尹戀　王夢玭　丁玲芬

摘要：將軍飲馬模型是中學(xué)數(shù)學(xué)中具有代表性的幾何模型，一般用于幾何最值問題求解題型中.文章將討論兩動兩定將軍飲馬模型，并分析模型的原理和本質(zhì)，即利用多次軸對稱變換，將折線轉(zhuǎn)化為直線，再結(jié)合線段的基本性質(zhì)解決問題.通過對其應(yīng)用的理解和掌握，進(jìn)一步提升中學(xué)生的解題思維和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：將軍飲馬;模型;幾何;應(yīng)用

1前言

將軍飲馬模型實(shí)際上是基于一個古老的數(shù)學(xué)故事為背景的數(shù)學(xué)模型，唐朝詩人李頎所作的詩《古從軍行》中開頭兩句說“白日登上望烽火，黃昏飲馬傍交河”，在該句詩中就隱含了這個有趣的數(shù)學(xué)問題，詩句中將軍在觀望烽火之后從山腳下的某點(diǎn)出發(fā)，走到河邊飲馬后再到另一點(diǎn)宿營，問怎樣才能使將軍行駛的路程最短.在教育部編版（2013年）八年級上冊中也有關(guān)于以將軍飲馬為模型的“最短路徑問題”課題的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在生活實(shí)際問題的情境下，利用數(shù)學(xué)知識，建立數(shù)學(xué)模型，體會數(shù)學(xué)知識的實(shí)踐性和應(yīng)用性.許多學(xué)者對此進(jìn)行了研究。在文中，王利運(yùn)用數(shù)學(xué)課本中的軸對稱知識建立了最短路徑問題的幾個模型.在文中，張靜發(fā)現(xiàn)在近幾年的中考試題中，也常以此為原型，將問題背景換成角、菱形、圓等幾何圖形，求解最短路徑問題.學(xué)生在解決此類問題時，常常因不會構(gòu)造軸對稱模型而無從下手，于是在一次區(qū)教改組活動中，確定了課題“線段長度之和最短”，就這個問題進(jìn)行了深入研究.在文中，丁力對中學(xué)數(shù)學(xué)幾何最值問題加以探究，解讀基本模型并探究其典型問題，提出相應(yīng)的學(xué)習(xí)建議.在文中，徐宏在研究這些另類幾何最值問題時發(fā)現(xiàn)它們其實(shí)本質(zhì)是不變的，變的只是形式.在文中，李繼丹通過對將軍飲馬模型解法的探究和拓展應(yīng)用，在建立模型、完善模型、打破模型和再建新模型的過程中，讓學(xué)生不僅積累基本的數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn)，還可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力、應(yīng)用能力，加強(qiáng)他們的創(chuàng)新意識和探索精神.

2.兩定兩動型將軍飲馬模型

2.1創(chuàng)設(shè)情境

問題一將軍家和訓(xùn)練營地皆在一條筆直的河流和一塊矩形的草地之間，將軍家有一匹馬，現(xiàn)在將軍每天早上牽馬從家里出發(fā)，先到草地牧馬再到河邊飲馬，最后將馬牽到訓(xùn)練營地訓(xùn)練，其中河流和草地相連，請問怎樣走才能使將軍行駛的路徑最短.（河的寬度和草地寬度忽略不計）

問題二將軍家在一條筆直的河流和一塊矩形的草地之間，訓(xùn)練營地在該河流的另一側(cè)，現(xiàn)在將軍每天早上牽馬從家里出發(fā)，先到草地牧馬再到河邊飲馬，最后將馬牽到訓(xùn)練營地訓(xùn)練，其中河流和草地相連，請問怎樣走才能使將軍行駛的路徑最短.（河的寬度和草地寬度忽略不計）

2.2建立模型

⑴如圖2.1所示，以“角”為載體，在兩動一定型模型的基礎(chǔ)上“角”內(nèi)再增加一定點(diǎn)，求三條線段和的最小值.

⑵如圖2.2所示，以“角”為載體，在兩動一定型模型的基礎(chǔ)上“角”外再增加一定點(diǎn)，求三條線段和的最小值.

4結(jié)論

本文主要介紹了兩定兩動將軍飲馬模型原理，并對該模型的應(yīng)用進(jìn)行舉例加以說明.要解決問題，關(guān)鍵是透徹理解模型的原理和本質(zhì)，即進(jìn)行多次軸對稱變換，將折線轉(zhuǎn)化為直線，再結(jié)合線段的基本性質(zhì)解決問題.學(xué)習(xí)將軍飲馬模型可以為后續(xù)學(xué)習(xí)造橋選址等實(shí)際應(yīng)用問題打下良好的理論基礎(chǔ)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，幫助學(xué)生獲得解決實(shí)際問題的能力.事實(shí)上，將軍飲馬的模型和拓展還有很多，可進(jìn)一步加以研究.

參考文獻(xiàn)：

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[6]李繼丹.研究解法拓展應(yīng)用[J].考試周刊，2018，82：67-68.

基金項(xiàng)目：懷化學(xué)院2021年教學(xué)改革項(xiàng)目，項(xiàng)目名稱：《高等數(shù)學(xué)》混合式教學(xué)模式的探索與研究。項(xiàng)目編號2020011。

作者簡介：

尹戀（1999-）女，漢族，湖南邵陽人，懷化學(xué)院;

王夢玭*（1992-）女，漢族，河南信陽人，助教，研究方向：微分方程;

丁玲芬（1983-）女，漢族，浙江湖州人，中教一級，研究方向：微分方程。

通訊作者：王夢玭