張治國(guó) 毛敏東 張成平 李振波 潘玉濤 吳鐘騰

(1上海理工大學(xué)環(huán)境與建筑學(xué)院, 上海 200093)(2 自然資源部丘陵山地地質(zhì)災(zāi)害防治重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 福州 350002)(3山東省海洋生態(tài)環(huán)境與防災(zāi)減災(zāi)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 青島 266061)(4 北京交通大學(xué)城市地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 100044)(5 新加坡國(guó)立大學(xué)土木與環(huán)境工程系, 新加坡 119077)

在軟土地區(qū)盾構(gòu)隧道實(shí)際運(yùn)營(yíng)過(guò)程中,地下水可通過(guò)管片接縫、螺栓孔、注漿孔等進(jìn)入隧道,不可避免地會(huì)導(dǎo)致盾構(gòu)隧道襯砌出現(xiàn)局部滲漏水現(xiàn)象,致使襯砌發(fā)生破壞.同時(shí),隧道襯砌的局部滲漏會(huì)改變土層中超孔隙水壓力分布和消散,促進(jìn)地層長(zhǎng)期固結(jié)沉降,從而威脅隧道結(jié)構(gòu)及鄰近構(gòu)筑物的安全.因此,深入分析黏彈性地層地鐵盾構(gòu)隧道襯砌滲漏誘發(fā)土體的固結(jié)沉降變形,具有重要的研究意義.

目前,針對(duì)盾構(gòu)隧道滲漏引起的地層沉降研究方法主要包括現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)[1-2]、數(shù)值模擬[3-5]和理論解析[6-12]等.在理論解析方面,Li[6]引入半滲透邊界條件,解決了考慮滲透性邊界的隧道周邊超孔隙水壓力消散問題.張治國(guó)等[8]解決了襯砌長(zhǎng)期滲漏影響下盾構(gòu)隧道施工擾動(dòng)誘發(fā)的超孔隙水壓力解和地表固結(jié)沉降問題.上述研究均假定土體為彈性體,忽略了土體的黏彈性.為考慮土體流變特性,詹美禮等[9]和張冬梅等[10]采用三元件Merchant流變模型描述土體流變性,基于復(fù)變函數(shù)對(duì)地層長(zhǎng)期固結(jié)沉降進(jìn)行了預(yù)測(cè)分析.童磊等[11]根據(jù)Burgers四元件流變模型和Terzaghi-Rendulic固結(jié)理論,分析了襯砌完全排水和完全不排水的情況下超孔隙水壓力.這些研究雖然考慮了盾構(gòu)隧道滲漏誘發(fā)土體固結(jié)問題中的地層流變特性,但大多是基于整數(shù)階流變模型,而整數(shù)階模型通常需要較多的元件組合才能獲得較好的精度.分?jǐn)?shù)階流變模型是整數(shù)階流變模型的進(jìn)一步擴(kuò)展.文獻(xiàn)[13-15]分別采用不同類型的分?jǐn)?shù)階流變模型,探究不同地區(qū)的軟土中孔隙水壓力消散和土體固結(jié)問題,發(fā)現(xiàn)該模型可通過(guò)相對(duì)較少的參數(shù)來(lái)描述土體的流變特性.然而,目前在研究盾構(gòu)隧道滲漏誘發(fā)土體固結(jié)沉降問題時(shí)較少采用分?jǐn)?shù)階流變模型.

鑒于此,本文采用基于Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的Merchant三元件流變模型來(lái)描述軟黏土的流變特性.假定隧道襯砌為半滲透邊界,耦合Terzaghi-Rendulic固結(jié)理論,通過(guò)保角映射、分離變量法、Laplace變換和逆變換等數(shù)學(xué)方法,推導(dǎo)出黏彈性軟土隧道滲漏誘發(fā)的地層固結(jié)沉降解.利用工程算例驗(yàn)證本文方法的合理性,并研究了分?jǐn)?shù)階階次和土體與襯砌滲透比對(duì)土體中超孔隙水壓力消散和固結(jié)沉降的影響規(guī)律.

1 問題描述

1.1 計(jì)算模型與基本假定

對(duì)于飽和黏彈性軟土地層中襯砌半滲透邊界盾構(gòu)隧道滲漏引起的長(zhǎng)期土體固結(jié)沉降問題,理論上可將其簡(jiǎn)化為二維平面應(yīng)變問題.令h為隧道中心埋深,r1和r2分別為隧道襯砌的內(nèi)、外半徑,以隧道中心正上方地表處為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系.

圖1 計(jì)算模型示意圖

簡(jiǎn)化后的固結(jié)問題包含以下基本假定:

1) 隧道滿足平面應(yīng)變條件,在縱向上的長(zhǎng)度足夠長(zhǎng),隧道襯砌結(jié)構(gòu)為半滲透邊界[6];

2) 土體為各向同性均質(zhì)連續(xù)的飽和黏彈性體,其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系采用基于Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的Merchant三元件流變模型來(lái)描述;

3) 孔隙水的流動(dòng)符合Darcy定律;

4) 土體變形為小變形,故不計(jì)變形對(duì)坐標(biāo)的影響;

5) 土體固結(jié)服從Terzaghi-Rendulic二維固結(jié)理論,土體中各點(diǎn)總應(yīng)力不隨時(shí)間變化.

1.2 分?jǐn)?shù)階Merchant流變模型

圖2(a)展示了經(jīng)典的三元件黏彈性流變模型,即整數(shù)階Merchant模型,為一個(gè)Kelvin模型和一個(gè)彈性元件串聯(lián)而成,共包含彈性體中的彈性模量Eh、Kelvin體中的彈性模量Ek和黏滯系數(shù)ηk三個(gè)參數(shù).本文將整數(shù)階模型的黏壺元件替換為彈壺元件(見圖2(b)),采用分?jǐn)?shù)階Merchant三元件流變模型來(lái)描述流變特性.圖中,β=ηk/Ek為黏滯時(shí)間;α為分?jǐn)?shù)階次,是影響土體蠕變特性的一個(gè)重要參數(shù).當(dāng)α=1時(shí),元件為黏壺元件,表現(xiàn)為理想牛頓流體;當(dāng)α=0時(shí),元件為彈簧元件,表現(xiàn)為線彈性固體;當(dāng)0<α<1時(shí),元件為彈壺元件,表現(xiàn)為分?jǐn)?shù)階黏彈性體.因此,α描述了土體從固體到流動(dòng)狀態(tài)的性質(zhì),反映了土體的多種性質(zhì)狀態(tài),使其具有一定的物理意義.

(a) 整數(shù)階

本文選取基于Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的Merchant模型.彈壺元件的本構(gòu)關(guān)系式為[16-17]

(1)

(2)

式中,Γ(x)為Gamma函數(shù),x的實(shí)部Re(x)>0,且

(3)

因此,分?jǐn)?shù)階Merchant三元件流變模型的本構(gòu)方程可表示為

(4)

式中,ε和σ分別為總應(yīng)變和總應(yīng)力;εh和εk分別為彈性體和Kelvin體的應(yīng)變.

根據(jù)分?jǐn)?shù)階微積分Laplace變換公式可得

(5)

式中,s為復(fù)變量.

對(duì)式(4)進(jìn)行Laplace變換,整理后可得

(6)

根據(jù)黏彈性力學(xué)知識(shí)可知,在小應(yīng)變條件下,黏彈性體的積分型本構(gòu)關(guān)系為

(7)

式中,J(t)為柔度函數(shù).

聯(lián)立式(1)、(6)、(7),通過(guò)Laplace逆變換,可得分?jǐn)?shù)階Merchant流變模型的柔度函數(shù)為

(8)

顯然,當(dāng)α=1時(shí),式(8)可退化為整數(shù)階Merchant流變模型的柔度函數(shù);當(dāng)α=0時(shí),式(8)可退化為線彈性模型的柔度函數(shù).

2 固結(jié)沉降控制方程

根據(jù)有效應(yīng)力原理,假定土體法向總應(yīng)力之和不變,可得

Θ=σx+σy+σz

(9)

(10)

式中,Θ為土體法向總應(yīng)力;σx、σy和σz分別為土體的三向應(yīng)力;σ′為土體有效應(yīng)力;u為土體超孔隙水壓力.

飽和黏彈性土體的體積應(yīng)變[9,18]為

(11)

式中,μ為泊松比.

由Terzaghi-Rendulic二維固結(jié)理論可知,Θ不隨時(shí)間t變化,對(duì)式(11)兩邊關(guān)于時(shí)間t求偏導(dǎo)可得

(12)

根據(jù)連續(xù)應(yīng)變條件的基本假設(shè),得到飽和黏彈性土體的連續(xù)性方程為

(13)

式中,γw為水的密度;ks為土體滲透系數(shù).

聯(lián)立式(9)、(10)、(12)、(13),可得滿足分?jǐn)?shù)階Merchant三元件流變模型的黏彈性飽和軟土的固結(jié)沉降控制方程,再結(jié)合式(8),通過(guò)Laplace變化可得

(14)

3 土體超孔隙水壓消散方程

3.1 保角映射

本文研究的是含圓孔的一個(gè)半無(wú)限空間平面應(yīng)變問題(見圖1).考慮到數(shù)學(xué)上求解困難,采用保角變化ω(ζ),將z平面隧道外的土體區(qū)域映射為ζ平面內(nèi)的圓環(huán)域(見圖3),原z平面上的點(diǎn)A、B、C、D分別對(duì)應(yīng)ζ平面的點(diǎn)A′、B′、C′、D′.根據(jù)z平面中隧道中心埋深h和隧道外半徑r2，可求得圓環(huán)域的隧道半徑為

(15)

圖3 映射后區(qū)域

保角映射函數(shù)為

(16)

根據(jù)ζ平面內(nèi)極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系ξ=ρcosθ和η=ρsinθ,可得復(fù)平面ζ和原平面z上相應(yīng)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系為

(17)

將式(17)代入式(14),可得經(jīng)過(guò)保角變換后的ζ平面內(nèi)固結(jié)控制方程為

(18)

根據(jù)Li[6]提出的半滲透邊界條件,襯砌與土體的相對(duì)滲透系數(shù)可表示為

(19)

式中,k1和ks分別為隧道襯砌和土體的滲透系數(shù).

襯砌半滲透條件下對(duì)應(yīng)的邊界及初始條件為

(20)

3.2 控制方程求解

采用分離變量法,求解基于分?jǐn)?shù)階Merchant流變模型的固結(jié)控制方程式(18)、襯砌半滲透邊界條件及初始條件式(20).將u(ρ,θ,t)=W(ρ,θ)T(t)代入控制方程式(18)可得

(21)

(22)

式中,λ為泛定方程的特征值,且λ>0.

對(duì)于式(21),邊界條件的極坐標(biāo)形式為

(23)

對(duì)于式(22),初始條件為

T(t)|t=0=1

(24)

(25)

方程(25)的通解為

W(χ)=GJ0(λχ)+QN0(λχ)

(26)

式中,J0(λχ)為零階Bessel函數(shù);N0(λχ)為零階Neumann函數(shù);G、Q為待定系數(shù),由邊界條件確定.

將式(23)代入式(26)中可得

(27)

式中

(28)

(29)

式中,λi表示第i個(gè)特征值;J1為一階Bessel函數(shù);N1為一階Neumann函數(shù).

根據(jù)Cramer法則,λi滿足如下特征方程:

(30)

對(duì)于每一個(gè)確定的θ值,式(30)都可以通過(guò)逐步搜索法[8]求得特征值組成的集合{λ1,λ2,λ3,…,λi}.將某個(gè)特征值λi代入式(27)可得

(31)

將式(31)代入式(26)可得

Giψi(ρ,θ)

(32)

式中,Gi為待定系數(shù),根據(jù)邊界條件獲得;ψi(ρ,θ)為關(guān)于ρ和θ的函數(shù).

根據(jù)邊界條件T(t)|t=0=1,可得初始超孔隙水壓為

(33)

根據(jù)Bessel函數(shù)性質(zhì)可知,特征值不同的特征函數(shù)在[r,1]上加權(quán)正交.因此,在式(33)等號(hào)兩邊同乘χWm(χ),并在[r,1]區(qū)間積分可得

(34)

將式(32)和式(33)代入式(34),可求得

(35)

式中,u0為初始超孔隙水壓,且[11-12]

(36)

式中,P為隧道襯砌外壁上的初始超孔隙水壓力.

將特征值λi代入式(22),結(jié)合邊界條件式(24),可得

(37)

求解式(37)中的L(Ti),并進(jìn)行Laplace逆變換可得

(38)

采用精確度較高的Crump反演方法[18]對(duì)式(38)進(jìn)行求解,有

(39)

式中,Tc為L(zhǎng)aplace逆變換計(jì)算時(shí)間周期,一般取最大時(shí)間的2倍;c=φ-lne/(2Tc),本文選取誤差參數(shù)φ=0、相對(duì)誤差e=0.001進(jìn)行計(jì)算.

將式(32)和式(39)代入u(ρ,θ,t)=W(ρ,θ)T(t),則可得到超孔隙水壓力表達(dá)式為

(40)

3.3 土體固結(jié)沉降求解

對(duì)于平面應(yīng)變問題,體應(yīng)變可表示為

εv=εx+εy

(41)

Merchant三元件黏彈性土體的本構(gòu)關(guān)系為

(42)

式中,εx和εy分別為水平應(yīng)力和豎向應(yīng)力.

土體的側(cè)向壓力為

σx=K0σy

(43)

式中,K0為靜止土壓力系數(shù).

因此,對(duì)于某一時(shí)刻t,將式(40)代入式(11)中,可得體應(yīng)變?chǔ)舦,再結(jié)合式(41)、(42)和(43),可得土體中任意一點(diǎn)任意時(shí)刻的豎向應(yīng)變?chǔ)舮.由此便可求解出任意時(shí)刻t隧道中心線處的地表固結(jié)沉降為

(44)

此外,根據(jù)文獻(xiàn)[7],地表沉降可以通過(guò)Peck[19]提出的公式進(jìn)行修正拓展.因此,地表固結(jié)沉降槽的公式為

(45)

式中,l為距隧道軸線的水平距離;Sl(t)為距隧道軸線l處的地表沉降值;is為地表沉降槽寬度系數(shù).

根據(jù)文獻(xiàn)[20],地表以下土層固結(jié)沉降可通過(guò)正態(tài)分布曲線描述為

(46)

式中,H為距地表的豎向距離;Sl,H(t)為t時(shí)刻地表以下隧道上方土體的固結(jié)沉降;SH(t)為隧道正上方土體的固結(jié)沉降;iH為深層土體沉降槽寬度系數(shù).

根據(jù)SH(t)/S(t)=is/iH,將式(46)代入式(45),可得任意時(shí)刻地表以下隧道上方土體的固結(jié)沉降值為

(47)

4 算例驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文理論解析解的可靠性和適用性,將本文計(jì)算結(jié)果與廣州地鐵2號(hào)線工程實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)[21]進(jìn)行對(duì)比分析.隧道的幾何參數(shù)和物理參數(shù)為[21]:h=29.3 m;r2=3 m;r1=2.7 m;ks=2.1×10-10m/s;γ=18.1 kN/m3;k1/ks=0.028;Eh=18 MPa;Ek=23 MPa;ηk=28 GPa·d;泊松比為0.39.在具體工程中,可根據(jù)實(shí)際土樣的固結(jié)沉降試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到分?jǐn)?shù)階階次α.

圖4為廣州地鐵2號(hào)線盾構(gòu)施工某斷面完成后100 d的地表和深層土體沉降對(duì)比圖.經(jīng)反復(fù)試算,本工程的分?jǐn)?shù)階階次α取0.68較為適宜.由圖4(a)可以看出,當(dāng)α=0.68時(shí),曲線與實(shí)測(cè)值總體上較為吻合;當(dāng)α=0.50,0.80時(shí),曲線與實(shí)測(cè)值存在明顯偏差.α越大,沉降值也越大,分?jǐn)?shù)階階次對(duì)沉降存在顯著影響.由圖4(b)可以看出,實(shí)測(cè)值與本文解析值較為吻合,且隨著深度的增加,深層土體沉降均逐漸增大,但距離隧道較遠(yuǎn)處,土體沉降逐漸減小至零.總體來(lái)說(shuō),通過(guò)與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的對(duì)比,驗(yàn)證了本文解析解的可靠性,對(duì)工程具有一定的參考價(jià)值.

(a) 地表

5 參數(shù)分析

為分析基于Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)Merchant流變模型的黏彈性軟土隧道誘發(fā)超孔壓消散和土體長(zhǎng)期固結(jié)沉降問題,對(duì)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)階次α和滲透比k1/ks進(jìn)行參數(shù)分析.隧道基本參數(shù)設(shè)置如下:h=15 m;r2=3.1 m;r1=2.75 m;γ=18 kN/m3;Eh=10 MPa;Ek=20 MPa;ηk=0.5 GPa·d;洞周初始孔隙孔壓力值P=30 kPa.

5.1 滲透比和分?jǐn)?shù)階階次對(duì)超孔隙水壓力的影響

為探究滲透比對(duì)超孔隙水壓消散的影響,選取分?jǐn)?shù)階階次α=0.5,對(duì)不同滲透比(k1/ks=0,0.001,0.01,0.1,1)進(jìn)行參數(shù)分析.圖5給出了不同滲透比影響下超孔壓在隧道拱頂處的超孔隙水壓力隨時(shí)間消散的對(duì)比圖.由圖可知,隨著時(shí)間的逐步推移,超孔隙水壓力在較短時(shí)間內(nèi)發(fā)生顯著消散;消散到約初始超孔隙水壓力的1/8時(shí),曲線減幅明顯放緩,后逐漸減小至零.此外,隨著襯砌與土體滲透比k1/ks的增大,該位置處超孔隙水壓開始消散的時(shí)間更早,對(duì)應(yīng)的超孔隙水壓力越小.當(dāng)k1/ks=0(完全不滲透)和k1/ks=0.001時(shí),超孔隙水壓力消散曲線基本一致,即當(dāng)襯砌與土體的滲透比足夠小時(shí),可以看作完全不滲透邊界.當(dāng)k1/ks=∞(完全滲透)和k1/ks=1時(shí),超孔隙水壓力消散曲線也基本一致,即當(dāng)襯砌與土體的滲透比大于1時(shí),可看作完全滲透邊界.

圖5 不同滲透比對(duì)拱頂處超孔隙水壓力消散的影響

為分析分?jǐn)?shù)階流變模型的階次對(duì)超孔隙水壓消散的影響,選取k1/ks=0.01，0.1,對(duì)不同分?jǐn)?shù)階階次(α=0.1，0.3，0.5，0.7，0.9)進(jìn)行參數(shù)分析.圖6給出了不同分?jǐn)?shù)階階次影響下超孔隙水壓隨時(shí)間消散對(duì)比圖.由圖可知,隨著時(shí)間的推移,超孔隙水壓力逐漸消散.在不同的分?jǐn)?shù)階階次影響下,超孔隙水壓隨時(shí)間消散曲線出現(xiàn)相互交錯(cuò)的現(xiàn)象.在超孔隙水壓消散初期(13 d之前),α越大,超孔隙水壓力消散越快,超孔隙水壓力越小;在超孔隙水壓消散后期(13 d之后),α越大,超孔隙水壓消散越慢,超孔隙水壓力越大.這一現(xiàn)象主要是由于分?jǐn)?shù)階黏壺元件的力學(xué)特性所引起的.α在0和1之間變化,對(duì)應(yīng)的受力特性在理想固體和理想流體之間變化.在超孔壓消散初期,變形率對(duì)有效應(yīng)力起主導(dǎo)作用,隨著α的增大,受力特性越接近于理想流體,力的大小受變形率影響增大,引起的土體有效應(yīng)力也增大,土體中超孔壓消散越快;反之,在超孔壓消散后期,飽和軟土的變形得到了充分發(fā)展,對(duì)土體有效應(yīng)力起主導(dǎo)作用,隨著α的減小,受力特性越接近理想固體,力的大小受變形影響更為明顯,引起的土體有效應(yīng)力增大,土體中的超孔壓消散越快.總體而言,在不同的消散階段,α對(duì)超孔隙水壓的消散特性不同.

(a) k1/ks=0.01

5.2 分?jǐn)?shù)階階次對(duì)地表沉降的影響

為探究分?jǐn)?shù)階Merchant流變模型中分?jǐn)?shù)階階次對(duì)地表沉降的影響,選取k1/ks=0.01,對(duì)不同分?jǐn)?shù)階階次(α=0.1，0.3，0.5，0.7，0.9)進(jìn)行參數(shù)分析.圖7給出了5種分?jǐn)?shù)階階次影響下的隧道軸線處的地表沉降及其速率對(duì)比圖.

由圖7(a)可知,隨著時(shí)間的推移,不同分?jǐn)?shù)階階次下的地表沉降曲線趨勢(shì)相同,均呈現(xiàn)出先陡后緩、最終趨向于一個(gè)定值的趨勢(shì),但最終沉降不同.α越大,土體固結(jié)過(guò)程越早完成.由圖7(b)可知,隨著時(shí)間的推移,不同分?jǐn)?shù)階階次的速率曲線趨勢(shì)相同,但在固結(jié)過(guò)程中曲線發(fā)生了交錯(cuò).在固結(jié)初期,α越大,沉降速率越大;而在固結(jié)后期,α越大,沉降速率越小,但最終都趨向于零.

(a) 地表沉降

6 結(jié)論

1) 采用基于Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的Merchant三元件黏彈性模型來(lái)模擬土體的流變性,考慮隧道襯砌的半滲透性,提出了黏彈性軟土中盾構(gòu)隧道滲漏誘發(fā)的土體孔隙水壓力消散和土體固結(jié)沉降的解析表達(dá)式.與工程算例進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證后發(fā)現(xiàn),本文解析結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)趨勢(shì)一致且接近,具有一定的工程實(shí)用意義.

2) 隨著時(shí)間的推移,超孔隙水壓力在較短時(shí)間內(nèi)顯著消散,當(dāng)消散到約初始值的1/8時(shí)減幅明顯放緩,后逐漸減小至零.隨著襯砌與土體滲透比k1/ks的增大,超孔隙水壓力開始消散的時(shí)間逐漸提前.當(dāng)k1/ks足夠小時(shí),可看作完全不滲透邊界;當(dāng)k1/ks>1時(shí),可看作完全滲透邊界.

3) 在不同的分?jǐn)?shù)階階次α影響下,超孔隙水壓力隨時(shí)間消散曲線出現(xiàn)相互交錯(cuò)的現(xiàn)象.在超孔壓消散初期,α越大,受力特性越接近理想流體,超孔壓消散越快;在超孔壓消散后期,飽和軟土的變形得到了充分發(fā)展,α越小,受力特性越接近理想固體,土體中的超孔壓消散越快.

4)分?jǐn)?shù)階階次α對(duì)土體固結(jié)沉降影響顯著.α越大,固結(jié)過(guò)程越快,完成固結(jié)時(shí)間越早.同時(shí),不同固結(jié)時(shí)期的沉降速率變化規(guī)律不同,α越大,固結(jié)前期沉降速率越大,但固結(jié)后期沉降速率越小.