)節(jié)理[14]、共線等間距裂紋[15]或共線等距等長裂隙[16]，其主要針對邊坡、危巖等地質(zhì)體，但采用優(yōu)化后的線場分析法探討背斜核部拉應(yīng)力區(qū)裂紋的地質(zhì)現(xiàn)象尚無報道。巖體拉伸斷裂破壞涉及拉伸強(qiáng)度問題，A.H.GHAZVINIAN等[17]發(fā)現(xiàn)節(jié)理的拉伸強(qiáng)度對巖體剪切行為具有顯著影響，據(jù)此修正了巴頓公式；I.VANICEK[18]通過工程案例展示了拉應(yīng)力在地質(zhì)工程領(lǐng)域的重要性，并系統(tǒng)介紹了巖石拉伸破壞試驗和發(fā)展方向；FENG Gan等[19]基于周向應(yīng)力理論和試驗擬合得出了不同溫度下斷裂韌度和拉應(yīng)力強(qiáng)度之間的關(guān)系；郭芳等[20]采用數(shù)值模擬方法對節(jié)理巖體邊坡穩(wěn)定性進(jìn)行分析，得出了考慮巖體拉伸破壞更加符合實際情況的結(jié)論。然而，線場分析法在巖體拉伸強(qiáng)度方面的應(yīng)用罕見。筆者采用優(yōu)化后的線場分析法研究背斜核部巖體在單向拉伸作用下的斷裂破壞機(jī)制，由地質(zhì)模型概化出斷續(xù)周期裂紋模型，獲取中心裂紋力學(xué)模型；引入線場分析法，通過應(yīng)力修正值和形狀修正系數(shù)研究背斜核部巖體拉裂紋拉伸斷裂問題，對解譯背斜核部巖體拉斷破裂現(xiàn)象和工程巖體拉伸強(qiáng)度問題等方面具有實際意義。

1 斷續(xù)周期裂紋巖體地質(zhì)力學(xué)模型

背斜核部拉應(yīng)力區(qū)裂紋具有以下主要特征：發(fā)育在巖體內(nèi)部；以非連續(xù)分布形式展現(xiàn)；一組結(jié)構(gòu)面包含多條平行非貫通結(jié)構(gòu)面，一條結(jié)構(gòu)面又由許多斷續(xù)裂紋組成；斷續(xù)裂紋以等距或非等距共線排布；裂紋長短隨機(jī)組合(圖1)。筆者據(jù)此提出背斜核部巖體的“斷續(xù)周期裂紋”模型(圖2)。

圖1 背斜核部拉應(yīng)力區(qū)裂紋實物Fig. 1 Diagram of crack in tensile stress zone of anticline core

圖2(a)為地層背斜核部地質(zhì)剖面示意。在區(qū)域上受水平構(gòu)造應(yīng)力σl作用，地層發(fā)生褶皺彎曲變形。背斜核部頂層的巖體位于單向拉伸區(qū)，局部應(yīng)力場為單向拉應(yīng)力狀態(tài)σ；背斜核部底層巖體位于壓剪區(qū)，局部應(yīng)力場為壓剪復(fù)合應(yīng)力狀態(tài)。文中研究對象限于背斜核部頂層巖體，即單向拉伸區(qū)。由于地層厚度h遠(yuǎn)小于地球半徑R，可假定：①在頂層厚度h范圍內(nèi)，拉應(yīng)力σ沿x軸均勻分布，頂層巖體受拉應(yīng)力σ作用衍生拉裂紋；② 巖層在沉積過程中受環(huán)境、氣候、物質(zhì)組分等不均勻性因素影響，在一些薄弱部位發(fā)育拉裂紋，且沿巖層徑向(x軸向)呈斷續(xù)分布形態(tài)，沿巖層環(huán)向(y軸向)近似對稱排布，具有斷續(xù)周期裂紋特征。

在圖2(a)中用虛線框沿徑向x軸獲取一列斷續(xù)周期裂紋，經(jīng)逆時針旋轉(zhuǎn)90°，進(jìn)一步概化為斷續(xù)周期裂紋力學(xué)模型，如圖2(b)。裂紋出現(xiàn)周期為2b，相鄰裂紋之間巖橋長度為2(b-a)，所受單向拉伸應(yīng)力與圖2(a)中局部單向拉應(yīng)力σ相等。

在圖2(b)中通過虛線框獲取中心裂紋力學(xué)模型〔圖2(c)〕，分析兩側(cè)裂紋對中心裂紋斷裂擴(kuò)展的影響。其中o1o2為中心裂紋，o1N和o2M為巖橋半長b-a，中心裂紋力學(xué)模型(基本單元)所受單向拉應(yīng)力與圖2(b)中所受單向拉應(yīng)力σ相等。

圖2(c)中的中心裂紋是圖2(b)中斷續(xù)周期裂紋的一個基本單元，而圖2(b)中斷續(xù)周期裂紋是圖2(a)背斜核部地層的一列子單元。因此，通過分析中心裂紋基本單元的斷裂問題，可以反映背斜核部斷續(xù)周期裂紋的宏觀斷裂破壞特征，而線場分析法是分析中心裂紋模型的實用力學(xué)方法，經(jīng)優(yōu)化后的線場分析法可以更好地應(yīng)用于該類地質(zhì)模型分析中。

圖2 中心裂紋模型概化流程Fig. 2 Simplified flowsheet of the central crack model

對于單向拉應(yīng)力σ作用下的含中心裂紋巖體，將垂直于裂紋面o1o2方向、位于巖橋o1N和o2M上的巖橋內(nèi)部拉應(yīng)力σy進(jìn)行修正，可得到既滿足裂紋面應(yīng)力邊界條件的同時又滿足巖橋上應(yīng)力邊界條件的解答。因此，按照線場分析法的力學(xué)思路，中心裂紋問題的重點轉(zhuǎn)化為求取修正系數(shù)。

線場分析法的目標(biāo)是求得應(yīng)力強(qiáng)度因子，如式(1)：

(1)

2 巖體斷裂特征參數(shù)

2.1 巖橋應(yīng)力修正值與靜力平衡因子拆分

2.1.1 巖橋應(yīng)力修正值

圖2(c)為單向拉伸下含中心裂紋巖體，直角坐標(biāo)系xoy的原點建立在裂紋面中心點o處，x軸重合于裂紋面，y軸垂直于裂紋面。o1o2為裂紋長度為2a的裂紋面，巖體寬度為2b，M、N為巖橋與兩側(cè)自由邊的交點。

既滿足圖2(c)中裂紋面應(yīng)力邊界條件，又滿足巖橋應(yīng)力邊界條件的拉應(yīng)力場為：

(2)

式中：σy為巖橋上的拉應(yīng)力，kPa；T為應(yīng)力修正值，kPa，是關(guān)于外荷載σ、巖體寬度2b及裂紋長度2a的函數(shù)。

沿MN切割形成A、B兩個區(qū)域。由于巖橋幾何尺寸相對側(cè)自由邊尺寸很小，屬于小邊界問題，可以按照圣維南原理對A區(qū)域建立沿y方向的靜力平衡方程：

(3)

將式(2)代入式(3)，由于應(yīng)力修正值T與積分變量r無關(guān)，從積分式中提取得：

(4)

將式(4)代入式(2)即可得巖橋上的拉應(yīng)力σy，再將拉應(yīng)力σy代入式(1)，即求得應(yīng)力強(qiáng)度因子KI。

2.1.2 巖橋靜力平衡因子拆分

求解應(yīng)力修正值T的關(guān)鍵是求解式(4)中分母的定積分式，即：

(5)

式(4)的分母〔式(5)〕是求解靜力平衡方程式(3)的橋梁，故將式(5)左側(cè)命名為“巖橋靜力平衡因子”。為將巖橋靜力平衡因子的定積分求解問題一般化，可暫不討論積分區(qū)間，將式(5)轉(zhuǎn)化為不定積分式，如式(6)：

(6)

式中：被積函數(shù)的分子為關(guān)于矢徑r的一次多項式，可將其拆分為兩個不定積分式的線性組合：

(7)

(8)

式中：A0(r)表示不定積分中被積函數(shù)分子r的冪次為0，下文統(tǒng)稱零次冪積分因子；A1(r)表示不定積分中被積函數(shù)分子r的冪次為1，下文統(tǒng)稱一次冪積分因子。

對積分因子A0(r)和A1(r)進(jìn)行線性組合，得到不定積分式B(r)，再給出相應(yīng)的積分區(qū)間，即可得到巖橋靜力平衡因子〔式(5)〕。

2.2 巖體斷裂特征參數(shù)求解

2.2.1 積分因子求解

為了分析系統(tǒng)(9)—(10)的穩(wěn)定性,首先由投影算子的非擴(kuò)張性及常微分方程解的可延拓性,得到如下引理。

1)零次冪積分因子A0(r)

根據(jù)線性換元法和三角換元法，式(7)的解為：

(9)

2)一次冪積分因子A1(r)

與推求A0(r)相似，通過線性、三角換元法可得：

(10)

由積分公式結(jié)論[21]有：

(11)

當(dāng)式(11)中j=2時，式(11)即為式(10)，可得：

(12)

通過線性、三角換元反解，式(12)化為：

(13)

由式(13)可得，當(dāng)r=0時，A1(0)=C2，積分因子的線性組合如式(14)：

(14)

2.2.2 巖橋靜力平衡因子線性組合求解

(15)

(16)

2.2.3 巖橋應(yīng)力修正值及拉應(yīng)力求解

將式(16)代入式(4)可得巖橋應(yīng)力修正值，如式(17)：

(17)

將式(17)代入式(2)可得巖橋拉應(yīng)力，如式(18)：

(18)

2.2.4 應(yīng)力強(qiáng)度因子及形狀修正系數(shù)求解

將式(18)代入式(1)，得到裂紋面兩端應(yīng)力強(qiáng)度因子，如式(19)：

(19)

由式(19)可知，有限寬巖體較無限大巖體應(yīng)力強(qiáng)度因子多一個修正系數(shù)F，如式(20)：

(20)

3 結(jié)果分析與討論

3.1 形狀修正系數(shù)F變化規(guī)律

將圖2(c)中裂紋長度2a與巖體寬度2b的比值視為裂紋貫通率n，即n=a/b(0≤n≤1)。當(dāng)n=0時，表示完整巖石；當(dāng)n=1時，表示巖體已經(jīng)破壞。

由式(16)和式(20)可知，形狀修正系數(shù)F是關(guān)于裂紋貫通率n的一元非線性函數(shù)，F(xiàn)隨著裂紋貫通率n變化而變化。為了考察形狀修正系數(shù)F函數(shù)的形態(tài)，通過文獻(xiàn)[13]、文獻(xiàn)[16]和文獻(xiàn)[22]，結(jié)合式(20)，獲得了形狀修正系數(shù)對數(shù)值lg(F)分布，如圖3。

圖3 形狀修正系數(shù)對數(shù)值lg(F)分布Fig. 3 Distribution of shape correction coefficient lg(F)

由圖3可知：

1) 修正系數(shù)對數(shù)值lg(F)均隨著裂紋貫通率n的增加呈非線性單調(diào)上升趨勢，文獻(xiàn)[22]的裂紋貫通率n>0.8后形狀修正系數(shù)的增長速度低于其它3種的情況除外。隨裂紋貫通率n增加，形狀修正系數(shù)F總體上對裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的調(diào)增作用越大。形狀修正系數(shù)大致分為三段式增長區(qū)間：裂紋貫通率n<0.3區(qū)間為慢速增長階段；裂紋貫通率n處于0.3～0.6區(qū)間為中速增長階段；裂紋貫通率n>0.6 區(qū)間屬于快速增長階段。

2) 當(dāng)裂紋貫通率n→0時，F(xiàn)→1，式(19)退化為無限邊界中心裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子解；當(dāng)裂紋貫通率n→1時，除文獻(xiàn)[22]外，其余曲線的形狀修正系數(shù)F→+∞，因為該條件下，其余曲線公式的分母趨近于0，而文獻(xiàn)[22]對應(yīng)的Isida公式的最小二乘法是關(guān)于裂紋貫通率n的有限多項式，在數(shù)學(xué)上是有界的。實際上，當(dāng)裂紋貫通率n→1時，即裂紋長度2a趨近于巖體寬度2b時，巖體接近破壞，在此種條件下，即便外部荷載不增加，但是受形狀修正系數(shù)的調(diào)整，應(yīng)力強(qiáng)度因子將快速突破斷裂韌度，材料發(fā)生破壞。由此可知，文獻(xiàn)[22]中Isida公式的最小二乘法在裂紋貫通率n→1時不合理。

3) 文獻(xiàn)[16]裂紋共線等距等長解是斷裂力學(xué)中將無限邊界體結(jié)果推廣到有限寬度板條的經(jīng)典解法，具有較高的精度，但是這種解法仍然是一種近似解；文獻(xiàn)[22]中Isida公式的最小二乘法是基于試驗統(tǒng)計數(shù)據(jù)，其為采用統(tǒng)計分析方法擬合的多項式公式，具有一定的統(tǒng)計意義，但也是一種近似解法；文獻(xiàn)[13]根據(jù)線場上靜力平衡方程得出的公式具有嚴(yán)格的力學(xué)邏輯，但其基于圣維南原理的積分因子，難以精確滿足線場上的應(yīng)力邊界條件，而只是通過積分方式近似滿足其應(yīng)力邊界條件，同時對積分因子進(jìn)行整體積分具有相對復(fù)雜的數(shù)學(xué)技巧；文中解基于線場上的靜力平衡方程，采用拆分與組合方法進(jìn)行改進(jìn)，更方便快捷，也是合理可信的。

3.2 應(yīng)力修正值T變化規(guī)律

聯(lián)立式(16)、式(17)，可得應(yīng)力修正值T關(guān)于裂紋貫通率n和外荷載F(F=σ)的表達(dá)式(21)，并繪制函數(shù)曲線(圖4)。

(21)

圖4 應(yīng)力修正值T函數(shù)曲線分布Fig. 4 Distribution of stress modified value T function curve

由式(21)和圖4可見：當(dāng)外荷載不變，應(yīng)力修正值T隨著裂紋貫通率n的增加呈非線性增加趨勢；當(dāng)裂紋貫通率n不變，應(yīng)力修正值T隨著外荷載的增加呈線性增加趨勢；當(dāng)裂紋貫通率n→0時，式(21)無意義，即式(21)僅適用于帶裂紋巖體；當(dāng)裂紋貫通率n→1時，應(yīng)力修正值T→+∞，即巖橋上拉應(yīng)力無窮大，巖體已經(jīng)破壞。

4 算例分析

4.1 巖體抗拉強(qiáng)度對比

(22)

利用式(16)，結(jié)合K準(zhǔn)則判據(jù)，可得巖體抗拉強(qiáng)度如式(23)：

(23)

根據(jù)式(23)，獲得灰?guī)r巖體抗拉強(qiáng)度為0.337 MPa。按照文獻(xiàn)[22]和文獻(xiàn)[13]中的應(yīng)力強(qiáng)度因子公式推導(dǎo)出巖體抗拉強(qiáng)度公式而獲得的灰?guī)r巖體抗拉強(qiáng)度值見表1。由表1可知，4種解法所得巖體抗拉強(qiáng)度值介于0.325～0.341 MPa，平均值為0.334 MPa，標(biāo)準(zhǔn)差為0.007 MPa，變異系數(shù)為0.02，表明文中的解是合理的。

表1 巖體抗拉強(qiáng)度分布Table 1 Distribution table of rock mass tensile strength

4.2 基于文中解的巖體抗拉強(qiáng)度變化規(guī)律

裂紋貫通率n和裂紋半長a是影響巖體抗拉強(qiáng)度值的幾何特征指標(biāo)。在式(23)中取裂紋半長a為0.2～2 m的數(shù)值，裂紋貫通率n為介于0～1之間的變量，據(jù)此繪制在不同裂紋半長a下的巖體抗拉強(qiáng)度關(guān)系曲線(圖5)。

圖5 巖體抗拉強(qiáng)度隨裂紋特征的變化規(guī)律Fig. 5 Variation law of rock mass tensile strength changing with crack characteristics

由圖5可見：

1)裂紋半長a一定時，巖體抗拉強(qiáng)度St隨裂紋貫通率n增大而降低；裂紋半長a介于0.2～0.8 m且裂紋貫通率n<0.6時，巖體抗拉強(qiáng)度值較大；裂紋半長a>0.8 m時，巖體抗拉強(qiáng)度隨裂紋貫通率n的增加，趨于平緩。

2)裂紋貫通率n一定時，巖體抗拉強(qiáng)度St隨著裂紋半長a增加而降低(St與a的二次根式成反比)。

3)裂紋貫通率n一定且0.2 m≤a≤1.0 m時，巖體抗拉強(qiáng)度St變幅較大；1.0 m

4)0.2 m≤a≤2.0 m時，灰?guī)r巖體的抗拉強(qiáng)度均未超過1.0 MPa。

5 結(jié) 論

將背斜核部巖體拉裂紋的發(fā)育和斷裂問題概化為中心對稱拉伸斷裂破壞模型，引入經(jīng)優(yōu)化的線場分析法使中心裂紋模型計算過程方便快捷，物理概念清晰。巖橋靜力平衡因子是求解巖體斷裂特征參數(shù)如巖橋應(yīng)力修正值、巖橋拉應(yīng)力、應(yīng)力強(qiáng)度因子及形狀修正系數(shù)的關(guān)鍵，并得出了中心對稱裂紋巖體抗拉強(qiáng)度表達(dá)式。主要結(jié)論如下：

1)形狀修正系數(shù)隨裂紋貫通率增大呈非線性單調(diào)上升，表明裂紋貫通率越高，形狀修正系數(shù)對裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的調(diào)增作用越大；當(dāng)裂紋貫通率趨近于0時，應(yīng)力強(qiáng)度因子解退化為無限邊界中心裂紋模型解；當(dāng)裂紋貫通率趨近于1時，形狀修正系數(shù)趨于無窮大，巖體破壞。

2)當(dāng)外荷載不變，應(yīng)力修正值隨裂紋貫通率增大呈非線性增加趨勢；當(dāng)裂紋貫通率不變，應(yīng)力修正值隨外荷載增大呈線性增加趨勢；當(dāng)裂紋貫通率趨于0時，文中解無意義，即僅適用于帶裂紋巖體；當(dāng)裂紋貫通率趨于1時，應(yīng)力修正值趨于無窮大，即巖橋上拉應(yīng)力無窮大，巖體破壞。

3)獲得了中心對稱裂紋巖體的抗拉強(qiáng)度表達(dá)式。以灰?guī)r為例，計算對比發(fā)現(xiàn)：4種理論解法(含文中解)所得巖體抗拉強(qiáng)度值介于0.325～0.341 MPa，平均值為0.334 MPa，標(biāo)準(zhǔn)差為0.007 MPa，變異系數(shù)為0.02，表明文中解是合理的。裂紋半長一定時，巖體抗拉強(qiáng)度隨裂紋貫通率增大而降低；裂紋貫通率一定時，巖體抗拉強(qiáng)度隨裂紋半長增加而降低；巖體抗拉強(qiáng)度與裂紋半長的平方根成反比，表現(xiàn)出巖體抗拉強(qiáng)度變幅隨裂紋半長線性變化而呈非線性變化的規(guī)律；裂紋半長介于0.2～2.0 m時，灰?guī)r巖體的抗拉強(qiáng)度均未超過1.0 MPa。