時統(tǒng)業(yè)

(海軍指揮學院，江蘇 南京 211800)

0 引言

設(shè)f是[a，b]上的可微函數(shù)，且存在常數(shù)M，使得對任意x∈[a,b]有|f′(x)|≤M，則有下面Iyengar積分不等式[1]：

(1)

許多學者給出了式(1)的帶有擾動的推廣，也是在二階導數(shù)有界也即|f″|≤M的情況下Iyengar不等式的推廣．記

參考文獻[3]建立了優(yōu)于式(1)的不等式

(2)

(3)

參考文獻[5]還是用引入?yún)?shù)求最值的方法，建立了強于式(3)的如下不等式

參考文獻[6]給出式(1)的另一個帶有擾動的推廣

(4)

其中

參考文獻[7]通過引入?yún)?shù)求最值，用解析方法給出式(4)的新的證明．

關(guān)于Iyengar不等式更多的改進和推廣，見參考文獻[8]．本文的目的是通過建立恒等式將式(1)推廣到量子積分，還要仿照參考文獻[7]證明不等式(4)的方法，將不等式(4)推廣到量子積分．

1 基本概念和引理

在本節(jié)，介紹一下本文涉及的量子微積分的基本知識和證明本文主要結(jié)果所需的引理．

定義1[9-10]設(shè)f是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，則f在點x∈(a,b]處的q導數(shù)定義為

如果f在[a,b]上每個點處的q導數(shù)都存在，則稱f是[a,b]上的q可微函數(shù)．

定義2[9-10]設(shè)f是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，t∈[a,b]，則f在[a,t]上的q積分定義為

設(shè)c∈(a,t)，則定義

定義1和定義2分別是[0,b]上的q-Jackson導數(shù)和q-Jackson積分[11]的概念的推廣．

定義3[9]設(shè)f是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，對于任意x∈(a,b]，稱

引理1[9-10]設(shè)f是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，則對于任意a≤c

引理2[9](q積分的分部積分公式) 設(shè)f,g在[a,b]上q可微，則有

另一方面，對應于q導數(shù)和q積分，參考文獻[12]給出qb導數(shù)和qb積分的定義．

定義4[12]設(shè)f是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，則f在點x∈[a,b)處的qb導數(shù)定義為

如果f在[a,b]上每個點處的qb導數(shù)都存在，則稱f是[a,b]上的qb可微函數(shù)．

定義5 設(shè)f是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，對于任意x∈[a,b)，稱

定義6[12]設(shè)f是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，t∈[a,b]，則f在[t,b]上的qb積分定義為

設(shè)c∈(t,b)，則定義

一般是不成立的．

對于[a,b]上qb可微函數(shù)f,g，有qb積分的分部積分公式

引理3 設(shè)f在[a,b]上q可微，則有

(5)

證明 利用q積分的分部積分法(引理2)得

引理4 設(shè)f在[a,b]上qb可微，則有

(6)

證明 利用qb分部積分法可證．證明類似于引理3的證明，這里略去過程．

利用q分部積分法和qb分部積分法還可以證明下面的引理5和引理6，限于篇幅，這里省略過程．

引理5 設(shè)f在[a,b]上q可微，則有

引理6 設(shè)f在[a,b]上qb可微，則有

引理7 設(shè)f在[a,b]上q可微，則對任意x∈(a,b]有

證明 利用引理1有

引理8 設(shè)f在[a,b]上qb可微，則對任意x∈[a,b)有

證明 與定理7的證明類似，這里略去過程．

有關(guān)q積分和qb積分不等式的結(jié)果還可參閱文獻[13-17]．

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)f在[a,b]上q可微和qb可微，且

則有

(7)

其中

證明 將引理3中的式(5)與引理4中的式(6)相加得

根據(jù)q積分的定義得

(9)

類似可得

(10)

綜合式(8)至式(10)，則式(7)得證．

證明 由引理5有

證明 由引理6有

定理4 設(shè)f在[a,b]上q可微和qb可微，且

則有

(11)

其中

證明 利用引理7和引理8有

故式(11)成立．

定理5 設(shè)f在[a,b]上q可微和qb可微，且

(12)

其中

證明 由引理7和引理8有

τ1-τ2=σ(qk-μ)，

其中

在引理7中取x=b，在引理8中取x=a，得

(13)

(14)

由假設(shè)有σ>0。又由式(14)知μ≥0。又由式(13)有

故μ∈[0，1]．當μ=0時，令K=∞．當μ=1時，令K=0．當μ∈(0,1)時，令K=[logqμ]，則當0≤k≤K時，qk≥μ，τ1≥τ2；當k≥K+1時，qk<μ，τ1≤τ2．

(15)

其中

由logqμ-1

所以有

(16)

(17)

其中

T=2[f(b)-f(a)]-(b-a)[adqf(a)+bDqf(b)]，

(18)

其中

經(jīng)簡單計算可得

利用這些結(jié)果得

U1=(1-q)T+qθ2(b-a)[adqf(a)-bDqf(b)]

(19)

(20)

綜合式(15)、式(16)、式(18)至式(20)，得

(21)

對(-f)應用已證結(jié)果，得

(22)

綜合式(21)和式(22)，則式(12)得證．

定理6 設(shè)條件同定理5，則有

(23)

其中θ2同定理5．

證明 從qb積分的定義出發(fā)，利用引理7和引理8可證．證明類似于定理5，故略去過程．

注2 定理5和定理6是不等式(4)在量子積分中的推廣，令q→1，則由式(12)和式(23)得到式(4)．