張本龍，李嘉穎，許澤，劉玉嵐，王彪

1. 中山大學(xué)航空航天學(xué)院，廣東 深圳 518107

2. 中山大學(xué)物理學(xué)院，廣東 廣州 510275

近年來，電動(dòng)汽車行業(yè)的蓬勃發(fā)展對(duì)充電電池的性能提出了更高的要求。在各種可充電電池中，鋰離子電池以其開路電壓高、循環(huán)壽命長、能量密度高、自放電率低、無記憶性等優(yōu)點(diǎn)引人注目［1］。鋰離子電池在充放電過程中，鋰離子進(jìn)出電極會(huì)導(dǎo)致電極膨脹和收縮，而產(chǎn)生擴(kuò)散誘導(dǎo)應(yīng)力（DIS，diffusion-induced stresses），簡稱擴(kuò)散應(yīng)力。高水平的擴(kuò)散應(yīng)力會(huì)直接或間接地導(dǎo)致容量衰減［2］，所以電極材料擴(kuò)散應(yīng)力的研究十分必要。

Li［3］將擴(kuò)散應(yīng)力公式推廣到柱形、球形和板模型。Cui 等［4-5］建立了較為完善的張量形式非彈性有限變形理論，研究了擴(kuò)散和界面化學(xué)反應(yīng)之間的相互作用，給出了應(yīng)力擴(kuò)散耦合的化學(xué)勢(shì)。Zhang 等［6］和Ma 等［7］分別對(duì)橢球和柱形顆粒電極不同粒徑的應(yīng)力進(jìn)行了模擬研究。彭穎吒等［8］、Xing 等［9］和Zhong 等［10］分別采用不同的力學(xué)模型研究了楊氏模量、偏摩爾體積、擴(kuò)散系數(shù)為梯度分布的材料充放電過程內(nèi)部的擴(kuò)散誘導(dǎo)應(yīng)力，得到負(fù)梯度模型可以降低最大應(yīng)力。

作為新一代鋰電池的負(fù)極材料，完全鋰化后硅的體積膨脹率高達(dá)400%［11］，這會(huì)導(dǎo)致電極開裂。為了防止DIS對(duì)電極的破壞，人們進(jìn)行了大量的研究。Liu 等［12］通過透射電子顯微鏡觀察了硅納米顆粒在第一次鋰化過程中的斷裂行為，給出顆粒表面發(fā)生開裂的臨界粒度。Zhu 等［13］發(fā)現(xiàn)，缺陷導(dǎo)致不同區(qū)域的應(yīng)力集中程度不同。在充放電過程中，粒子中心的缺陷極有可能導(dǎo)致斷裂。Klinsmann等［14］研究了第二個(gè)半周期內(nèi)充放電過程以及二維圓形、三維軸對(duì)稱球形電極的裂紋擴(kuò)展和破碎。Gao等［15］利用J積分實(shí)現(xiàn)將裂紋擴(kuò)展與擴(kuò)散應(yīng)力耦合，討論了塑性電極材料的裂紋擴(kuò)展，并應(yīng)用到薄膜電極。詹思遠(yuǎn)等［16］研究了含有貫穿條形裂紋兩端固支的柱形電極在不同充電電流、電極長徑比、裂紋長度條件下，電極發(fā)生屈曲和裂紋開展的情況。

目前，現(xiàn)有的大部分研究工作集中在薄膜電極以及軸對(duì)稱的橢球和圓柱模型。軸對(duì)稱的模型中裂紋的選取十分有限，只能設(shè)置垂直于旋轉(zhuǎn)軸的圓盤或者圓環(huán)形的裂紋，不具備代表性。對(duì)于圓柱電極，導(dǎo)致電極力學(xué)失效的主要是環(huán)向拉應(yīng)力［17-18］，圓盤形裂紋尖端導(dǎo)致開裂的是軸向應(yīng)力，所以該裂紋不能代表圓柱電極最易破壞的形式。本文構(gòu)建了三維笛卡爾坐標(biāo)系下的擴(kuò)散-應(yīng)力耦合電極模型，該模型可以適用于任意形狀缺陷的顆粒電極。由于電極中央的拉應(yīng)力最大，選取電極中央位置添加三維狹窄裂紋，研究了不同尺寸的裂紋，得到了相對(duì)應(yīng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子，從而求得裂紋開裂的臨界尺寸。最后，根據(jù)結(jié)果對(duì)顆粒電極內(nèi)部缺陷篩查提出了優(yōu)化建議。

1 理論模型

為描述電極在充放電時(shí)的變形過程，采用張量的形式構(gòu)建方程，并引入拉格朗日和歐拉兩種坐標(biāo)的描述形式。拉格朗日描述表示某點(diǎn)的初始坐標(biāo)，歐拉描述表示該點(diǎn)在某時(shí)刻的真實(shí)坐標(biāo)。

1.1 力學(xué)模型

假設(shè)電極微粒中某一點(diǎn)初始時(shí)刻的坐標(biāo)為X（拉格朗日描述），經(jīng)歷時(shí)間t之后，由于變形與位移坐標(biāo)變?yōu)閤（歐拉描述）。則t時(shí)刻該點(diǎn)的位移為

該點(diǎn)的變形梯度為

本文考慮電化學(xué)反應(yīng)產(chǎn)物對(duì)電極微粒應(yīng)力的影響，電極的總變形梯度F可分解為

其中Fe為彈性項(xiàng)，F(xiàn)i為非彈性項(xiàng)。擴(kuò)散項(xiàng)是鋰離子嵌入電極中產(chǎn)生變形的結(jié)果。為了方便計(jì)算，假設(shè)該項(xiàng)為各向同性變形，表達(dá)式為

式中I是單位張量；Λ是電極的擴(kuò)散變形體積比，擴(kuò)散變形主要由電極內(nèi)鋰離子的濃度C決定，即

其中Ω是鋰離子的偏摩爾體積。

綜上，總的格林-拉格朗日應(yīng)變張量E，彈性格林-拉格朗日應(yīng)變張量Ee，非彈性格林-拉格朗日應(yīng)變張量Ei為

通過對(duì)W求導(dǎo)得到第一類P-K應(yīng)力σ0為

把式（7）代入（8）中，結(jié)合式（3）得

由于本文研究的對(duì)象是電極內(nèi)的缺陷，建立三維直角坐標(biāo)系模型。在拉格朗日描述下的任意一點(diǎn)(X，Y，Z)，經(jīng)過t時(shí)間，成為歐拉描述下的點(diǎn)(x，y，z). 可給出在三維直角坐標(biāo)下的總變形張量

式中Fij是總變形F的分項(xiàng)。

結(jié)合式（3）、（4）、（12），可得到柱坐標(biāo)下彈性部分的變形張量

將上述張量公式代入到公式（6）中，可得到三維坐標(biāo)中的應(yīng)變張量為

然后將式（5）、（11）、（12）代入到（9）中，得到簡化后的第一類P-K應(yīng)力的分量

式中Λ即為擴(kuò)散場對(duì)應(yīng)力場的影響。

充放電過程中，鋰離子的擴(kuò)散速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于電極的彈性變形，因此可假設(shè)任意時(shí)刻都滿足準(zhǔn)靜態(tài)力學(xué)平衡，即第一類P-K應(yīng)力σ0滿足

以上為三維直角坐標(biāo)系下的平衡方程組。

1.2 擴(kuò)散模型

拉格朗日描述下的擴(kuò)散第二定律為

式中J是拉格朗日描述下鋰離子的擴(kuò)散通量。

假定電極完全置于電解液中，對(duì)于柱形電極，由于上下表面遠(yuǎn)小于側(cè)面，因此假定鋰離子只從側(cè)面嵌入到電極當(dāng)中。但是由于初始缺陷的影響，導(dǎo)致局部已然存在Z方向的擴(kuò)散。對(duì)于球形電極，擴(kuò)散是X，Y，Z三個(gè)方向進(jìn)行的。所以三個(gè)方向的擴(kuò)散都包含歐拉描述下的擴(kuò)散通量

其中D是鋰離子在電極中的擴(kuò)散系數(shù)；T為絕對(duì)溫度；Rg為通用氣體常數(shù)；μ(x，c)是驅(qū)動(dòng)鋰離子擴(kuò)散的化學(xué)勢(shì)。c是歐拉坐標(biāo)下的濃度，它與拉格朗日坐標(biāo)下的濃度C的關(guān)系為

根據(jù)擴(kuò)散通量的性質(zhì)可得拉格朗日描述下的名義通量與歐拉描述下的真實(shí)通量的關(guān)系為

基于前人研究得到由多個(gè)項(xiàng)組成的化學(xué)勢(shì)

其中化學(xué)勢(shì)參考值μ0為常數(shù)；γ為鋰離子活度系數(shù)，本文取γ=1；σm為靜水應(yīng)力，且

補(bǔ)充方程（20）中的柯西應(yīng)力σ與第一類P-K應(yīng)力σ0之間的關(guān)系

將式（19）代入（16）中，然后結(jié)合式（18）得到拉格朗日描述下的擴(kuò)散通量

圓柱形電極的擴(kuò)散方程由公式（15）、（20）以及（22）構(gòu)成。

1.3 裂紋擴(kuò)展準(zhǔn)則

電極在充放電時(shí)，根據(jù)應(yīng)力狀態(tài)為對(duì)稱的拉應(yīng)力，可認(rèn)定為Ⅰ型裂紋。由于暫時(shí)未考慮塑形變形，因而本文采用K準(zhǔn)則來判斷裂紋的擴(kuò)展。取θ=0（裂紋延長線上）的正應(yīng)力σy，計(jì)算KI.

其中r為該點(diǎn)到裂紋尖端的距離。求出不同位置的應(yīng)力，得到對(duì)應(yīng)的KI，作KI-r/R0直線。后推得到與縱坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，即是所要求的KI值。將其與斷裂韌性KIC作比較，裂紋開裂擴(kuò)展的條件是

1.4 邊界和初始條件

首先定義初始條件，電極在初始時(shí)刻的位移和鋰離子濃度都為零。表達(dá)式為

u(X，Y，Z，0) = 0，C(X，Y，Z，0) = 0.（25）

假設(shè)柱形電極側(cè)面和球形電極整個(gè)表面沒有約束，為自由邊界，即側(cè)面邊界的徑向應(yīng)力任意時(shí)刻都為0，分別表示為

其中R0為圓柱電極的半徑。同時(shí)，結(jié)構(gòu)對(duì)稱、電極中心沒有位移，即

本文采用恒壓條件，即電極外側(cè)的電解液中鋰離子濃度保持最大濃度Cm，由于柱形電極上下兩端的面積相比側(cè)面積可忽略，所以假定側(cè)面保持最大濃度；而球形電極的整個(gè)表面都為最大濃度，可分別表示為

2 數(shù)值分析與討論

通過求解應(yīng)力平衡和擴(kuò)散方程（14）-（15），得到電極鋰化過程的各項(xiàng)結(jié)果。電極外表面鋰離子濃度恒定，而電極內(nèi)鋰離子濃度為0，濃度差的存在導(dǎo)致鋰離子持續(xù)進(jìn)入電極中。通過求解式（15），可得模型的濃度場C和由此引起的體積變形Λ。根據(jù)體積變形求解公式（14），得到應(yīng)力場σ，進(jìn)而影響電極內(nèi)的擴(kuò)散通量J，代入式（15）中重新求解。整個(gè)過程中，需要對(duì)方程（14）和（15）不斷進(jìn)行求解和迭代，從而得到電極鋰化過程的瞬態(tài)解。

由于方程組的數(shù)量較多計(jì)算量巨大，且存在原始裂紋缺陷的模型較為復(fù)雜，需要用有限元法進(jìn)行求解。本文使用COMSOL Multiphysics 有限元軟件進(jìn)行求解。為了作圖方便，將t無量綱化為

選取具有代表性的時(shí)間點(diǎn)，比如：初始和穩(wěn)定時(shí)刻，以及應(yīng)力最大時(shí)刻。本文電極材料為錳酸鋰材料，其物理參數(shù)如表1所示。

表1 LiMn2O4電極的各項(xiàng)物理參數(shù)［19］Table 1 Material properties of LiMn2O4

構(gòu)建含有裂紋的柱形和球形電極，圖1是圓柱電極中裂紋的剖面圖，裂紋的長寬為a和b。本文研究的裂紋為方片形（邊長a）和圓片形（直徑a），模型分三類：含方片形裂紋（方形裂紋）的柱形電極，含圓片形裂紋（圓形裂紋）的柱形電極和含圓片形裂紋的球形電極。由于裂紋寬度遠(yuǎn)小于裂紋長度，對(duì)計(jì)算結(jié)果影響不大，所以將裂紋寬度設(shè)為0.002R0。對(duì)于圓柱電極，取其中的一段長度進(jìn)行研究，其上下兩端是對(duì)稱邊界條件。

圖1 含裂紋的柱形電極示意圖Fig.1 Cylindrical electrode with cracks

2.1 柱形電極和球形電極的應(yīng)力分析

分析無裂紋模型的應(yīng)力狀態(tài)，從而獲得整個(gè)模型的應(yīng)力分布。在本節(jié)中，為了表述的形象，將三維直角坐標(biāo)系(X，Y，Z)轉(zhuǎn)換成柱坐標(biāo)系(R，Θ，Z)和球坐標(biāo)系(R，Θ，Φ)進(jìn)行討論。選取從圓心到邊緣的半徑作為輸出路徑，提取柱形電極的濃度、徑向應(yīng)力、環(huán)向應(yīng)力、軸向應(yīng)力。由于球形電極是球?qū)ΨQ的，Θ和Φ方向的應(yīng)力狀態(tài)相同，所以只提取球形電極的濃度、徑向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力。為了比較方便，將參數(shù)無量綱化。具體結(jié)果見圖2。

首先，球形電極在鋰化過程中濃度要高于柱形電極。這是由于相同體積的電極，球形電極的表面積更大，鋰離子的擴(kuò)散速度更快。更快的擴(kuò)散速度導(dǎo)致球形電極內(nèi)的擴(kuò)散應(yīng)力也更加劇烈。圖2（b）、（c）中，球形電極的拉應(yīng)力明顯大于柱形電極。球形電極拉應(yīng)力最大值為0.017 8Ee，是柱形電極的1.6倍。在鋰化過程的前半段球形電極的徑向應(yīng)力都大于柱形電極，τ=0.1 之后兩者的徑向應(yīng)力下降到相同大小。這是由于這段時(shí)間兩者鋰離子濃度都接近平穩(wěn)，擴(kuò)散速度很小。圖2（c）中，鋰化前期球形電極環(huán)向應(yīng)力更大，球形電極內(nèi)環(huán)向應(yīng)力的平衡點(diǎn)也更靠近邊緣，球形電極邊緣的壓應(yīng)力明顯小于柱形電極。這導(dǎo)致裂縫在球形電極中更容易開裂，且不容易穩(wěn)定。圖2（d）中，柱形電極的軸向拉應(yīng)力較小，持續(xù)時(shí)間比較短，在鋰化的過程中主要是壓應(yīng)力。因而柱形電極的軸向應(yīng)力不是電極裂紋開裂的主要因素，因重點(diǎn)分析電極的環(huán)向和徑向應(yīng)力。而電極中心處各個(gè)方向的應(yīng)力值都是最大值，所以把裂紋設(shè)置在電極中心處是合理的。將本文的結(jié)果與文獻(xiàn)［4，8-10，20］對(duì)比，曲線的趨勢(shì)和數(shù)值都符合得很好。

圖2 無裂紋柱形與球形電極曲線Fig.2 Curves of crack-free cylindrical and spherical electrodes

2.2 帶有裂紋電極分析

在兩種電極中分別構(gòu)建長度為0.6R0的裂紋。由于裂紋位于電極的中心，且應(yīng)力對(duì)稱分布，所以可看作Ⅰ型裂紋。導(dǎo)致裂紋開裂的原因是與裂紋垂直方向的拉應(yīng)力即σY，下面給出應(yīng)力最大時(shí)刻τ=0.036 時(shí)的σY應(yīng)力云圖（無量綱化），如圖3和圖4所示。圖3（a）中在裂紋尖端應(yīng)力集中，同時(shí)球形電極內(nèi)的裂紋尖端0.002R0處應(yīng)力值為裂紋中間段應(yīng)力幾乎為0，這是由于裂紋表面為自由邊界。如圖3（a）和（c）所示，球形電極中的應(yīng)力遠(yuǎn)大于柱形電極，與上文的曲線圖相符。圖3（a）和（b）中，方形裂紋的裂紋尖端應(yīng)力比圓形裂紋略大，說明有更大的應(yīng)力集中，這是由于相同尺寸的正方形比圓形面積更大。圖4（a）中裂紋尖端上應(yīng)力在水平和豎直邊上都是在中間處達(dá)到最大，裂紋尖端的應(yīng)力大小如圖5所示。由于裂紋邊緣應(yīng)力值理論上無窮大，選擇距裂紋尖端0.002R0處，其路徑如圖4（a）所示，坐標(biāo)為x，應(yīng)力見圖5（a）。同時(shí)，可得該路徑的應(yīng)力強(qiáng)度因子。圖4（b）中裂紋尖端上應(yīng)力從最上方到最右方逐漸減小，應(yīng)力曲線如圖5（b）所示，路徑如圖4（b）所示，坐標(biāo)α表示角度。圖4（c）中裂紋尖端上應(yīng)力是均勻分布的，這與理論預(yù)測(cè)的相同，任意取一個(gè)位置的裂紋尖端計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子即可。0.028 7E，應(yīng)力強(qiáng)度因子為0.739 MPa·m1/2，高于柱形電極中的值。如圖5（a）所示，裂紋在邊緣中間最容易開裂，而直角處反而不容易開裂，可見中間處應(yīng)力集中更明顯。另圖中曲線并非對(duì)稱，右側(cè)要高于左側(cè)，說明裂紋沿軸向開裂的應(yīng)力強(qiáng)度因子更大，與圖4（a）的結(jié)果一致。這是由于圓柱的環(huán)向應(yīng)力在中心的位置更大。下文將關(guān)注裂紋水平和豎直邊的中間點(diǎn)和直角處。圖5（b）中，應(yīng)力和應(yīng)力強(qiáng)度因子的值都隨著角度變大而遞增，與圖4（b）一致。裂紋最上方和最右側(cè)代表了柱形電極中圓形裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子最大值和最小值的位置。所以下面將關(guān)注該裂紋最上方和最右側(cè)的點(diǎn)。LiMn2O4的斷裂韌性KIC為0.240 MPa·m1/2，而以上三種模型中裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子都超過了KIC。根據(jù)K準(zhǔn)則，這一尺寸的裂紋都會(huì)開裂。

圖3 XOZ平面的σY云圖Fig.3 σY cloud diagram of XOZ plane

圖4 YOZ平面的σY云圖Fig.4 σY cloud diagram of YOZ plane

圖5 裂紋尖端的應(yīng)力與應(yīng)力強(qiáng)度因子曲線Fig.5 Curves of stress and stress intensity factor at the crack tip

2.3 含不同尺寸裂紋的電極分析

選取長度不同的裂紋進(jìn)行模擬，分別獲取所關(guān)注點(diǎn)的應(yīng)力強(qiáng)度因子，得到裂紋開裂的臨界尺寸。電極的直徑為2R0，所以選取的長度分別為0.01R0、 0.02R0、 0.04R0、 0.1R0、 0.2R0、 0.4R0、0.6R0、0.8R0、R0、1.2R0、1.4R0、1.6R0、1.7R0、1.8R0和1.9R0。結(jié)合裂紋延長線上的應(yīng)力求得應(yīng)力強(qiáng)度因子如圖6所示，并且將斷裂韌性標(biāo)示在圖中。

如圖6所示，球形電極內(nèi)的裂紋最先開裂，臨界尺寸為0.032R0。柱形電極內(nèi)方形裂紋開裂的臨界尺寸為0.08R0，而方形裂紋上方中心位置和側(cè)方幾乎同時(shí)開裂。這是由于在裂紋尺寸很小時(shí)，兩個(gè)位置應(yīng)力狀態(tài)幾乎相同。裂紋直角處的臨界尺寸為0.46R0，這表明裂紋會(huì)在邊上先開裂，開裂之后不會(huì)保持方形，而是向圓形裂紋發(fā)展。柱形電極內(nèi)圓形裂紋的臨界尺寸為0.12R0，此時(shí)裂紋邊緣各個(gè)方向的應(yīng)力強(qiáng)度因子相同，說明裂紋將同時(shí)朝各個(gè)方向開裂。隨著裂紋尺寸增大，裂紋上方邊緣的應(yīng)力強(qiáng)度因子將超過側(cè)邊，裂紋將向橢圓的形狀發(fā)展。在裂紋尺寸超過R0時(shí)，裂紋側(cè)邊的應(yīng)力強(qiáng)度因子會(huì)下降，直到小于斷裂韌性。此時(shí)方形裂紋長度為1.75R0，圓形裂紋長度為1.82R0。由于假設(shè)鋰化過程為準(zhǔn)靜態(tài)，所以認(rèn)為裂紋側(cè)邊的斷裂會(huì)終止，不會(huì)貫穿。裂紋上邊的應(yīng)力強(qiáng)度因子會(huì)一直增加，說明裂紋一旦擴(kuò)展，即會(huì)發(fā)展為貫穿。球形電極中裂紋在1.2R0長度之后，應(yīng)力強(qiáng)度因子也會(huì)下降，但依舊會(huì)大于斷裂韌性。說明裂紋最終會(huì)貫穿，電極將裂分成兩半。

圖6 不同尺寸裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子Fig.6 Stress intensity factor of different size cracks

根據(jù)本文的理論可推得電極內(nèi)的應(yīng)力與電極半徑無關(guān)。根據(jù)斷裂準(zhǔn)則中的公式（23），可知應(yīng)力確定時(shí)應(yīng)力強(qiáng)度因子跟距離的開方成正比。因此相同尺寸比例的裂紋，電極半徑越大，裂紋越容易開裂。由于圖6中方形裂紋側(cè)邊的最大應(yīng)力強(qiáng)度因子為0.648 MPa·m1/2，將該值與斷裂韌性相比，即可得若電極半徑＜0.13R0，無論裂紋尺寸多大都不會(huì)開裂。同樣，若電極半徑＜0.16R0，圓形裂紋無論尺寸多大都不會(huì)開裂。而球形電極半徑＜0.036R0不會(huì)發(fā)生開裂。 若球形電極半徑＜0.958R0電極中的裂紋發(fā)生開裂但不會(huì)貫穿。獲得不同電極半徑下的臨界尺寸與電極半徑的比值，再與電極長度相乘，可得裂紋的長度。不同電極半徑的裂紋開裂臨界尺寸如圖7所示。圖中，裂紋開裂的臨界尺寸隨電極半徑的增大而減小。

圖7 不同半徑電極的裂紋臨界尺寸Fig.7 Critical crack size of electrodes with different radius

3 結(jié) 論

本文構(gòu)建了擴(kuò)散和應(yīng)力耦合模型，并應(yīng)用到圓柱電極和球形電極上。利用有限元軟件COMSOL Multiphysics 求解，得到了帶有初始裂紋的應(yīng)力場；結(jié)合K準(zhǔn)則判定裂紋是否開裂擴(kuò)展，得到以下結(jié)論：

1）在相同半徑下，球形電極的應(yīng)力是圓柱電極的1.6倍左右，球形電極更容易開裂。

2）柱形電極內(nèi)的方片形裂紋會(huì)在每條邊上的中點(diǎn)首先開裂，逐漸發(fā)展成圓片形裂紋。圓片形裂紋會(huì)在邊緣同時(shí)開裂，隨著裂紋尺寸變大，徑向的開裂減緩，軸向的開裂更加劇烈，裂紋變成橢圓形狀。

3）給定的電極半徑下，可確定開裂的臨界尺寸。圓柱電極中裂紋軸向開裂一旦發(fā)生就會(huì)貫穿，而裂紋徑向開裂后不會(huì)貫穿。對(duì)于球形電極，只有電極半徑大于貫穿的臨界半徑，裂紋才會(huì)貫穿。

4）裂紋發(fā)生擴(kuò)展的臨界尺寸隨電極顆粒半徑增加而減小，電極越大越容易開裂。電極尺寸小于臨界尺寸時(shí)，無論內(nèi)部裂紋的尺寸多大都不會(huì)發(fā)生擴(kuò)展。

因未考慮塑性變形對(duì)裂紋尖端的影響，伴隨著充放電循環(huán)裂紋損傷積累造成的疲勞也就無法研究。同時(shí)，本文僅采用了恒壓條件，沒有考慮恒流條件的方式。未來將引入塑形變形，并添加損傷積累的本構(gòu)模型，研究多個(gè)循環(huán)下電極裂紋的擴(kuò)展。