趙巖龍， 任傳杰, 馮智， 祝宏平， 米翔， 尹俊軒

(1.中國石油大學(北京)克拉瑪依校區(qū)石油學院， 克拉瑪依 834000； 2. 中國石油大學(北京)石油工程學院， 北京 102249;3. 中國石油天然氣股份有限公司新疆油田分公司石西油田作業(yè)區(qū)， 克拉瑪依 834000)

目前，油氣勘探領域不斷向更加深部的復雜地層進發(fā)，泥漿密度窗口通常較窄，在鉆進過程中容易產生“卡、塌、漏、噴”等現(xiàn)象[1-2]，準確計算井筒波動壓力對保障鉆井作業(yè)安全具有重要意義。1977年，Lubsinki等[3]首次提出鉆井流體的流動過程是瞬時變化的，從此開啟波動壓力瞬態(tài)計算的序幕。隨后國外學者針對瞬態(tài)波動壓力的求解與計算開展了大量研究[4-6]。國內，鐘兵等[7]采用混合隱式特征線法對瞬態(tài)壓力波動壓力控制方程組進行數(shù)值求解，計算精度及速度得到了進一步提高。周開吉等[8]通過對瞬態(tài)波動壓力敏感因子分析，提出一種新的預測模型。樊洪海等[9]基于鉆井流體不穩(wěn)定流動為條件，建立了井筒波動壓力預測模型。韓付鑫[10]基于流體流動為一元流動，建立了井筒瞬態(tài)波動壓力的計算模型。周號博[11]針對控壓鉆井氣侵過程進行分析，建立了井筒氣液兩相流模型，并對井筒回壓進行求解。張智等[12]基于水錘效應理論，建立了高產氣井瞬時關井過程的井筒瞬變流數(shù)學模型。以上模型均未對起下鉆過程中產生的井筒波動壓力進行詳細的分析。由于起下鉆過程中產生的瞬態(tài)波動壓力對于井筒安全具有重要的作用，亟須開展相關研究。

鉆井起下鉆過程中井筒內產生的波動壓力不可忽略，在進行起下鉆作業(yè)時，井筒內的流體將由靜止或穩(wěn)定流的狀態(tài)過渡到不穩(wěn)定流動狀態(tài)，此時，井筒流道內各點流體的流速、鉆井液的結構力、流道的流通狀態(tài)、井筒壓力都隨之發(fā)生變化[13-16]。現(xiàn)針對起下鉆過程中井筒波動壓力，考慮流體與管柱的彈性對壓力波傳播的影響，開展井筒瞬態(tài)波動壓力計算與影響因素分析，對現(xiàn)場起下鉆作業(yè)具有指導意義。

1 瞬態(tài)波動壓力數(shù)學物理模型建立

1.1 瞬態(tài)波動壓力物理模型

可將鉆井井筒流動系統(tǒng)劃分為3個流道：①從管柱底部至井口的環(huán)空流道，記編號為Ⅰ，流道內流體流量為Q1，壓力為p1；②從管柱底部至井口的管柱內部圓形流道，記編號為Ⅱ，流道內流體流量為Q2，壓力為p2；③從管柱底部到井底的圓形井底流道，記編號為Ⅲ，流道內流體流量為Q3，壓力為p3。流道物理模型結果如圖1所示。

圖1 井內流道分析示意圖Fig.1 Schematic diagram of flow channel analysis in the well

1.2 瞬態(tài)波動壓力數(shù)學模型

在建立瞬態(tài)波動壓力數(shù)學模型時，基于以下基本假設。

(1)將鉆井流體在流通通道中的三維流動視為一維不穩(wěn)定流動。

(2)流道內的流體和井筒為線彈性的，所受應力與應變服從正相關。

(3)忽略已下套管處固井水泥和地層對套管彈性的影響。

1.2.1 連續(xù)性方程

在井筒流道中，取任意長度為dz的微元控制體，控制體橫斷面分別為1-1和2-2，如圖2所示；鉆井流體從斷面1-1流入，經過控制體，從斷面2-2流出，控制體長度為dz，設過水斷面A和鉆井流體密度ρ是時間和空間的函數(shù)，即A=A(z，t)、ρ=ρ(z，t)，斷面1-1處面積設為A，流體的密度為ρ，流速為v。

dt時間段內，控制體內的質量變化量應等于流入與流出控制體的質量差，根據(jù)質量守恒定律，可得連續(xù)性方程為

(1)

式(1)中：A為斷面截面積，m2；ρ為流體密度，kg/m3；ν為流體速度，m/s。

由式(1)及A=A(z,t)、ρ=ρ(z,t),可得

(2)

圖2 連續(xù)性方程控制體示意圖Fig.2 Schematic diagram of the control body of the continuity equation

(3)

(4)

因為壓力p是井筒空間位置z和時間t的函數(shù)，即p=p(t,z)，將p對時間t的全微分形式代入式(2)并兩邊同時除以(α+β)可得

(5)

壓縮系數(shù)與壓力波速之間的關系[15]為

(6)

式(6)中：c為壓力波傳播速度，m/s。

將埃利維(Allievi)定理dp=ρcv0代入式(5)可得

(7)

式(7)中：z為軸向位置，m；t為時間，s。

1.2.2 動力方程

在水力系統(tǒng)中任意位置取一長為dz的微元控制體，流體從斷面1-1流入控制體，經斷面2-2流出。其中，流道橫截面積A和流體壓力p是空間位置(z)和時間(t)的函數(shù)，即A=A(z,t)，p=p(z,t)，如圖3所示。

對微元控制體在z方向上進行受力分析。

記v為沿著z方向的流速，針對不穩(wěn)定流，根據(jù)牛頓第二定律∑F=ma，可得單位質量流體的動量方程為

(8)

圖3 流道內流體微元控制體示意圖Fig.3 Schematic diagram of the fluid micro-element control body in the flow channel

(9)

2 起下鉆時井筒波動壓力求解

為方便后續(xù)計算，用測壓管水頭壓頭H替代壓力p，代入瞬態(tài)波動壓力連續(xù)性方程(7)則有

(10)

因此，起下鉆時井筒瞬態(tài)波動壓力的連續(xù)性方程為

(11)

式(11)中：v為流體的速度，m/s；c為壓力波傳播速度，m/s。

(12)

式(12)中：f為范寧摩阻系數(shù)；D為管徑，m；τ為壁面切應力，Pa。

2.1 特征線法求解

對開關泵時瞬態(tài)井筒波動壓力控制方程-連續(xù)性方程[式(11)]和動力方程[式(12)]進行變形可得

(13)

(14)

引入系數(shù)λ對式(13)和式(14)進行線性化可得

(15)

由多元微分法則可知，測壓水頭和流速對時間的全導數(shù)為

(16)

(17)

令

(18)

則式(15)為

(19)

對式(18)進行求解，可得

特征式化轉換成常微分方程為

(21)

分別用向前特征線C+和向后特征線C-表示為

(22)

(23)

利用有限差分對上述方程進行求解，首先將時間t和空間z進行離散化處理，時間t被劃分成若干個Δt，空間z被劃分成若干個Δz，且Δz和Δt滿足dz/dt=c，此時就可得到一個關于時間和空間的z-t平面網(wǎng)格[12,18]。平面上的任意點的壓頭H和速度v具有唯一值。將R看做原點，過R作向前特征線，將S看作終點，過R作向后特征線，兩條曲線相交于點W，如圖4所示。

圖4 z-t網(wǎng)格示意圖Fig.4 Schematic diagram of z-t grid

式(22)和式(23)可化為

(24)

(25)

(26)

(27)

式中：HW為t+Δt時刻W點的壓頭；HR為t時刻R點的壓頭；HS為t時刻S點的壓頭；vW為t+Δt時刻W點的流速；vR為t時刻R點的流速；vS為t時刻S點的流速；zW為t+Δt時刻W點的位置；zR為t時刻R點的位置；zS為t時刻S點的位置。

由于v與z的函數(shù)關系未知，因此對其作近似處理，近似處理結果為

(28)

式(24)和式(25)沿向前特征線C+和向后特征線C-可表示為

(29)

(30)

聯(lián)立式(29)、式(30)可得HW和vW。

2.2 定解條件

由于井筒瞬態(tài)波動壓力方程為偏微分方程，在求解過程中由于沒有明確的解析解，故需給定初始條件、邊界條件進行數(shù)值求解。根據(jù)現(xiàn)場實際工作條件，在起下鉆過程中，可將流道視為在關泵狀態(tài)下的堵口管。

初始時刻，井筒環(huán)空中的鉆井液流量即為由于鉆井液黏附鉆桿運動所產生的流量。若不計大氣壓力，則井筒環(huán)空流道上邊界壓力為0，則在任意時刻井筒內的上邊界條件為

(31)

3 實例計算及影響因素分析

3.1 模型驗證

1974年Clark等[19]針對Utah一口井的下鉆過程進行波動壓力數(shù)據(jù)測試。該井井眼尺寸及鉆井液物理屬性如表1所示。為驗證瞬態(tài)波動壓力模型的準確性與適用性，采用Clark實驗數(shù)據(jù)對該模型進行瞬態(tài)波動壓力和穩(wěn)態(tài)壓力波動計算并與現(xiàn)場實測數(shù)據(jù)進行對比驗證。

Clark實驗模型中，井深4 654 m，下入長度為3 508 m直徑為3-1/2 in的鉆桿(1 in=0.025 4 m)、925 m直徑為2-7/8 in的鉆桿以及146 m直徑為3-1/8 in的鉆鋌。井筒充滿鉆井液，鉆井液采用賓漢流體，現(xiàn)計算套管鞋處井筒的波動壓力。該井下鉆過程中，不同時刻鉆桿的運行速度如圖5所示。

表1 井眼尺寸及鉆井液物理特性Table 1 Wellbore size and physical properties of drilling fluid

針對該井在下鉆過程中，套管鞋處的波動壓力分別采用穩(wěn)態(tài)波動壓力和瞬態(tài)波動壓力模型進行求解，結果如圖6所示。套管鞋處穩(wěn)態(tài)波動壓力的最大值發(fā)生在11.30 s時，最大值為5.038 MPa；套管鞋處瞬態(tài)波動壓力的最大值發(fā)生在11.30 s時，最大值為5.787 MPa。

由于鉆桿速度發(fā)生變化而產生的波動壓力需通過鉆井液介質傳遞到套管鞋處，導致測量的鉆桿速度計算出的流體的速度并非此時刻的真實流速。因此，計算理論值與實測值之間較大的時間滯后性是由于測量速度所引起的流體的流速變化存在時間滯后。

計算結果與實際測量值趨勢基本相同，瞬態(tài)波動壓力計算結果最大值誤差小于5%；瞬態(tài)波動壓力的值相對于穩(wěn)態(tài)波動壓力的值精確度更高，因此在實際操作過程中，根據(jù)瞬態(tài)波動壓力的計算結果采用相關技術措施更能保證井筒的安全性能。

圖5 鉆桿運行速度Fig.5 Drill pipe operating speed

圖6 Clark實驗中壓力波動理論值與實測值對比圖Fig.6 Comparison of theoretical and measured pressure fluctuations in Clark experiment

3.2 敏感性分析

當鉆桿以不同的速度進行下鉆作業(yè)時，不同時刻的鉆桿運行速度如圖7所示；當鉆桿分別以v1、v2和v3速度進行下鉆時，套管鞋處的井筒瞬態(tài)波動壓力結果如圖8所示。

由圖8可知，隨著鉆桿運動速度的增大，套管鞋處的井筒波動壓力也隨之增加。由于鉆桿運行速度增大，導致井筒環(huán)空中流體的流速也隨之增加，因此井筒環(huán)空中摩阻增大，進而環(huán)空中的壓力產生更加劇烈的變化，導致套管鞋處的井筒瞬態(tài)波動壓力增大。對于起下鉆過程中，應當采取適當?shù)拇胧?，盡可能減小起下鉆的速度，以防止由于波動壓力過大對儲層及復雜地層產生破壞。

不同的鉆井液密度對于井筒環(huán)空的波動壓力具有同樣重要的意義。當在下鉆過程中，井筒內的鉆井液密度分別為1 679、1 879和2 079 kg/m3時，套管鞋處的波動壓力分布如圖9所示。隨著鉆井液密度的增大，瞬態(tài)波動壓力也隨之增大。因此，在保證井筒安全的前提下，可以考慮通過降低鉆井液密度以減小環(huán)空中瞬態(tài)波動壓力的影響。

圖7 不同鉆桿運行速度圖Fig.7 Diagrams of operating speed of different drill pipes

圖8 鉆桿運行速度對瞬態(tài)波動壓力影響曲線Fig.8 Curve of influence of drill pipe operating speed on transient fluctuating pressure

圖9 鉆井液密度對瞬態(tài)波動壓力影響曲線Fig.9 Curve of influence of drilling fluid density on transient fluctuating pressure

5 結論

(1)基于流場流道分析，建立井筒環(huán)空瞬態(tài)波動壓力計算模型，并采用特征線法進行數(shù)值求解，利用該模型可得到更加精確的環(huán)空波動壓力值及波動壓力的時間分布特征。

(2)鉆井流體及井筒流道均具有可壓縮性，壓力波在傳播過程中，以彈性波的形式在井筒流道內進行傳播；隨著鉆桿運行速度的增加，環(huán)空中瞬態(tài)波動壓力增加。

(3)現(xiàn)場鉆井作業(yè)過程中，在保證鉆井安全的前提下，可通過降低鉆井液密度、減小起下鉆速度以減小瞬態(tài)波動壓力的影響。