王勝軍， 韓亞洲

1.青海師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，西寧 810008；2.中國(guó)計(jì)量大學(xué) 理學(xué)院，杭州 310018

(1)

而且當(dāng)2≤p

本文使用類似于文獻(xiàn)[8-9]的方法，針對(duì)廣義Heisenberg-Greinerp-退化橢圓算子，利用散度定理引入一類性質(zhì)恰當(dāng)?shù)南蛄繄?chǎng)，結(jié)合逼近的思想，推廣了(1)式，得到了廣義Heisenberg-Greinerp-退化橢圓算子的一類帶有余項(xiàng)的含權(quán)Hardy不等式，進(jìn)一步給出了最佳常數(shù)的證明.這個(gè)結(jié)果包含了已有的相關(guān)結(jié)論.

1 預(yù)備知識(shí)

廣義Heisenberg-Greinerp-退化橢圓算子作為一類具有高奇性的平方和退化橢圓算子[10]，被越來越多的學(xué)者所關(guān)注，并得到了許多重要的成果[11].其構(gòu)成向量場(chǎng)(見下文)Xj，Yj(j=1，2，…，n)在k>1時(shí)不滿足H?rmander有限秩條件，從而它的亞橢圓性無法由此導(dǎo)出，增加了研究的難度[12-13].以下給出廣義Heisenberg-Greinerp-退化橢圓算子的基本知識(shí).

廣義Heisenberg-Greinerp-退化橢圓算子形為

Lpu=divL(|Lu|p-2Lu)

(2)

設(shè)ξ=(z，t)=(x，y，t)∈R2n+1，相應(yīng)于(2)式中Lp的一個(gè)自然伸縮為

δτ(z，t)=(τz，τ2kt)τ>0

(3)

與伸縮(3)式相應(yīng)的齊次維數(shù)是對(duì)應(yīng)的齊次維數(shù)Q=2n+2k.由(3)式誘導(dǎo)的一個(gè)擬距離為

(4)

通過(4)式直接計(jì)算知道

(5)

(6)

另外，定義中心在{0}?R2n+1，半徑為R的擬開球?yàn)锽R(ξ)={ξ∈R2n+1|d(ξ)

下的完備化.

2 兩個(gè)重要引理

為證明(23)式中常數(shù)的最佳性，在這部分給出兩個(gè)重要引理.首先定義測(cè)試函數(shù)及相關(guān)函數(shù).

(7)

對(duì)于一個(gè)任意小的ε>0，定義下列函數(shù)

Vε(ξ)=φ(ξ)ωε

(8)

引理1對(duì)于ε>0，以下式子成立：

(9)

容易知道

(10)

通過(10)式可以知道(9)式中

(11)

容易知道

(12)

設(shè)Ωη={ξ∈Ω|d(ξ)>η，η>0}，有

再利用(12)式，得到

(13)

又由于

(14)

其中通過(6)式與(7)式知道

從而

因此，結(jié)合(13)式和(14)式有

(γ+1)Jγ(ε)=pεJγ+1(ε)+Oε(1)

利用極坐標(biāo)變換(6)式，有

(15)

證已知LVε(ξ)=φ(ξ)Lωε+ωεLφ.及

|a+b|p≤|a|p+cp(|a|p-1|b|+|b|p)，a，b∈R2n，p>1

(16)

利用(16)式，有

利用

得到

(17)

結(jié)合(17)式有

(18)

其中

設(shè)

有ζ

這樣

ΠB≤ΠB1+ΠB2+ΠB3

(19)

其中

以下證明

(20)

利用不等式

(a-b)3≤(|a|+|b|)3≤c(|a|3+|b|3)

有

ΠB3≤cε3Jpθ(ε)+cJpθ-3(ε)ε>0

由1-1后，再次取γ=pθ-2>-1，有

(21)

3 一類帶有余項(xiàng)的含權(quán)Hardy不等式

(22)

特別地，在(22)式中取a=b=0，有下列帶有余項(xiàng)的權(quán)Hardy不等式

(23)

證(22)，(23)式的證明見文獻(xiàn)[17]中第三部分定理1的證明.

以下證明(23)式中常數(shù)的最佳性.

綜合1)，2)，(23)式中常數(shù)的最佳性得證.

注1在(23)式中，取k=1，α=p，β=p時(shí)，得到(1)式.