吳 磊，董柯洋 ,周小祥

(1. 重慶交通大學 交通運輸學院，重慶 400074； 2. 重慶交通大學 信息化辦公室，重慶 400074； 3. 重慶交通大學 產(chǎn)學研合作處，重慶 400074)

0 引 言

公交網(wǎng)絡的潛在運能，又稱為潛在運力，是指相對現(xiàn)狀乘客輸送情況，在公交企業(yè)運營成本和出行者利益達到平衡時，公交網(wǎng)絡在單位時間內所能增大的乘客數(shù)[1]。

國外方面，針對不同的公交網(wǎng)絡設計方案，評價其潛在運能是一個十分必要且復雜的課題。迄今為止，國外在公交網(wǎng)絡潛在運能評價問題方面做了大量研究，但目前仍處于探索階段，一些學者提出了很多有建設性的模型和算法，O.CATS 等[2]、K.WINTER 等[3]、B.BEVRANI等[4]和Y.HADAS等[5]都從乘客需求和運輸服務供給的平衡角度分析了公交網(wǎng)絡的潛在運能的計算方法；另外，A. HUANG等[6]、A.MOHAMMAD等[7]也針對公交網(wǎng)絡運能相關的使用問題，提出了對應的公交網(wǎng)絡設計和優(yōu)化方案。

國內研究方面，由于公交網(wǎng)絡的基礎建設還未完善，故對整個公交網(wǎng)絡能力的研究還處于起步階段，涉及到網(wǎng)絡潛在運能的文獻比較少。杜則行健[8]建立了基于換乘樞紐的多模式交通網(wǎng)絡運能協(xié)調研究方法，但研究只涉及到運能協(xié)調方面，未能研究公交網(wǎng)絡潛在運能；在此基礎上，四兵鋒等[9]分析了城市多方式交通平衡配流問題，并采用雙層規(guī)劃方法構造了基于系統(tǒng)最優(yōu)的城市公交專用道網(wǎng)絡設計模型，但也未能研究網(wǎng)絡潛在運能的問題；柳伍生等[10]則將乘客需求最大的兩個節(jié)點連接起來作為初始線路,采用蟻群算法對初始線路進行迭代改進，從而構建了最優(yōu)的公交網(wǎng)絡，但是僅僅針對總出行時間最短和運營成本最小化展開研究，沒有深入到影響公交網(wǎng)絡運能因素層面上。

上述文獻對公交網(wǎng)絡潛在運能的研究局限于某一條具體線路、點或某一種具體的公共交通設備，而公交網(wǎng)絡能力的充分發(fā)揮需要兼顧運營者和出行者之間的利益，筆者根據(jù)公交系統(tǒng)的具體特點，首先對公交網(wǎng)絡進行描述，進而構造一個雙層規(guī)劃模型來描述公交網(wǎng)絡潛在運能的確定問題：在考慮公交出行者隨機路徑選擇的條件下，實現(xiàn)路徑流量的擴張滿足運營者成本最小化，研究的網(wǎng)絡潛在運能體現(xiàn)了出行者和運營者之間的利益平衡。

1 符號定義

2 出行者費用及運營成本

公交網(wǎng)絡中，某一條弧的乘客廣義費用(用時間成本體現(xiàn))，可以用弧上的行程時間ta(xa)、等待時間wa(xa)及里程票價費用ma來表示：

ca(xa)=ta(xa)+wa(xa)+γma

(1)

式中：ca(xa)為弧a上的廣義費用；ta(xa)為弧a上的行程時間；wa(xa)為弧a上的等待車時間；γ為時間價值轉化系數(shù)，min/＄；ma為弧a上的里程票價費用，ma=laΨ，la為弧a的距離，Ψ為單位里程票價費率，＄/km。

弧a上的行程時間是流量的函數(shù)，可用BPR函數(shù)來表示[11]：

(2)

弧a上的等車時間可以用式(3)表示[12]：

(3)

式中：E[ha]為弧a上公交車輛的到達時間間隔的期望；σa為弧a上公交車輛的到達時間間隔的方差。

由于弧a上運送一位乘客所需的平均運營成本和弧上的擁擠程度相關，即弧的流量越小，所需的單位乘客運營成本就越小；反之就越大，故它可以用式(4)來表示：

(4)

式中：Ba(xa)為弧a上的單位乘客運營成本；ba為不擁擠狀態(tài)下弧a上的單位乘客固定運營成本，￥/prs；μ、λ為自定義參數(shù)，表示單位乘客運營成本和弧上乘客量的關系。

對于公交網(wǎng)絡來說，一般地，單位乘客的運營成本與弧上乘客的流量通常情況下不是簡單的正相關關系，即單位乘客運營成本函數(shù)不應該是乘客流量的單調遞增函數(shù)，而應該是個分段函數(shù)，即當服務成本小于固定成本時，流量越大單位乘客運營成本越低；當由于乘客數(shù)量增加導致的服務成本大于固定成本時，乘客量越大，運營成本就增大。由于筆者目標是探討公交網(wǎng)絡的潛在運能，及需要考慮乘客流量很大的情況，服務成本超過了固定成本，所以直接將單位乘客的運營成本視作乘客流量的單調遞增函數(shù)，也是在乘客量很大的情況下，探討公交網(wǎng)絡能繼續(xù)承載多大的客流。

3 雙層規(guī)劃模型

公交網(wǎng)絡設計過程中，需要考慮運營者和用戶之間的利益權衡，運營者通常希望用最小成本來運送最大的客流量，而出行者則希望獲得最優(yōu)出行策略，即每個出行者都選擇自己認為的最小費用路徑進行出行，雙方?jīng)Q策的結果最終會達到一個平衡，通常情況下，雙層規(guī)劃模型可以描述這種運營者和出行者之間的平衡關系，上層規(guī)劃使運營者能夠花費最小的運營成本來獲得最大的擴張流量；下層則為用戶的隨機平衡配流模型。

3.1 上層模型

上層模型為運營者決策模型，即采用最小的運營成本能夠使得OD兩點間的增廣流量最大，為一個最小費用最大流模型：

(5)

(6)

(7)

0≤xa+Δxa≤ka, ?a∈A

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

上層規(guī)劃(ULP)可以采用文獻[13]所描述的構造賦權弧法構造有向圖進行求解。

3.2 下層模型

下層模型主要反映用戶的最優(yōu)策略，即當每個用戶都認為自己選擇的路徑的出行費用達到最小時，路網(wǎng)達到平衡狀態(tài)[14]。筆者分析公交運輸網(wǎng)絡的潛在運能，因此筆者從更為宏觀的角度來進行出行路徑選擇，即利用SUE模型來分配客流。相較動態(tài)交通分配模型而言，這一方式也許不能很好的刻畫交通擁堵情況，但SUE模型以網(wǎng)絡中用戶均衡為目標進行客流分配而不考慮更為細節(jié)的運行情況，因此適用于筆者從規(guī)劃層面來衡量運輸網(wǎng)絡的潛在運力。

由Y.SHEFFI[14]以及C.FISK[15]提出的SUE模型能很好地說明隨機分配的特性并消除了均一用戶特性假設的不足，其模型為：

(13)

(14)

(15)

(16)

其中：式(14)為增廣OD需求量守恒約束；式(15)為路徑增廣流量非負約束；式(16)為弧和路徑流量關系約束。

下層規(guī)劃(LLP)的求解算法有兩種。兩種算法在計算時間和復雜度上的區(qū)別不大，筆者采用雙層規(guī)劃模型的算法來求解(LLP)，其步驟見文獻[14]。

3.3 雙層規(guī)劃模型的求解算法

基于3.1節(jié)、3.2節(jié)所提出的雙層模型，多方式公交網(wǎng)絡潛在運能的計算可以通過上、下層模型不斷的求解迭代來完成。

4 算例分析

圖1 算例網(wǎng)絡Fig. 1 Example network

首先采用現(xiàn)狀OD進行用戶隨機平衡分配，得到如圖2的公交網(wǎng)絡乘客流量圖。

圖2 初次分配得到的網(wǎng)絡流量Fig. 2 Resulted network flow of the first allocation

圖3 初次分配得到的G*Fig. 3 Resulted G* of the first allocation

圖4 首次迭代得到的增廣鏈流量Fig. 4 Resulted of the first iteration

圖5 二次迭代的結果Fig. the second iteration

根據(jù)圖5和各個弧的載運能力ka，重新計算得到3條最小費用流增廣鏈上的流量如圖6。

圖6 二次迭代的增廣鏈流量結果Fig. 6 Resulted of the second iteration

圖7 最終的網(wǎng)絡流量解Fig. 7 The final solution of network flow

圖8 迭代過程的變化Fig. 8 Variation of during the iteration

從圖8可知算法滿足收斂條件。最終的得到OD量為3 261.50，故OD之間的潛在運能Δqrs=3 261.50-2 500.00=761.50 prs/h。

從圖7可知，當公交網(wǎng)絡達到最小費用流與隨機配流之間的平衡時，局部弧如O—D(L4)、3—D(L1)的流量超過了弧的容量(載運能力)，這說明運營者和出行者都會接受這種擁擠的現(xiàn)象，即局部路段的擁擠不會影響運營者和出行者利益平衡點的出現(xiàn)；相反，消除這些路段的擁擠，使得運營者所期望的最大運能未能實現(xiàn)，他們將無法獲得最大運營效益。另外地，如果在其它未達到載運能力的弧上進行流量擴展，即令它們的流量都達到載運能力ka，出行者的每一條路徑都將出現(xiàn)擁擠的狀況，無法體現(xiàn)路徑選擇的利益差別。這種情況表明，圖7中弧上的流量是運營者和出行者利益平衡時的最大流。

5 大算例測試

為驗證筆者提出的模型和算法，筆者使用經(jīng)典的Sioux Falls網(wǎng)絡來進行大算例測試。這個大算例包括522個OD對，24個節(jié)點以及76個路段。該網(wǎng)絡的示意如圖9。

圖9 大算例Sioux Falls示意Fig. 9 Schematic diagram of Sioux Falls in case study

線路1：1—3—4—5—6—8—9；線路2：3—12—11—14—15—19—20；線路3：5—9—8—16—17—19；線路4：16—10—11—12—13；線路5：2—6—8—7—18—16—17—19；線路6：22—23—14—11—4；線路7：6—8—7—18—20—21；線路8：10—11—14—23—22—21—24。

這8條公交線路可以對向開行。除此之外，模型和算法中其他參數(shù)與4節(jié)中取值相同。

表1 路段屬性Table 1 Attributes of road section

表2 OD矩陣Table 2 OD matrix

應用筆者所建立的模型及使用的算法，最終得到收斂后的結果，見表3，見圖10。

表3 部分路段流量Table 3 The flow of part of road section

圖10 大算例中迭代過程的變化Fig. 10 Variation of during the iteration in case study

從圖10中可以看到算法可以收斂，并得到OD量25 102，與案例中類似，可以得到網(wǎng)絡中潛在運能Δqrs=25 102-19 244=5 858 prs/h。

從表3中同樣可以看到部分路段以及出現(xiàn)了流量大于弧容量的情況，即這些路段的擁擠是運營者和出行者可以容忍的平衡點，提高這些路段的運能雖然可以提升出行者的出行體驗，但會造成公交企業(yè)不能獲得更大的收益。

從本案例可以看到，筆者的研究可以分析計算出公交網(wǎng)絡中未被充分利用的運力。如前所述，其他相關研究往往期望通過運營管理手段，如調整時刻表，使用運能更大的車輛等方式加大公交網(wǎng)絡的服務能力。但在尚未明確網(wǎng)絡潛在剩余運力的情況下，這些措施有時是盲目的。如文中案例所示，在一些路段已經(jīng)達到飽和的情況下，擴大這一路段的運能是常見的思路，如加密這一路段的公交開行頻次或換用載客量更大的車輛，但這一措施可能導致運輸企業(yè)的投資無法獲得期望的收益，而為其他尚未完全飽和的路段擴能卻可能在提升路網(wǎng)整體運輸能力的同時保證公交企業(yè)的獲益。

6 結 語

通過綜合考慮公交運營和出行服務兩個角度，基于雙層規(guī)劃的公交網(wǎng)絡尋找運營和出行者利益平衡點，并提出了雙層模型的求解方法，研究了公交網(wǎng)絡潛在能力。然而，公交網(wǎng)絡潛在運能的確定是一個復雜的過程，將在后續(xù)的研究中分析網(wǎng)絡瓶頸點對公交網(wǎng)絡潛在運能擴張的影響、乘客對網(wǎng)絡和費用感知程度與公交網(wǎng)絡載運能力之間的關系。另外，公交運營不僅只是考慮客運量最大化，還需考慮城市發(fā)展規(guī)劃等多方面因素，對于出行者而言也不僅只是考慮出行成本最低，還會考慮出行距離、換乘次數(shù)等因素，所提出的公交客流隨機分配也存在一定局限性，這將會在后續(xù)的研究中繼續(xù)修正并完善。