吳宣良 王先義 (四川省雙流中學(xué) 610200)

立體幾何是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要版塊，是培養(yǎng)和考查學(xué)生數(shù)學(xué)建模、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要載體．凸多面體外接球半徑問題是立體幾何中的典型問題，也常出現(xiàn)在高考選填壓軸和高聯(lián)試題中，這類問題對(duì)學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)都有較高的要求．此前，許多研究者對(duì)此問題進(jìn)行分類總結(jié)出諸多模型，但其模型種類復(fù)雜多樣，學(xué)生理解和掌握都較為困難．本文先從已有的凸多面體外接球模型出發(fā)，提煉問題模型，尋找通性通法，再通過幾何畫板獲得球體半徑確定的關(guān)鍵要素，并根據(jù)要素探究凸多面體外接球半徑的統(tǒng)一公式，最后對(duì)相關(guān)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用，現(xiàn)整理成文，以饗讀者．

1 凸多面體外接球半徑研究緣由

筆者查閱了近年來研討外接球半徑求法問題的各類文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)文獻(xiàn)以分類討論為主，大體可以分為六種模型．

墻角模型:其特征是四面體某一頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直，將四面體補(bǔ)為長(zhǎng)方體求得外接球半徑(圖1)．

圖1 圖2 圖3

垂面模型:其特征是四面體中存在一條直線垂直于一個(gè)平面，根據(jù)外接球球心位置及其線面垂直關(guān)系求得外接球半徑(圖2)．

切瓜模型:其特征是四面體中存在兩個(gè)平面互相垂直，且其中一條棱為截面圓的直徑，利用截面圓直徑與外接球球心共面的特征求得外接球半徑(圖3)．

折疊模型:其特征是由兩個(gè)等腰三角形拼接在一起而成的四面體，利用兩個(gè)三角形外接圓圓心確定球心，再利用勾股定理進(jìn)行求解(圖4)．

圖4 圖5 圖6

對(duì)棱相等模型:其特征是四面體三組對(duì)棱長(zhǎng)度相等，通過構(gòu)造長(zhǎng)方體模型求解外接球半徑(圖5)．

兩直角三角形拼接模型:其特征是由兩個(gè)斜邊相等的直角三角形相互拼接得到的四面體，根據(jù)幾何特征直接確定球心在兩直角三角斜邊中點(diǎn)處(圖6)．

以上六種模型都是解決凸四面體的外接球半徑的常用模型．根據(jù)六種模型的特征，大致可以分為三類：第一類是四面體內(nèi)存在兩個(gè)相互垂直的面，即前三種模型；第二類是四面體中有兩個(gè)三角形的外接圓半徑相等，即后三種模型．

此時(shí)，筆者產(chǎn)生了三個(gè)疑問：

問題1 對(duì)于任意的凸四面體外接球半徑問題，是否存在通性通法進(jìn)行求解？

問題2 如果存在通性通法，是否存在完整統(tǒng)一的凸四面體外接球半徑公式呢？

問題3 如果一般的凸多面體存在外接球時(shí)，它的外接球半徑又該如何求解呢？

2 凸多面體外接球半徑統(tǒng)一公式

通過作圖分析發(fā)現(xiàn)，任意球體的半徑都與它球面上任意兩個(gè)不重合的相交截面圓的半徑和截面的二面角有關(guān)，這就是解決存在外接球的凸多面體外接球半徑問題的通性通法．

鑒于此，下面通過建模研究凸多面體的外接球半徑、外接球兩個(gè)相交截面圓的半徑、外接球兩相交截面圓交線長(zhǎng)以及這兩個(gè)截面圓所在平面的二面角大小的代數(shù)關(guān)系，計(jì)算得到外接球半徑的統(tǒng)一公式，也即解決上述三個(gè)疑問，得到一般的命題如下：

命題

設(shè)凸多面體外接球的兩個(gè)相交截面圓的半徑分別

r

，

r

(

r

≥

r

)，這兩個(gè)截面交線長(zhǎng)度為

L

，兩個(gè)截面所在平面構(gòu)成的二面角大小為

θ

，則該凸多面體的外接球半徑

R

可以表示為：其中+

r

sin

θ

．

證明

如圖7，圓

O

與圓

O

的半徑分別為

r

，

r

(

r

≥

r

)，兩圓所在平面構(gòu)成的二面角的平面角大小為

θ

，外接球半徑為

R

．設(shè)

A

，

B

兩點(diǎn)為圓

O

與圓

O

的兩個(gè)交點(diǎn)，連結(jié)

AB

，則

AB

=

L

．作半徑為

r

的圓

O

，使得圓

O

所在的平面垂直于圓

O

所在的平面，且圓

O

與圓

O

同過球上一點(diǎn)

Q

．設(shè)圓

O

與圓

O

交于

C

，

D

兩點(diǎn)，弦

AB

，

CD

的中點(diǎn)分別為

M

，

M

，直線

OO

與

M

Q

的交點(diǎn)為

E

．

圖7

r

=

O

Q

=

M

Q

-

O

M

=

M

Q

-

O

O

，

M

Q

=

M

Q

sin

θ

=(

r

+

O

M

)sin

θ

．

由勾股定理，故

在△

EO

M

中，所以又

O

O

=

EO

-

EO

,故

r

=

M

Q

-

O

O

=化簡(jiǎn)得到由勾股定理，在△

OO

M

中，其中代入整理得又因?yàn)樗?p>從而

其中+

r

sin

θ

．在命題的證明過程中，通過構(gòu)造與圓

O

所在的平面垂直的圓

O

，再根據(jù)圓

O

和圓

O

的半徑、公共弦長(zhǎng)與其外接球半徑的關(guān)系，推導(dǎo)出外接球半徑的統(tǒng)一公式，此公式是求解凸多面體外接球半徑的統(tǒng)一公式．下面將多面體條件特殊化，可得到更為簡(jiǎn)潔的多面體外接球半徑公式．

3 兩類特殊的凸多面體外接球半徑公式

如果外接球的兩個(gè)截面圓所在的平面互相垂直時(shí)，也即可以得到如下推論：

推論1

若一個(gè)凸多面體有外接球，設(shè)該凸多面體外接球的兩個(gè)截面圓的半徑分別為

r

，

r

(

r

≥

r

)，截面圓交線長(zhǎng)度為

L

，且外接球的兩個(gè)截面圓所在的平面互相垂直時(shí)，則該凸多面體的外接球半徑

R

可以表示為

注：此公式即為文首中提到的前三種模型(墻角模型、垂面模型和切瓜模型)的外接球半徑公式．

如果外接球的兩個(gè)截面圓的半徑相等時(shí)，可以得到如下推論：

推論2

若一個(gè)凸多面體有外接球，該多面體的某兩個(gè)相鄰面的外接圓半徑均為

r

，這兩個(gè)相鄰面交線長(zhǎng)度為

L

，兩個(gè)相鄰面所在平面構(gòu)成的二面角大小為

θ

，則該多面體的外接球半徑

R

可以表示為

注：此公式即為文首中提到的后三種模型(折疊模型、對(duì)棱模型和拼接模型)的外接球半徑公式．

4 凸多面體外接球半徑統(tǒng)一公式簡(jiǎn)單應(yīng)用

例1

(2020重慶高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽)四面體

ABCD

中，

AB

⊥

BC

，

CD

⊥

BC

，

BC

=2，且異面直線

AB

與

CD

所成的角為60°．若四面體

ABCD

的外接球半徑為則四面體

ABCD

的體積的最大值為

．

解析

如圖8，設(shè)

AB

=

x

，

CD

=

y

，則易得四面體

ABCD

的體積由題意可知二面角

A

-

BC

-

D

的大小為60°，△

ABC

與△

BCD

的外接圓半徑分別為與

圖8

由命題知化簡(jiǎn)得

xy

=

x

+

y

-12，所以

xy

≥2

xy

-12，即

xy

≤12，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，體積

V

的最大值為

例2

(2019陜西高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽)如圖9，在棱長(zhǎng)為1的正四面體

A

-

BCD

中，

G

為△

BCD

的重心，

M

是線段

AG

的中點(diǎn)，則三棱錐

M

-

BCD

的外接球表面積為

．

圖9

解析

由于

G

是△

BCD

的重心，可得因?yàn)?p>M

是線段

AG

的中點(diǎn)，所以在△

MBC

中，

MC

+

MB

=

BC

，所以∠

BMC

=90°．同理可得∠

CMD

=∠

BMD

=90°，所以平面

BMC

⊥平面

CMD

．又△

MBC

與△

MCD

的外接圓半徑均為則由推論1可得外接球表面積為

例3

(2018山西高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽)在四面體

A

-

BCD

中，棱

BC

=3，其余各棱長(zhǎng)均為2，則四面體

A

-

BCD

外接球半徑為

．

解析

如圖10，由題意得

BC

=3，

AB

=

AC

=

AD

=

BD

=

CD

=2．

圖10

取

AD

的中點(diǎn)

F

，連結(jié)

BF

，

CF

，則，從而cos∠

BFC

=由對(duì)稱性可知∠

BFC

為平面

ABD

和平面

ACD

的二面角的平面角，且△

ABD

與△

ACD

的外接圓半徑均為由推論2可得外接球半徑

評(píng)注 例1、例2、例3均為高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題，這三題也可以利用幾何法作出球心，再利用幾何關(guān)系計(jì)算外接球半徑，但對(duì)學(xué)生的邏輯推理和直觀想象素養(yǎng)要求較高．此處借助命題及其推論，可以降低作圖和計(jì)算難度，節(jié)約時(shí)間成本，提高思維的經(jīng)濟(jì)效益．

凸多面體外接球半徑問題在高聯(lián)和高考中考查得非常廣泛，在2017年甘肅和福建高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中也進(jìn)行了考查，在高考全國(guó)卷和地方卷對(duì)凸多面體外接球半徑進(jìn)行了多次考查，限于篇幅原因，本文不一一列舉作答，有興趣的讀者可以嘗試?yán)猛苟嗝骟w外接球半徑統(tǒng)一公式進(jìn)行求解．

5 結(jié)束語(yǔ)

“通性通法”中，“通性”是概念所反映的數(shù)學(xué)基本性質(zhì)，“通法”是概念所蘊(yùn)含的思想方法．章建躍博士認(rèn)為，在解題教學(xué)中要使學(xué)生逐步養(yǎng)成從基本概念、基本原理及其聯(lián)系性出發(fā)思考和解決問題的習(xí)慣，要注重大巧若拙的通性通法，而不是將學(xué)生的注意吸引到技巧上．本文探究了一種求解多面體外接球半徑的一般思路，力求“做一題，會(huì)一類，通一片”．在解題和教學(xué)的過程中，要避免就題論題，要有從特殊到一般的探索意識(shí)，歸納和總結(jié)問題的共性和特點(diǎn)，從而獲得問題的通法，提升能力并優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)．