冀占江，陳占和 ，張更容

（1.梧州學(xué)院 大數(shù)據(jù)與軟件工程學(xué)院，廣西 梧州 543002；2.梧州學(xué)院 廣西高校行業(yè)軟件技術(shù)重點(diǎn)實驗室，廣西 梧州 543002；3.梧州學(xué)院 廣西高校圖像處理與智能信息系統(tǒng)重點(diǎn)實驗室，廣西 梧州 543002；4.廣西大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西 南寧 5430004；5.湖南第一師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410205）

0 引言

逆極限空間是動力系統(tǒng)研究的一個分支，它為構(gòu)造復(fù)雜空間和映射提供了有力的工具，跟蹤性在動力系統(tǒng)中占有重要的地位，與計算機(jī)和生物數(shù)學(xué)的發(fā)展有著密切的關(guān)系，很多學(xué)者對逆極限空間和跟蹤性的動力學(xué)性質(zhì)進(jìn)行了深入的研究，得到有價值的研究成果［1-11］。例如，文獻(xiàn)［1］指出若每個映射fi具有逐點(diǎn)偽軌跟蹤性，則其誘導(dǎo)映射f∞具有逐點(diǎn)偽軌跟蹤性；文獻(xiàn)［2］證明了自映射f具有漸近偽軌跟蹤性當(dāng)且僅當(dāng)移位映射σ具有漸近偽軌跟蹤性；文獻(xiàn)［3］證明了若每個映射fi具有遍歷跟蹤性，則其誘導(dǎo)映射f∞具有遍歷跟蹤性；文獻(xiàn)［4］證明了f具有平均跟蹤性當(dāng)且僅當(dāng)對任意的q∈[0，1)，f具有平均跟蹤性。 然而以上文獻(xiàn)中并未涉及逆極限空間中利普希次跟蹤性的動力學(xué)結(jié)果，為了完善逆極限空間的理論，本文在逆極限空間中研究了自映射f與移位映射σ在利普希次跟蹤性方面的關(guān)系，得到移位映射σ具有利普希次跟蹤性當(dāng)且僅當(dāng)自映射f具有利普希次跟蹤性。

隨著研究的深入，當(dāng)我們研究復(fù)雜問題時，會發(fā)現(xiàn)逆極限空間的有限個符號已經(jīng)難以解決生活中遇到的實際問題，而雙重逆極限空間是極限空間的推廣，因此研究雙重逆極限空間［12-15］就成了一項有意義的工作。但是目前有關(guān)雙重逆極限空間的文獻(xiàn)并不多，理論也有待學(xué)者進(jìn)一步探討和研究，本文根據(jù)逆極限空間中幾乎周期點(diǎn)的概念，提出雙重逆極限空間中新幾乎周期點(diǎn)的概念，然后在雙重逆極限空間中研究了它的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和拓?fù)涮卣?，得到移位映射的幾乎周期點(diǎn)集等于自映射在其幾乎周期點(diǎn)集上形成的雙重逆極限空間，從而豐富了雙重逆極限空間中的理論成果，為雙重逆極限空間在實際中的應(yīng)用提供了理論依據(jù)。

1 基本定義

定義1 設(shè)X，Y是拓?fù)淇臻g，稱f是一個同胚映射，如果f：X→Y是一個一一映射，并且f和f-1都是連續(xù)的。

定義2 設(shè)(X，d)是緊致度量空間，且f：X→X是連續(xù)映射。若令

定義6 設(shè) (X，d)是度量空間，f：X→X 連續(xù)。 若存在常數(shù)L＞0與δ＞0，對任意的0＜ε＜δ，使 得 當(dāng)是 f的 ε-偽 軌 ，?x∈X，xLε-跟蹤{xi}∞i=0，則稱f具有利普希茨跟蹤性。

定義7［16］設(shè)(X，d)是度量空間，f：X→X 連續(xù)。若存在L＞0，對任意的x和 y∈X有d(f(x)，f(y))≤Ld(x，y)，則稱 f是利普希茨映射，L為f的利普希茨常數(shù)。

2 引理

引理 1［15］設(shè) (X，d)是 緊 致 度 量 空 間 ，f：X→X，g：X→X 同 胚 映 射 ，f?g=g?f，則?i，j∈Z，?m，n≥0，有 πi，jσfnσgm=fngmπi，j。

3 主要定理

定理1 設(shè)(X，d)是緊致度量空間，Xf是X的逆極限空間，f：X→X 連續(xù)滿射，σ：Xf→Xf是移位映射。若f是常數(shù)為L的利普希映射，則f具有利普希茨跟蹤性當(dāng)且僅當(dāng)σ具有利普希茨跟蹤性。

4 結(jié)論

本文在逆極限空間中研究了利普希茨跟蹤性的等價性，然后在雙重逆極限空間中研究了幾乎周期點(diǎn)集的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，所得結(jié)果推廣了逆極限空間中跟蹤性和幾乎周期點(diǎn)的結(jié)論。