邵勇

周末，寧寧做完作業(yè)后，正在家里百無(wú)聊賴地?cái)[弄花草。這時(shí)，寧寧接到了小明的電話。小明在電話里故作神秘地說(shuō)：“寧寧，我得到了一個(gè)奇怪又好玩的玩具，現(xiàn)在帶過(guò)去給你看看！”

放下電話，寧寧期待起了小明所說(shuō)的奇怪玩具：到底是什么樣的玩具呢？過(guò)了一會(huì)兒，小明就到了寧寧家門口，未見(jiàn)其人先聞其聲：“寧寧，快開門，我?guī)е婢邅?lái)了！”一進(jìn)門，小明就遞上來(lái)兩個(gè)四四方方的盒子，說(shuō)：“數(shù)字華容道來(lái)也。”還沒(méi)等寧寧看清楚玩具的細(xì)節(jié)，小明就快速地講了一大堆游戲規(guī)則，還讓寧寧和他進(jìn)行比賽，看誰(shuí)先完成游戲。

數(shù)字華容道的玩法是：通過(guò)移動(dòng)數(shù)字木塊，把混亂排列的數(shù)字?jǐn)[成從小到大的排列順序。

寧寧一邊回憶小明剛剛說(shuō)的游戲規(guī)則，一邊擺弄手中的華容道玩具。突然，寧寧手一滑，她手中的華容道就摔在了地上，里面的數(shù)字木塊都被摔出來(lái)了。小明眼疾手快，先把他手中的華容道塞到寧寧手里，再一把撈起地上的數(shù)字木塊，胡亂地塞回去。匆忙間，寧寧發(fā)現(xiàn)自己手中華容道的數(shù)字木塊排列順序和小明手中的并不一樣。

隨著小明的一聲“開始”，兩人快速滑動(dòng)著華容道里面的數(shù)字木塊。過(guò)了一會(huì)兒，寧寧率先完成了，卻發(fā)現(xiàn)小明還在搗鼓著手中的華容道。小明嘴里還念念有詞：“怎么8一直在7的前面，挪不過(guò)去呢？”寧寧幸災(zāi)樂(lè)禍地說(shuō)：“肯定是你剛剛亂塞的原因。”

按照從左至右、從上至下的順序看，小明的華容道結(jié)果為“12345687”，這并不是一個(gè)正確的結(jié)果。而寧寧的結(jié)果才是正確的。

百變逆序數(shù)

為什么小明和寧寧的華容道結(jié)果會(huì)不一樣呢？我們先研究一下華容道中蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)原理。下面兩幅圖分別是華容道中八個(gè)數(shù)字木塊的不同排列情況，（1）中的數(shù)字排列沒(méi)有規(guī)律，（2）中的數(shù)字排列看上去就整齊多了。

按照從左至右、從上至下的順序，（2）中的八個(gè)數(shù)字木塊排列相當(dāng)于“12345678”。那么，這個(gè)數(shù)字排列不存在逆序的情況。

逆序是指一個(gè)數(shù)字排列中存在前面的數(shù)字比后面的數(shù)字大的情況。比如在“3518”中，“3”比它后面的“1”大，所以，該數(shù)字排列存在逆序的情況。而“1358”就不存在逆序的情況。

逆序是指一個(gè)數(shù)字排列中存在前面的數(shù)字比后面的數(shù)字大的情況。比如在“3518”中，“3”比它后面的“1”大，所以，該數(shù)字排列存在逆序的情況。而“1358”就不存在逆序的情況。

逆序數(shù)是指一個(gè)排列中逆序的個(gè)數(shù)。比如，“321”的逆序數(shù)是3，因?yàn)椤?”比“2”大，“3”比“1”大，“2”比“1”大。排列“5392”的逆序數(shù)是4，因?yàn)椤?”比“3”大，“5”比“2”大，“3”比“2”大，“9”比“2”大。

下面我們來(lái)關(guān)注逆序數(shù)的奇偶性，并且研究華容道中一個(gè)數(shù)字木塊左右、上下移動(dòng)會(huì)對(duì)逆序數(shù)及其奇偶性產(chǎn)生什么影響。

圖1是數(shù)字華容道最終要得到的結(jié)果，它的逆序數(shù)是0，為偶數(shù)。如果我們把“8”左右移動(dòng)，則不影響總排列“12345678”的逆序數(shù)。而把一個(gè)數(shù)字木塊上下移動(dòng)，逆序數(shù)則會(huì)發(fā)生變化，但逆序數(shù)的奇偶性不變。

我們不妨實(shí)際操作一下。把圖1中的“6”向下移動(dòng)，這相當(dāng)于把“6”移到“7”和“8”之后，于是產(chǎn)生了兩個(gè)逆序：“76”和“86”，而“6”“7”“8”這三個(gè)數(shù)仍然在“1”“2”“3”“4”“5”之后。所以，總逆序數(shù)就是2，逆序數(shù)由0變?yōu)?，其奇偶性不變。

我們?cè)賮?lái)看一下圖2的情況。如果把“5”向下移動(dòng)，也就是把“5”移到“8”和“4”之后。那么，原來(lái)存在的逆序“54”消失，產(chǎn)生一個(gè)新的逆序“85”。至此，逆序數(shù)不變，其奇偶性也不變。

還有一種情形，如圖3所示。把“5”向下移，因?yàn)椤?”后面的兩個(gè)數(shù)“3”和“4”都比“5”小，所以原來(lái)的兩個(gè)逆序“53”和“54”都消失了，但逆序數(shù)的奇偶性仍然不變。

以上三種情況是全部可能的情況。向上移動(dòng)也類似?？傊蛏匣蛳蛳乱苿?dòng)數(shù)字木塊，相當(dāng)于把一個(gè)排列中的某一個(gè)數(shù)向前或向后移動(dòng)兩位，逆序數(shù)加2、減2或不變，即逆序數(shù)的奇偶性不變。所以，我們可以得到一個(gè)有趣的結(jié)論。

如果逆序數(shù)是偶數(shù)，那么，我們就可以通過(guò)移動(dòng)數(shù)字木塊，把混亂排列的結(jié)構(gòu)變換成數(shù)字按照從小到大的排列順序。而如果逆序數(shù)是奇數(shù)，那就沒(méi)辦法做到。

因此，我們可以確定，小明的華容道出現(xiàn)“12345687”的結(jié)果是因?yàn)槠涑跏嫉哪嫘驍?shù)為奇數(shù)，所以無(wú)法將華容道中的數(shù)字木塊還原成“12345678”的排列順序。

一起數(shù)一數(shù)

我們來(lái)數(shù)一數(shù)“37254816”的逆序數(shù)吧。最簡(jiǎn)單的方法是計(jì)算每個(gè)數(shù)后面有多少個(gè)比它小的數(shù)，這樣可以得到“37254816”的逆序數(shù)。

2+5+1+2+1+2+0+0=13

正像大多數(shù)人習(xí)慣使用右手，但仍然有一些人習(xí)慣使用左手一樣，計(jì)算逆序數(shù)的方法也有兩種。下面介紹另外一種計(jì)算逆序數(shù)的方法，即計(jì)算每個(gè)數(shù)前面比它大的數(shù)的個(gè)數(shù)。我們?nèi)匀豢梢杂?jì)算出“37254816”的逆序數(shù)。

0+0+2+1+2+0+6+2=13

一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)字華容道游戲，竟然蘊(yùn)含著這么有趣的數(shù)學(xué)思想。只要肯挖掘，生活中處處都有數(shù)學(xué)！

只要你認(rèn)真觀察，生活中的大小事物也會(huì)充滿數(shù)學(xué)的味道。不管是玩具，還是日常學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)一直都在我們身邊。趕緊掃描二維碼，關(guān)注“廣西期刊傳媒集團(tuán)”，和我們一起分享你的日常數(shù)學(xué)感悟吧。0B878496-FEA5-477D-8237-C9AEE759D08F