四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院（610068） 勾藝茹

四川省阿壩州茂縣中學(xué)（623200） 李述芬

四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院（610068） 邵 利

一、引言

幾何中最基礎(chǔ)的元素為“點(diǎn)”，“點(diǎn)”運(yùn)動(dòng)成“線”，“線”運(yùn)動(dòng)成“面”，“面”運(yùn)動(dòng)成“體”。按空間維度，幾何可歸納為從“點(diǎn)”出發(fā)到一維的“線”，再從一維的“線”到二維的“面”，接著從二維的“面”到三維的“體”三類。以上變化可謂是環(huán)環(huán)相扣。數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系則是按照空間維度的順序展開的。本文從低維進(jìn)階到高維空間的視角介紹幾何距離相關(guān)公式的推導(dǎo)與應(yīng)用。

二、幾何距離公式

幾何中點(diǎn)、線、面三者之間的距離公式按排列組合方式進(jìn)行分類，有點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線、點(diǎn)與面、線與線、線與面、面與面六種類型（注：線、面等相關(guān)距離問題，需要平行關(guān)系才有意義）。其中最基礎(chǔ)的類型為點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線、點(diǎn)與面。

（一）兩點(diǎn)的距離公式

數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)的距離公式見表1。

表1 兩點(diǎn)的距離公式

續(xù)表

（二）“一生二”——由兩點(diǎn)的距離公式到點(diǎn)到直線的距離公式

（1）定義：過點(diǎn)作目標(biāo)直線的垂線，這點(diǎn)到垂足的距離。

設(shè)直線l的方程為Ax+By+C=0，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0,y0)，則點(diǎn)P到直線l的距離

（2）公式推導(dǎo)：

如圖1所示，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為M。

圖1

將②兩邊同時(shí)減去Ax1+By1+C，得

將①③式兩邊分別平方，得

（三）“二生三”——由點(diǎn)到直線的距離公式到點(diǎn)到面的距離公式

高中教材在平面解析幾何中涉及點(diǎn)到直線的距離公式，此公式為點(diǎn)到直線的距離求解提供了便利。然而對于立體幾何中點(diǎn)到平面的距離公式，教材未給出相應(yīng)的內(nèi)容。

（1）公式猜想

【點(diǎn)到線的距離】設(shè)直線l的方程為Ax+By+C=0，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0,y0)，則點(diǎn)P到直線l的距離

【點(diǎn)到面的距離】設(shè)平面α的方程式為Ax+By+Cz+D=0，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0,y0,z0)，則點(diǎn)P到平面α的距離d=

（2）公式推導(dǎo)

前提：在點(diǎn)到面的距離公式推導(dǎo)過程中，均要用到平面法向量，因此先對平面法向量進(jìn)行說明。

設(shè)（x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)為平面內(nèi)任意兩個(gè)點(diǎn)，由點(diǎn)在面上得：

由⑥-⑦得

A(x1-x2)+B(y1-y2)+C(z1-z2)=0，

即(A,B,C)·(x1-x2,y1-y2,z1-z2)=0。

圖2

圖3

（3）學(xué)以致用

下面利用點(diǎn)到面的距離公式，解決立體幾何距離問題以及一類不等式問題。

［例1］（點(diǎn)面距離）如圖4，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E,M,N分別是BC,BB1，A1D的中點(diǎn)。求點(diǎn)C到平面C1DE的距離。

圖4

分析：求點(diǎn)到平面的距離，需要知道點(diǎn)的坐標(biāo)以及平面方程。首先建立直角坐標(biāo)系，其次通過C1，D，E三點(diǎn)確定平面C1DE的方程，最后將點(diǎn)與平面數(shù)據(jù)代入公式求解距離。

解答：如圖4，四邊形ABCD為菱形，則連接AC、BD交點(diǎn)為O，且AC⊥BD。以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz。

∵AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E是BC的中點(diǎn)?！郆(1,0,0)，D(-1,0,0)，C

設(shè)平面C1DE的方程式為：ax+by+cz+d=0，

［例2］（面面距離）已知平面α：2x+3y+z+5=0，平面β：2x+3y+z+18=0。求兩平面的距離。

分析：求解兩平面之間的距離，可以轉(zhuǎn)化為求解一平面上的一點(diǎn)到另一平面的距離，因此，在平面α找一點(diǎn)P，求點(diǎn)P到平面β的距離。

解答：設(shè)P(x0,y0,z0)為平面α上的一點(diǎn)，則滿足2x0+3y0+z0+5=0，P到平面β的距離為

兩平面的距離求解公式：

平面α：Ax+By+Cz+D1=0，平面β：Ax+By+Cz+D2=0，平面α與平面β的距離為

［例3］設(shè)x,y,z∈R，且x+y+z=1。

（1）求（x-1)2+（y+1)2+（z+1)2的最小值。

（2）（x-2)2+（y-1)2+（z-a)2≥證明：a≤-3或a≥-1。

分析：將題干與問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

已知平面x+y+z-1=0，第（1）問求平面外一點(diǎn)（1,-1,-1)到平面的距離的平方；

第（2）問要求證明點(diǎn)（2,1,a)到平面的距離的平方為時(shí)，a的范圍為a≤-3或a≥-1。

解 答：（1）設(shè)平面α為x+y+z-1=0，點(diǎn)P(1,-1,-1)為平面外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面α的距離的平方為

（2）設(shè)平面α為x+y+z-1=0，點(diǎn)Q（2,1,a)為平面外一點(diǎn)，點(diǎn)Q到平面α距離的平方最小值為則-3 或a≥-1。

三、小結(jié)

正如《道德經(jīng)》中的“道生一，一生二，二生三，三生萬物”，幾何也秉承著一定的邏輯不斷衍生變化。學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何時(shí)可采用先觀察、再猜想、最后證明的方式抓住其中的邏輯規(guī)律，借助相似性展開聯(lián)想，進(jìn)行遷移，發(fā)展直觀想象核心素養(yǎng)。