王 蕾

（江門(mén)市特殊教育學(xué)校，廣東 江門(mén) 529000）

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間等概念的一門(mén)學(xué)科，是運(yùn)用數(shù)量關(guān)系、邏輯關(guān)系表達(dá)客觀世界的一種形式，是人類(lèi)發(fā)展過(guò)程的一大重要成果，是通過(guò)對(duì)世界的觀察、認(rèn)識(shí)、實(shí)踐演進(jìn)中的智慧結(jié)晶。在從簡(jiǎn)單的數(shù)量認(rèn)識(shí)到邏輯分析的過(guò)程中，人們對(duì)數(shù)學(xué)這一概念逐步有了更加清晰的認(rèn)知，同時(shí)，通過(guò)不斷深入的研究，運(yùn)用數(shù)學(xué)這個(gè)工具解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的要求也不斷提高。在這個(gè)過(guò)程中，單純地運(yùn)用觀察的方法已經(jīng)無(wú)法滿(mǎn)足現(xiàn)實(shí)的需求，因此，數(shù)學(xué)邏輯分析應(yīng)運(yùn)而生。數(shù)學(xué)邏輯分析就是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律、變化進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括、判斷、推理，它與單純的數(shù)學(xué)形象思維有著本質(zhì)上的區(qū)別。而人的大腦構(gòu)造決定了對(duì)于形象、直觀的事物易于認(rèn)識(shí)和理解，而對(duì)于抽象的概念則需要通過(guò)分析、理解和判斷才能被吸收和轉(zhuǎn)化。

隨著學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程的深入，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用邏輯關(guān)系解決問(wèn)題就擺在了教師的面前。如何有效開(kāi)展對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維的培養(yǎng)，并以此來(lái)提升學(xué)生解題的能力，對(duì)此，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚給出了答案：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休?！闭缛A羅庚先生所言，針對(duì)數(shù)學(xué)中“數(shù)”和“形”這兩個(gè)最主要的研究對(duì)象，它們之間就如同硬幣的兩面，有著緊密的聯(lián)系，通過(guò)采取一定的方法，可以將數(shù)和形進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，相互滲透。即在數(shù)學(xué)中，“數(shù)”和“形”是抽象概念和形象概念的標(biāo)志性代表，充分運(yùn)用“形”的直觀性來(lái)解決“數(shù)”的抽象性問(wèn)題，也就是利用“數(shù)形結(jié)合”的方法解題。數(shù)形結(jié)合的基本思想，就是在解決問(wèn)題的過(guò)程中，通過(guò)把“數(shù)”和“形”關(guān)聯(lián)起來(lái)，根據(jù)具體情況，把圖形性質(zhì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問(wèn)題，或者把數(shù)量關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)問(wèn)題，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化，化難為易，獲得簡(jiǎn)便易行的成功方案。

而這一方法的運(yùn)用，在聽(tīng)障學(xué)生數(shù)學(xué)教學(xué)中顯得更為重要。聽(tīng)障學(xué)生由于語(yǔ)言功能缺失，導(dǎo)致在理解題目時(shí)存在缺陷，并且手語(yǔ)又不能完全表達(dá)數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)，兩方面因素的疊加，造成大腦通過(guò)手語(yǔ)建立語(yǔ)言信號(hào)系統(tǒng)時(shí)不全面，因此，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，形象思維到抽象思維的轉(zhuǎn)換過(guò)程出現(xiàn)了障礙。

在教學(xué)實(shí)踐中，通過(guò)借助數(shù)形結(jié)合思想，利用圖形的直觀性來(lái)演示數(shù)與形之間的關(guān)系，將圖形性質(zhì)問(wèn)題與數(shù)量關(guān)系問(wèn)題靈活轉(zhuǎn)換，用直觀性替代抽象性，進(jìn)而降低理解難度，便于聽(tīng)障學(xué)生有效解題。

下面就從幾個(gè)方面來(lái)研究數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的應(yīng)用。

1 解決集合問(wèn)題

在集合運(yùn)算中常常借助于數(shù)軸、維恩圖（Venn diagram）來(lái)進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)等的計(jì)算，從而使問(wèn)題簡(jiǎn)化，運(yùn)算方便快捷。［1］

圖1

2 解決函數(shù)問(wèn)題

借助圖像研究函數(shù)性質(zhì)是一種常用的方法。函數(shù)圖像的幾何特征與數(shù)量特征緊密結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法。［2］

例2.已知函數(shù)f(x)=4x2-4mx+m2-2m+2在區(qū)間[0,2]上有最小值3，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

圖2

圖3

圖4

如果令f(x)=4x2-4mx+m2-2m+2=0，將二次函數(shù)變成一元二次方程，利用求根公式先解出方程的兩個(gè)根，再解不等式，限定根的取值范圍，則計(jì)算變形非常復(fù)雜，而借助二次函數(shù)圖像和性質(zhì)來(lái)解題，則簡(jiǎn)單明了。

3 解決方程與不等式的問(wèn)題

解決方程問(wèn)題時(shí)，把方程根的問(wèn)題看作兩個(gè)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題；解決不等式時(shí)，從題目條件與結(jié)論出發(fā)，聯(lián)系相關(guān)函數(shù)，著重分析其幾何意義，從圖形上找到解題的思路。

（A）0（B）1（C）2（D）3

圖5

這是一個(gè)超越方程，直接求解很難得出答案，利用函數(shù)圖像則可輕松解題。

例4.已知a＞0，解關(guān)于x的不等式2x+a。

由圖6知，曲線C在直線l上方部分的點(diǎn)的橫坐標(biāo)范圍，就是原不等式的解集：

圖6

4 解決三角函數(shù)問(wèn)題

三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定或三角函數(shù)值大小的比較等問(wèn)題，借助三角函數(shù)圖像進(jìn)行分析是一種有效的方法。［3］

例5.在（0，2π）內(nèi)，使sinx＞cosx成立的x的取值范圍為_(kāi)_____________。

解：在（0，2π）區(qū)間上，作出y=sinx和y=cosx的圖像，解出這兩個(gè)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為由圖7可知，sinx＞cosx時(shí)，x的取值范圍為

圖7

5 解決數(shù)列問(wèn)題

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式可以看作是關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)，可以把數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題來(lái)分析，借助相應(yīng)函數(shù)圖像進(jìn)行直觀分析，常常能事半功倍。

例6.若數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，ap＝q，aq＝p，求ap+q。

解：假設(shè)p＜q，等差數(shù)列可以看作是關(guān)于正整數(shù)n的一次函數(shù)，所以an關(guān)于n的圖像是一條直線，設(shè)ap+q＝m，因此（p，a），（q，aq），（p+q，ap+q）三個(gè)點(diǎn)在同一條直線上，從而三點(diǎn)（p，q），（q，p），（p+q，m）共線，如圖8，kAB=kBC，則得m=0，即ap+q=0.

圖8

6 解決解析幾何問(wèn)題

解析幾何的基本思想就是數(shù)形結(jié)合，在解題中將數(shù)形結(jié)合的思想運(yùn)用在研究點(diǎn)、線、曲線的性質(zhì)及其相互關(guān)系中。

圖9

7 復(fù)數(shù)問(wèn)題

復(fù)數(shù)的幾何意義有兩種：與復(fù)平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；與復(fù)平面上從原點(diǎn)出發(fā)的向量一一對(duì)應(yīng)，因此復(fù)數(shù)問(wèn)題可以從解析幾何的角度來(lái)處理，借助數(shù)與形的轉(zhuǎn)化解題。

圖10

本題是利用復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的圖形及其幾何意義來(lái)解題的，這樣問(wèn)題更加直觀、明了。

通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法解題時(shí)要注意：第一，準(zhǔn)確把握數(shù)與形轉(zhuǎn)化前后的問(wèn)題等價(jià)性；第二，充分運(yùn)用“數(shù)”的精確性和“形”的直觀性，化繁為簡(jiǎn)。

在聽(tīng)障學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問(wèn)題的具體情況，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，建立起抽象思維與形象思維之間的聯(lián)系，通過(guò)觀察和理解，找準(zhǔn)解題的切入點(diǎn)，準(zhǔn)確把握題目的核心關(guān)聯(lián)性，采取抽象問(wèn)題形象化的方式，進(jìn)而使題目得到解決。