范晉偉 劉會普 張理想 李偉華

（①北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京 100124；②北京第二機(jī)床廠有限公司，北京 102444）

數(shù)控磨床作為集機(jī)、電、液和光于一體的現(xiàn)代化制造裝備，主要應(yīng)用于航空、航天和汽車等高精密工件的加工上，由于本身集成的復(fù)雜性，就會對其可靠性提出較高的要求[1]。在機(jī)電產(chǎn)品設(shè)計中，可靠性的分配與優(yōu)化是整機(jī)可靠性設(shè)計的重要工作。

國內(nèi)外學(xué)者對可靠性分配方法進(jìn)行了大量的研究工作：陳一凡等人基于元動作理論建立了元動作與數(shù)控機(jī)床可靠性的映射關(guān)系，并利用sobol 法進(jìn)行了求解[2]。王琪瑞基于AGREE 分配法對四路能源模塊功率合成系統(tǒng)進(jìn)行了可靠性分配和優(yōu)化[3]。程強(qiáng)等人采用直覺梯形模糊數(shù)和層次分析法，提出了一種新的數(shù)控機(jī)床可靠性分配方法[4]。武保林等人使用遺傳算法對電動飛機(jī)手操作系統(tǒng)進(jìn)行了可靠性分配[5]。以上可靠性分配方法為數(shù)控磨床可靠性分配方法提供了參考，但目前可靠性分配方法依舊存在以下關(guān)鍵問題需要進(jìn)一步探究：

（1）上述方法多依賴專家意見的分配方法，主觀性過強(qiáng)。

（2）遺傳算法雖然能較好地解決可靠性優(yōu)化分配問題，但存在高維問題收斂速度慢甚至很難收斂的缺點。

因此，文章提出了一種改進(jìn)粒子群算法，對數(shù)控磨床可靠度-成本非線性規(guī)劃模型進(jìn)行最優(yōu)求解，實現(xiàn)了數(shù)控磨床可靠性的合理分配與優(yōu)化。

1 基本理論

1.1 粒子群算法

粒子群算法（particle swarm optimization）源于對鳥群捕食行為的研究，其基本思想是通過群體中個體之間的協(xié)作和信息共享來尋求最優(yōu)解[6]。

粒子群算法通過設(shè)計一種無質(zhì)量的粒子來模擬鳥群中的鳥，粒子僅具有兩個屬性：速度v和位置x，速度代表移動的快慢，位置代表移動的方向。每個粒子在搜索空間中單獨的搜尋最優(yōu)解，并將其記為當(dāng)前個體極值，并將個體極值與整個粒子群里的其他粒子共享，找到最優(yōu)的個體極值作為整個粒子群的當(dāng)前全局最優(yōu)解，粒子群中的所有粒子根據(jù)自己找到的當(dāng)前個體極值和整個粒子群共享的當(dāng)前全局最優(yōu)解來調(diào)整自我速度和位置。速度v和位置x更新公式如下[7]。

式中：vi為第i個粒子的速度；ω為慣性因子，取值范圍[0,1],決定全局尋優(yōu)能力的強(qiáng)弱；c1、c2為學(xué)習(xí)因子，通常取0.5；r1、r2為 [0,1] 的隨機(jī)數(shù)；pbesti為第i個粒子本身經(jīng)歷過的最優(yōu)位置；gbest為粒子群經(jīng)歷過的最優(yōu)位置；xi為第i個粒子的位置。

事實上，式（1）的第一部分為“慣性項”，即粒子有維持自我之前運動的趨勢；第二部分為“自我認(rèn)知項”，即粒子有向自我歷史最佳位置方向逼近的趨勢；第三部分為“群體認(rèn)知項”，即粒子有向群體歷史最佳位置方向逼近的趨勢。式（2）表示在第i次尋優(yōu)時的位置更替。更新過程如圖1所示。

圖1 粒子群算法位置更新圖

1.2 改進(jìn)粒子群算法

在工程實踐中，約束優(yōu)化問題最為常見，通常表示為如下形式。

式中：f(x)為 目標(biāo)函數(shù)，一般求其最小值，A·x≤b和lb≤x≤ub為線性不等式約束，Aeq·x=beq為線性等式約束，c(x)≤0為 非線性不等式約束，ceq(x)=0為非線性等式約束。

由粒子群算法的更新過程可知，其更新過程并未涉及約束條件，這使得傳統(tǒng)粒子群算法并不能很好解決上述約束優(yōu)化問題。因此，文章結(jié)合懲罰函數(shù)法，提出了一種改進(jìn)粒子群算法，其流程圖如圖2 所示。

圖2 改進(jìn)粒子群算法流程圖

2 可靠度-成本函數(shù)模型

2.1 現(xiàn)有可靠度-成本函數(shù)模型

（1）對數(shù)模型

有些學(xué)者將系統(tǒng)可靠度與成本之間的關(guān)系歸納為對數(shù)關(guān)系[8-10]。

式中：Ci為子系統(tǒng)i的成本，Ri為子系統(tǒng)i的可靠度，βi為子系統(tǒng)i的初始成本，αi為子系統(tǒng)i的結(jié)構(gòu)復(fù)雜度，取值區(qū)間為（0，1）。

由圖3 可以看出：在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜度不變的情況下，隨著可靠度的增長，實際成本呈非線性增長。在可靠性不變的情況下，隨著結(jié)構(gòu)復(fù)雜度的增大，實際成本呈減小趨勢，這與實際情況是不符的。

圖3 對數(shù)模型可靠度-成本圖

（2）冪函數(shù)模型

冪函數(shù)模型公式如下[11]。

式中：Ki和 αi為與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的常數(shù)，由于這兩個參數(shù)的確定需要長期的經(jīng)驗積累，獲取較為困難，且該方法缺乏通用性，故不考慮該方法確定數(shù)控磨床的成本模型。

（3）指數(shù)模型

指數(shù)模型公式如下[12]。

式中：fi為子系統(tǒng)i的可行度，取值區(qū)間(0,1)，其值越大，代表改進(jìn)該系統(tǒng)可靠度對提升整機(jī)可靠度的可行性越大；Ri,min為子系統(tǒng)i在數(shù)控磨床工作一段時間后，根據(jù)故障間隔時間分布模型求解出的現(xiàn)有可靠度；Ri,max為在現(xiàn)有技術(shù)條件下，系統(tǒng)能達(dá)到的最大可靠度。

2.2 改進(jìn)可靠度-成本函數(shù)模型

根據(jù)可靠性分配的特點，恰當(dāng)改進(jìn)成本函數(shù)可以描述各種影響因素與成本之間的關(guān)系，在可靠性分配中體現(xiàn)各種因素的影響[13]。因此，結(jié)合現(xiàn)有函數(shù)模型，引入敏感度因子si對可靠度-成本函數(shù)模型進(jìn)行改進(jìn)

式中：si越大，代表整機(jī)可靠度的變化對第i個子系統(tǒng)可靠度的變化越敏感；fi為子系統(tǒng)i的可行度，取值區(qū)間（0,1）；αi為子系統(tǒng)i的結(jié)構(gòu)復(fù)雜度；βi為子系統(tǒng)i的初始成本；Ri,min、Ri,max分別為子系統(tǒng)i可靠度的上下限；Rs(t)為 數(shù)控磨床整機(jī)的可靠度，Ri(t)為子系統(tǒng)i的可靠度。

圖4 描繪的為不同敏感度因子si對應(yīng)的圖像，從圖中可以看出：在可靠度較低的情況下（R＜0.65），敏感度因子的差異對實際成本的影響很?。浑S著可靠度的增長，實際成本呈非線性增長，且在可靠度增長后期，圖像斜率明顯增加，即實際成本激增，符合實際工程情況。

圖4 改進(jìn)可靠度-成本模型圖

3 實例分析

3.1 數(shù)控磨床可靠性分配模型

建立整機(jī)的可靠度分配模型之前首先需要對各子系統(tǒng)進(jìn)行描述，便于確定各子系統(tǒng)之間的關(guān)系。文章根據(jù)數(shù)控磨床的結(jié)構(gòu)特點、磨床生產(chǎn)廠家的共識及磨床在設(shè)計、制造和外購?fù)鈪f(xié)時的功能將數(shù)控磨床分為9 個子系統(tǒng)，如表1 所示，以此為基礎(chǔ)建立了數(shù)控磨床工作時的連接框圖，如圖5 所示。

圖5 數(shù)控磨床子系統(tǒng)工作連接圖

表1 數(shù)控磨床子系統(tǒng)主要零部件表

從圖5 中可以看出，數(shù)控磨床9 個子系統(tǒng)之間多為串聯(lián)關(guān)系，事實上，數(shù)控磨床作為一個復(fù)雜的電氣液系統(tǒng)，許多學(xué)者把數(shù)控磨床各子系統(tǒng)之間歸納為串聯(lián)關(guān)系[14-16]，按照表1 中順序?qū)⒏髯酉到y(tǒng)編號為1～9，設(shè)Ri為第i個子系統(tǒng)的可靠度，結(jié)合子系統(tǒng)串聯(lián)關(guān)系，則數(shù)控磨床整機(jī)的可靠度Rs可以表示為

以成本最小為目標(biāo)函數(shù)，建立可靠性分配模型，得

3.2 改進(jìn)粒子群算法求解

采用MATLAB 對改進(jìn)粒子群算法對數(shù)控磨床可靠性分配模型進(jìn)行求解，算法中初始個體數(shù)為500，最大迭代次數(shù)為200，慣性因子取0.8，自我學(xué)習(xí)因子和群體學(xué)習(xí)因子均取0.5，各子系統(tǒng)可靠度參數(shù)及分配結(jié)果如表2 所示。

表2 數(shù)控磨床可靠度分配最優(yōu)解

圖6 為改進(jìn)粒子群算法求解的收斂過程，從圖像中可以看出，在迭代次數(shù)為37 左右時，算法已經(jīng)趨于最優(yōu)解41.047，迭代速度理想。

圖6 改進(jìn)粒子群算法收斂曲線

3.3 對比

為比較改進(jìn)粒子群算法與遺傳算法的優(yōu)劣，將本文的結(jié)果與文獻(xiàn)[17]對比，對比結(jié)果如表3 所示。

從表3 可靠度角度來看，在1 000 h 時，數(shù)控磨床整機(jī)系統(tǒng)可靠度現(xiàn)有水平為0.072 9，利用遺傳算法優(yōu)化后整機(jī)系統(tǒng)可靠度為0.183 4，以該值為設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)，利用改進(jìn)粒子群算法優(yōu)化：從成本角度來看，數(shù)控磨床整機(jī)成本現(xiàn)有水平為55.17 萬元，利用遺傳算法使整機(jī)成本降為42.901 萬元，降幅約為22.24%，利用改進(jìn)粒子群算法使整機(jī)成本降為41.047 萬元，降幅約為25.60%，優(yōu)化效果更明顯。

表3 不同優(yōu)化方法的可靠度與成本 萬元

4 結(jié)語

針對數(shù)控磨床可靠性分配優(yōu)化問題，文章提出了一種能夠解決帶有非線性不等式約束條件的粒子群算法。在現(xiàn)有可靠度-成本函數(shù)模型基礎(chǔ)上，引入敏感度因子si構(gòu)建了數(shù)控磨床可靠性分配優(yōu)化模型，利用改進(jìn)粒子群算法對模型進(jìn)行求解并與相關(guān)文獻(xiàn)作對比，結(jié)果顯示：改進(jìn)粒子群算法優(yōu)化分配結(jié)果更加合理。優(yōu)化結(jié)果已反饋給廠家并獲得認(rèn)可，對提升數(shù)控磨床整機(jī)的可靠性水平有重要意義。